Aplicaciones de las Formas Bilineales y Cuadráticas: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Cuál de las siguientes funciones NO es una forma cuadrática en las variables x, y, z?

Accepted Answer

x² + y² + z³

Answer

x² + 2xy + 3y²

Answer

ax² + bxy + cy²

Answer

x² - y² + z²

Question 2

Un cuerpo rígido posee los siguientes momentos de inercia: Ixx = 2, Iyy = 3 e Izz = 5. ¿Cuál de las siguientes matrices representa su matriz de inercia?

Accepted Answer

[[2, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 5]]

Answer

[[3, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 5]]

Answer

[[5, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]

Answer

[[2, 0, 1], [0, 3, 0], [1, 0, 5]]

Question 3

La energía potencial, Q(r), de un sistema de dos partículas con cargas q1 = 2 y q2 = -3, separadas por una distancia r, se describe mediante la forma cuadrática Q(r) = k*q1*q2/r, donde k es una constante. ¿Para qué valor de r la energía potencial tiende a un mínimo?

Accepted Answer

Cuando r tiende a infinito

Answer

r = 0

Answer

0

Answer

r = k

Question 4

¿Cuál de las siguientes opciones NO representa una aplicación directa de las formas bilineales?

Accepted Answer

Cálculo del volumen de un cubo.

Answer

Determinación de la energía cinética de un sistema de partículas.

Answer

Cálculo del producto escalar entre dos vectores en un espacio vectorial.

Answer

Clasificación de secciones cónicas a partir de su ecuación general.

Question 5

Sea q(x,y) = 2x² + 4xy - y² una forma cuadrática. ¿Cuál de las siguientes matrices representa su matriz asociada?

Accepted Answer

[[2, 2], [2, -1]]

Answer

[[4, 2], [2, -2]]

Answer

[[2, 0], [0, -1]]

Answer

[[2, 4], [-1, 0]]

Question 6

Una forma cuadrática se clasifica como definida positiva si cumple con la siguiente condición:

Accepted Answer

Toma valores estrictamente positivos para cualquier vector no nulo.

Answer

Toma el valor cero para algún vector no nulo.

Answer

Su matriz asociada es singular.

Answer

Toma valores estrictamente negativos para cualquier vector no nulo.

Question 7

¿Cómo se relaciona el producto escalar (una forma bilineal) con el cálculo del trabajo realizado por una fuerza constante sobre un objeto?

Accepted Answer

El trabajo realizado por la fuerza es igual al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento del objeto.

Answer

El trabajo es igual a la suma de los módulos del vector fuerza y del vector desplazamiento.

Answer

El producto escalar no se utiliza para calcular el trabajo realizado por una fuerza.

Answer

El trabajo es igual al producto vectorial del vector fuerza por el vector desplazamiento.

Question 8

Si una forma bilineal es simétrica, ¿qué característica tendrá su matriz asociada?

Accepted Answer

Será una matriz simétrica.

Answer

Será una matriz antisimétrica.

Answer

Será una matriz diagonal.

Answer

Será una matriz triangular superior.

Question 9

Para determinar si dos vectores son ortogonales utilizando el producto escalar, ¿qué condición debe cumplir este último?

Accepted Answer

El producto escalar debe ser igual a 0.

Answer

El producto escalar debe ser igual a 1.

Answer

El producto escalar debe ser igual a -1.

Answer

El producto escalar debe ser un valor positivo cualquiera.

Question 10

La diagonalización de formas cuadráticas tiene diversas aplicaciones. ¿Cuál de las siguientes opciones describe una de ellas?

Accepted Answer

Simplificar la ecuación de una cónica, facilitando su análisis y clasificación.

Answer

Calcular el área de un triángulo en el espacio tridimensional.

Answer

Determinar la velocidad de un objeto en movimiento a partir de su posición.

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas.

Question 11

¿Qué información proporciona el signo de los autovalores de la matriz asociada a una forma cuadrática?

Accepted Answer

La clasificación de la forma cuadrática (definida positiva, definida negativa o indefinida).

Answer

La dimensión del espacio vectorial donde se define la forma cuadrática.

Answer

El número de variables independientes en la forma cuadrática.

Question 12

La energía cinética de un cuerpo en movimiento se puede expresar como una forma cuadrática. ¿Cuál de estas variables es la que se eleva al cuadrado en dicha forma?

Accepted Answer

La velocidad del cuerpo.

Answer

La aceleración del cuerpo.

Answer

La masa del cuerpo.

Answer

El tiempo.

Question 13

¿Cuál de las siguientes funciones representa una forma cuadrática en el espacio vectorial R²?

Accepted Answer

Q(x, y) = 2x² + 3xy - y²

Answer

Q(x, y) = x + 2y

Answer

Q(x, y) = x³ + y³

Answer

Q(x, y) = sin(x) + cos(y)

Question 14

Un ingeniero químico diseña un tanque cilíndrico. Su volumen se calcula con la fórmula V = πr²h, donde r es el radio y h la altura. ¿Qué tipo de forma matemática representa esta fórmula?

Accepted Answer

Forma cuadrática

Answer

Función exponencial

Answer

Forma lineal

Answer

Forma bilineal

Question 15

Se dice que la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica. ¿Qué significa esto?

Accepted Answer

La matriz es igual a su transpuesta.

Answer

La matriz es invertible.

Answer

La matriz tiene todos sus elementos iguales a cero.

Question 16

En el análisis de estabilidad de un sistema dinámico, se usa una forma cuadrática. ¿Cómo se utiliza para determinar si un punto de equilibrio es estable?

Accepted Answer

Se evalúa el signo de la forma cuadrática en el punto de equilibrio.

Answer

Se calcula la derivada de la forma cuadrática en el punto de equilibrio.

Answer

Se busca un mínimo local de la forma cuadrática en el punto de equilibrio.

Question 17

Si una forma cuadrática es definida positiva, ¿qué característica tendrán todos sus valores propios?

Accepted Answer

Todos los valores propios son positivos.

Answer

La matriz asociada es invertible.

Answer

Todos los valores propios son negativos.

Question 18

Para que una forma bilineal defina un producto interno en un espacio vectorial, ¿qué propiedades debe cumplir?

Accepted Answer

Simetría y positividad definida

Answer

Linealidad y asociatividad

Answer

Distributividad y conmutatividad

Answer

Antisimetría y linealidad

Question 19

En geometría analítica, la forma cuadrática Q(x, y) = x² + 4xy + 4y² define una curva. ¿De qué curva se trata?

Accepted Answer

Elipse

Answer

Recta

Answer

Hipérbola

Answer

Parábola

Question 20

Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = x² + 2y² + 3z² - 2xy + 4xz, ¿cuál es su matriz asociada?

Accepted Answer

[[1, -1, 2], [-1, 2, 0], [2, 0, 3]]

Answer

[[1, 2, 4], [-1, 2, 0], [2, 0, 3]]

Answer

[[1, -1, 2], [-1, 2, 4], [2, 4, 3]]

Answer

[[1, 2, 4], [2, 2, 0], [4, 0, 3]]

Question 21

Un químico está estudiando la reacción de dos compuestos A y B para formar un nuevo compuesto C. La velocidad de reacción se puede modelar mediante una forma cuadrática que depende de las concentraciones de A y B. ¿Cuál es la ventaja de utilizar una forma cuadrática para modelar la velocidad de reacción?

Accepted Answer

Permite modelar la influencia de la concentración de ambos compuestos en la velocidad de reacción.

Answer

Proporciona información sobre el equilibrio químico.

Answer

Simplifica el cálculo de la velocidad de reacción.

Question 22

Se utiliza una forma bilineal para definir el producto interno en un espacio vectorial. Si se tiene la forma bilineal B(x, y) = x₁y₁ + 2x₂y₂ - x₁y₂ + x₂y₁, ¿es B(x, y) un producto interno?

Accepted Answer

No, porque no es simétrica.

Answer

No, porque no es lineal.

Answer

Sí, porque cumple todas las propiedades de un producto interno.

Answer

No, porque no es positiva definida.