Aplicaciones de las Transformaciones Lineales: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

En un sistema dinámico, ¿qué representa una transformación lineal?

Accepted Answer

La evolución del estado del sistema en el tiempo

Answer

Las salidas del sistema

Answer

El estado inicial del sistema

Answer

Las entradas al sistema

Question 2

¿Cuál de los siguientes es un método para diagonalizar una matriz que representa una transformación lineal?

Accepted Answer

Método de matrices similares

Answer

Método de eliminación gaussiana

Answer

Método de mínimos cuadrados

Question 3

En un análisis de Fourier, ¿qué representan las transformaciones lineales?

Accepted Answer

Proyecciones ortogonales sobre funciones base

Answer

Derivadas

Answer

Integrales

Answer

Convoluciones

Question 4

En gráficos por computadora, ¿qué tipo de transformaciones lineales se utilizan para representar proyecciones?

Accepted Answer

Transformaciones proyectivas

Answer

Transformaciones ortogonales

Answer

Transformaciones euclidianas

Answer

Transformaciones afines

Question 5

En un sistema dinámico, una transformación lineal representa:

Accepted Answer

La evolución temporal del estado del sistema

Answer

La configuración inicial del sistema

Answer

Las fuerzas externas que actúan sobre el sistema

Question 6

Una matriz ortogonal es un ejemplo de:

Accepted Answer

Una transformación lineal ortogonal

Answer

Una transformación lineal invertible

Answer

Una transformación lineal proyectiva

Answer

Una transformación lineal triangularizable

Question 7

El núcleo de una transformación lineal es:

Accepted Answer

El subespacio vectorial de vectores que son mapeados al vector cero

Answer

El conjunto de vectores que son mapeados a sí mismos

Answer

El subespacio vectorial de vectores que son mapeados a un vector distinto de cero

Question 8

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las transformaciones lineales en el análisis de datos?

Accepted Answer

Reducción de dimensionalidad y extracción de características

Answer

Solo clasificación

Answer

Solo regresión

Answer

Solo clustering

Question 9

En el contexto de las ecuaciones diferenciales, una transformación lineal puede ser utilizada para:

Accepted Answer

Transformar una ecuación diferencial a una forma más manejable

Answer

Resolver analíticamente todas las ecuaciones diferenciales

Answer

Aproximar numéricamente soluciones de ecuaciones diferenciales

Question 10

El operador gradiente es un ejemplo de:

Accepted Answer

Una transformación lineal

Answer

Un campo escalar

Answer

Un operador no lineal

Answer

Una función vectorial

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las transformaciones lineales es incorrecta?

Accepted Answer

No son funciones lineales

Answer

Pueden representar rotaciones y reflexiones en geometría

Answer

Tienen una matriz asociada que las representa

Answer

Preservan la suma y la multiplicación escalar

Question 12

En un sistema dinámico, ¿cómo se denomina la transformación lineal que modela la evolución del sistema?

Accepted Answer

Matriz de transición

Answer

Matriz de escala

Answer

Matriz de proyección

Answer

Matriz de rotación

Question 13

¿Qué conjunto de vectores se asigna al vector cero bajo una transformación lineal T?

Accepted Answer

Núcleo de T

Answer

Conjunto de vectores propios de T

Answer

Imagen de T

Question 14

¿Qué valor es igual a la dimensión del núcleo de una transformación lineal?

Accepted Answer

Nulidad de la transformación

Answer

Dimensión del espacio de partida

Answer

Rango de la transformación

Answer

Dimensión del espacio de llegada

Question 15

La imagen de un vector **v** bajo una transformación lineal **T** se calcula como:

Accepted Answer

**T** · **v**

Answer

**T** - **v**

Answer

**v** - **T**

Answer

**v** · **T**

Question 16

La composición de dos transformaciones lineales es:

Accepted Answer

Una transformación lineal

Answer

Una transformación no lineal

Answer

Una transformación afín

Question 17

El núcleo de una transformación lineal es:

Accepted Answer

El subespacio de vectores que se mapean al vector cero

Answer

El espacio completo de vectores

Answer

El subespacio de vectores que se mapean a sí mismos

Question 18

La imagen de una transformación lineal es:

Accepted Answer

El subespacio de vectores que son alcanzados por la transformación

Answer

El espacio completo de vectores

Answer

El subespacio de vectores que no son alcanzados por la transformación

Question 19

Una transformación lineal que amplía un vector por un factor de 2 en la dirección x y un factor de 3 en la dirección y tiene una matriz de transformación dada por:

Accepted Answer

[2 0
 0 3]

Answer

[0 0
 2 3]

Answer

[2 3
 0 0]

Answer

[0 2
 3 0]

Question 20

La inversa de una transformación lineal:

Accepted Answer

Existe únicamente si la transformación es invertible

Answer

Siempre existe

Answer

Nunca existe

Question 21

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una aplicación típica de las transformaciones lineales?

Accepted Answer

Cálculo del área de una superficie.

Answer

Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Answer

Compresión de imágenes digitales.

Question 22

Una transformación lineal T mapea el vector (1,0) a (2,1) y el vector (0,1) a (-1,3).  ¿Cuál es la matriz estándar de T?

Accepted Answer

[[2, -1], [1, 3]]

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Answer

[[2, 1], [-1, 3]]

Answer

[[-1, 2], [3, 1]]

Question 23

Un sistema dinámico lineal está dado por la ecuación x(t+1) = Ax(t), donde A es una matriz 2x2 con valores propios -0.5 y 1.5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe el comportamiento a largo plazo del sistema?

Accepted Answer

El sistema diverge al infinito exponencialmente.

Answer

El sistema converge a un punto de equilibrio no trivial.

Answer

El sistema oscila con una amplitud constante.

Question 24

Una transformación lineal T en R² se define como una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen. ¿Cuál es la imagen del vector (2,3) bajo T?

Accepted Answer

(-3, 2)

Answer

(2, 3)

Answer

(-2, -3)

Answer

(3, -2)

Question 25

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una transformación lineal?

Accepted Answer

T(x,y) = (x², y³)

Answer

T(x,y) = (2x, 2y)

Answer

T(x,y) = (0, 0)

Answer

T(x,y) = (x+y, x-y)

Question 26

Se aplica una transformación lineal a una imagen digital para mejorar su resolución. ¿Qué propiedad de las transformaciones lineales permite que la imagen transformada mantenga su nitidez?

Accepted Answer

Las transformaciones lineales preservan las longitudes y los ángulos.

Answer

Las transformaciones lineales son invertibles.

Answer

Las transformaciones lineales pueden representarse mediante matrices.

Question 27

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se transforma en un sistema equivalente mediante una transformación lineal. ¿Qué ventaja ofrece el nuevo sistema en comparación con el original?

Accepted Answer

El nuevo sistema puede tener coeficientes constantes.

Answer

El nuevo sistema no tendrá soluciones triviales.

Answer

El nuevo sistema no tendrá soluciones no triviales.

Answer

El nuevo sistema tendrá menos ecuaciones.

Question 28

Se aplica una transformación lineal a un conjunto de datos para normalizarlo. ¿Qué tipo de transformación lineal se utiliza en este caso?

Accepted Answer

Escalado.

Answer

Rotación.

Answer

Dilatación.

Answer

Reflexión.

Question 29

Una transformación lineal T mapea un cuadrado unitario a un rectángulo con área 3. ¿Cuál es el determinante de la matriz asociada a T?

Accepted Answer

-3

Answer

9

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Answer

1/3

Question 30

En un modelo de elementos finitos, se utiliza una transformación lineal para mapear un elemento triangular general a un triángulo de referencia. ¿Cuál es la principal ventaja de esta transformación?

Accepted Answer

Simplifica los cálculos al permitir el uso de funciones de forma estándar.

Answer

Elimina la necesidad de considerar las condiciones de contorno.

Answer

Reduce el número de elementos necesarios en la malla.