Combinaciones lineales y dependencia lineal: cuestionarios interactivos

Question 1

Determina si el conjunto de vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3.

Accepted Answer

Sí, es una base porque son linealmente independientes.

Answer

No, no es una base porque no son linealmente independientes.

Answer

No se puede determinar a partir de la información proporcionada.

Question 2

Encuentra una base ortonormal para el subespacio generado por los vectores {(1, 1), (2, 1)} en R2.

Accepted Answer

({(1/√2, 1/√2), (-1/√2, 1/√2)})

Answer

({(1, 0), (0, 1)})

Answer

({(1, 1), (0, 1)})

Question 3

Determina si la función f(x, y) = x + 2y es una transformación lineal.

Accepted Answer

Sí, es una transformación lineal porque cumple con las propiedades de linealidad.

Answer

No, no es una transformación lineal.

Question 4

Encuentra la matriz asociada a la transformación lineal T: R2 → R3 definida por T(x, y) = (x + y, x - y, 2y).

Accepted Answer

A = ((1, 1, 0), (1, -1, 2), (0, 0, 2))

Answer

A = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 2, 2))

Answer

A = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 2))

Question 5

Encuentra una base para el espacio vectorial generado por los vectores v1 y v2:
 v1 = [1, -1, 2], v2 = [0, 1, 1]

Accepted Answer

{v1, v2}

Answer

{v1, v2, [0, 0, 0]}

Answer

{v2}

Answer

{v1}

Question 6

Considera el siguiente conjunto de vectores:
 v1 = [1, 0, 0], v2 = [0, 1, 0], v3 = [0, 0, 1]. Determina si estos vectores son linealmente independientes:

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

No se puede determinar

Answer

Depende del contexto

Question 7

Considera el siguiente conjunto de vectores:
 v1 = [1, 0, 1], v2 = [0, 1, 1], v3 = [1, 1, 2]. ¿Es este conjunto linealmente dependiente?

Accepted Answer

Sí

Answer

Depende del contexto

Answer

No

Answer

No se puede determinar

Question 8

Sea W un subespacio vectorial de R4 generado por los vectores {(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1)}. ¿Cuál es una base para W?

Accepted Answer

{(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1)}

Answer

{(1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8)}

Answer

{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1)}

Question 9

¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente?

Accepted Answer

Existe un vector que es combinación lineal de los demás

Answer

El conjunto es ortogonal

Answer

El conjunto es una base

Answer

El conjunto genera todo el espacio vectorial

Question 10

Sea V un espacio vectorial de dimensión 3. ¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes que pueden formar parte de V?

Accepted Answer

3

Answer

5

Answer

1

Answer

Infinito

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las combinaciones lineales es verdadera?

Accepted Answer

Es una operación que produce un vector que pertenece al mismo espacio vectorial que los vectores originales.

Answer

Es una operación que solo se puede realizar con vectores ortogonales.

Answer

Es una operación que cambia la magnitud de los vectores originales.

Answer

Es una operación que siempre da como resultado el vector cero.

Question 12

En un espacio vectorial, ¿cuándo un conjunto de vectores es linealmente dependiente?

Accepted Answer

Cuando un vector del conjunto se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores del conjunto.

Answer

Cuando el conjunto es una base

Answer

Cuando el conjunto es ortogonal

Answer

Cuando el conjunto genera todo el espacio vectorial

Question 13

Sean los vectores  u = (1, 2, 3) y v = (2, 4, 6). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

Los vectores u y v son linealmente dependientes.

Answer

Los vectores u y v forman una base para R^3.

Answer

Los vectores u y v son ortogonales.

Answer

Los vectores u y v son linealmente independientes.

Question 14

Considere los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) y w = (1, 1, 0). ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente?

Accepted Answer

{u, v, w}

Answer

{v, w}

Answer

{u, w}

Answer

{u, v}

Question 15

Sea S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (1, 0, -1) } un conjunto de vectores en R^3. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial generado por S?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

4

Question 16

El vector (2, 1) puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1). ¿Cuáles son los coeficientes de la combinación lineal?

Accepted Answer

2 y 1

Answer

0 y 1

Answer

1 y 0

Answer

1 y 2

Question 17

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores forma una base para R^2?

Accepted Answer

{ (1, 0), (0, 1) }

Answer

{ (0, 0), (1, 1) }

Answer

{ (1, 1), (2, 2) }

Answer

{ (1, 0), (1, 1) }

Question 18

Sean u = (1, 2) y v = (3, 4). ¿Cuál es la combinación lineal 2u - 3v?

Accepted Answer

(-7, -8)

Answer

(-1, -2)

Answer

(5, 2)

Answer

(1, 0)

Question 19

Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, ¿qué se puede decir sobre el espacio vectorial generado por esos vectores?

Accepted Answer

La dimensión del espacio vectorial es igual al número de vectores en el conjunto.

Answer

El espacio vectorial es infinito-dimensional.

Answer

El espacio vectorial es el espacio nulo.

Question 20

Considere el conjunto de vectores S = { (1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1) }. ¿Es S una base para R^3?

Accepted Answer

Sí, porque S es linealmente independiente y genera R^3.

Answer

No, porque S no genera R^3.

Answer

No, porque S es linealmente dependiente.

Question 21

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, ¿qué se puede decir sobre la posibilidad de expresar uno de los vectores como una combinación lineal de los demás?

Accepted Answer

Al menos uno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los demás.

Answer

Todos los vectores pueden ser expresados como una combinación lineal de los demás.

Answer

Ninguno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los demás.

Question 22

Sea V un espacio vectorial con dimensión n. ¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes que pueden pertenecer a V?

Accepted Answer

n

Answer

Infinito

Answer

n-1

Answer

n+1