Series de potencias: Concepto, convergencia y radio de convergencia

Question 1

¿Qué tipo de serie representa una función como una suma de potencias de una variable?

Accepted Answer

Serie de potencias

Answer

Serie geométrica

Answer

Serie alternada

Answer

Serie armónica

Question 2

Para la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n$, ¿qué condición debe cumplir el límite $\lim_{n 	o \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$ para que la serie converja?

Accepted Answer

$0 < \lim_{n 	o \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} ight| < 1$

Answer

$\lim_{n 	o \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 0$

Answer

$\lim_{n 	o \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$

Question 3

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} (x - 2)^n$?

Accepted Answer

$e$

Answer

$-e$

Answer

$2$

Answer

$1/e$

Question 4

¿Cuál es la derivada de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$?

Accepted Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}$

Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n-1}$

Question 5

¿Cuál es la suma de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$?

Accepted Answer

$\cosh(x)$

Answer

$\sinh(x)$

Answer

$\cos(x)$

Answer

$\sin(x)$

Question 6

¿Cuál de las siguientes funciones es representada por la serie de potencias ∑ (n=0 a ∞) (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)?

Accepted Answer

sen(x)

Answer

cos(x)

Answer

exp(-x)

Answer

ln(1+x)

Question 7

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza principalmente para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias?

Accepted Answer

Criterio de la razón

Answer

Criterio de la integral

Answer

Criterio de Raabe

Answer

Criterio de comparación

Question 8

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa la función exponencial exp(x)?

Accepted Answer

∑ (n=0 a ∞) (x^n)/n!

Answer

∑ (n=0 a ∞) n*x^n

Answer

∑ (n=0 a ∞) 1/(n*x^n)

Answer

∑ (n=0 a ∞) (x^n)/n

Question 9

Una serie de potencias con un radio de convergencia de 0:

Accepted Answer

Diverge para cualquier valor de x

Answer

Converge para |x| > 0

Answer

Converge para x = 0

Answer

Converge para |x| < 0

Question 10

Si una serie de potencias converge para x = 2, su radio de convergencia es:

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 11

¿Qué método se emplea para derivar e integrar series de potencias?

Accepted Answer

Derivación e integración término a término

Answer

Factorización

Answer

Sustitución

Answer

Completación de cuadrados

Question 12

La expansión en serie de potencias para e^x es:

Accepted Answer

Sumatoria desde n = 0 hasta infinito de (x^n / n!)

Answer

Sumatoria desde n = 1 hasta infinito de (x^(n+1) / n+1)

Answer

Sumatoria desde n = 0 hasta infinito de (x^n / 2^n)

Answer

Sumatoria desde n = 1 hasta infinito de (x^(n-1) / n)

Question 13

¿Qué tipo de función no puede representarse mediante una serie de potencias?

Accepted Answer

Función discontinua en un punto

Answer

Función trigonométrica

Answer

Función polinómica

Answer

Función exponencial

Question 14

La expansión en serie de potencias de ln(1+x) es:

Accepted Answer

Sumatoria desde n = 1 hasta infinito de (-1)^(n+1) * (x^n / n)

Answer

Sumatoria desde n = 1 hasta infinito de (x^(n+1) / n+1)

Answer

Sumatoria desde n = 0 hasta infinito de (x^n / n)

Question 15

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa a la función $f(x) = e^x$?

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{2^n n^2}$

Answer

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$

Question 16

¿Cuál de las siguientes series de potencias converge para todo valor de x?

Accepted Answer

Σ (x^n / n!)

Answer

Σ (x^n / n)

Answer

Σ (x^n / n^2)

Question 17

¿Cuál de las siguientes series de potencias es divergente?

Accepted Answer

Σ (1 / x^n)

Answer

Σ (x^n / n^2)

Answer

Σ (x^n / 2^n)

Answer

Σ (x^n / (n + 1)^n)

Question 18

¿Qué coeficiente en la serie de potencias Σ (a_n x^n) corresponde al término x^3?

Accepted Answer

a_3

Answer

a_1

Answer

a_4

Answer

a_0

Question 19

¿Es la serie de potencias Σ (n! x^n) convergente?

Accepted Answer

No

Answer

Sí, solo para |x| > 0

Answer

Sí, para todo x

Answer

Sí, solo para |x| < 0

Question 20

Determina el límite de la siguiente serie de potencias cuando x tiende a 1:

Accepted Answer

e

Answer

infinito

Answer

1

Answer

-e

Question 21

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa a la función cos(x)?

Accepted Answer

Σ (-1)^n x^(2n) / (2n)!

Answer

Σ (-1)^n x^n / n!

Answer

Σ (-1)^n x^(2n+1) / 2n+1!

Answer

Σ (-1)^n x^(2n+1) / 2n!

Question 22

Una serie de potencias centrada en  `x = a` tiene la forma general:

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n

Answer

∑_(n=0)^∞ (c_n x)^n - a

Answer

∑_(n=0)^∞ c_n x^n + a

Answer

∑_(n=0)^∞ c_n (x+a)^(-n)

Question 23

El radio de convergencia de la serie de potencias ∑_(n=1)^∞ (x^n)/(n!) es:

Accepted Answer

Infinito

Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 24

La serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (-1)^n (x-2)^n converge para los valores de `x` que cumplen:

Accepted Answer

1 < x < 3

Answer

x > 3

Answer

x < 1

Answer

Todos los valores de x

Question 25

La serie de potencias que representa la función f(x) = 1/(1+x) para |x| < 1 es:

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^(n+1) x^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n x^(n-1)

Question 26

Si la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n tiene un radio de convergencia R > 0, entonces la serie  ∑_(n=1)^∞ n c_n (x-a)^(n-1) tiene un radio de convergencia:

Accepted Answer

R

Answer

No se puede determinar

Answer

R/2

Answer

2R

Question 27

Para determinar la convergencia de la serie ∑_(n=2)^∞ (x^n)/(ln(n)), se puede utilizar el criterio:

Accepted Answer

De la razón

Answer

De la comparación directa

Answer

De la integral

Answer

De la divergencia

Question 28

La serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (2^n)/(n+1) (x-1)^n converge absolutamente para:

Accepted Answer

|x-1| < 1/2

Answer

Todos los valores de x

Answer

|x-1| < 2

Answer

|x-1| > 1/2

Question 29

Si f(x) = ∑_(n=0)^∞ (x^n)/(n!), ¿cuál es el valor de f'(0)?

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

Infinito

Answer

0

Question 30

La serie de potencias ∑_(n=1)^∞ (x^n)/n converge en x = -1.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Depende del valor de n

Answer

Falso

Answer

Solo si x > 0

Question 31

Para aproximar la función f(x) = e^x cerca de x = 0, se puede usar la serie de potencias:

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)/(n!)

Answer

∑_(n=1)^∞ (x^n)/(n-1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n (x^n)/(n!)