Definición y propiedades de formas bilineales: Test de aprendizaje interactivo

Question 1

¿Cuál de las siguientes definiciones es correcta para una forma bilineal?

Accepted Answer

Aplicación lineal en dos variables que es aditiva en cada variable

Answer

Aplicación multiplicativa en dos variables

Answer

Aplicación no lineal en una variable

Question 2

Sea V un espacio vectorial sobre el campo R. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial de todas las formas bilineales sobre V?

Accepted Answer

n²

Answer

2n

Answer

n

Answer

n³

Question 3

¿Cuándo una forma bilineal es simétrica?

Accepted Answer

Cuando f(x, y) = f(y, x) para todo x e y en V

Answer

Cuando f(x, y) = 1 para todo x e y en V

Answer

Cuando f(x, y) = -f(y, x) para todo x e y en V

Answer

Cuando f(x, x) = 0 para todo x en V

Question 4

Si M es la matriz que representa una forma bilineal f, ¿qué operación sobre M representa la transposición de f?

Accepted Answer

Transpuesta de M

Answer

Inversa de M

Answer

Adjunta de M

Answer

Determinante de M

Question 5

¿Cuál es la forma bilineal asociada a la matriz M = [1 2; 3 4]?

Accepted Answer

f(x, y) = x + 2y + 3xy

Answer

f(x, y) = x + 4y + 2xy

Answer

f(x, y) = 1x + 3y + 2xy

Answer

f(x, y) = 2x + 4y + xy

Question 6

Considera dos formas bilineales f y g en un mismo espacio vectorial V. ¿Qué afirmación es correcta?

Accepted Answer

f + g y f - g son también formas bilineales en V

Answer

f * g es una forma bilineal en V

Answer

f / g es una forma bilineal en V

Question 7

¿En qué circunstancias es posible representar una forma bilineal mediante una matriz?

Accepted Answer

Cuando el espacio vectorial sobre el que está definida la forma bilineal es de dimensión finita.

Answer

Cuando la forma bilineal es simétrica.

Answer

Cuando la forma bilineal es antisimétrica.

Question 8

¿Cuál de los siguientes criterios caracteriza a una forma bilineal simétrica?

Accepted Answer

La forma bilineal toma el mismo valor para cualquier par de vectores intercambiados, es decir, f(x, y) = f(y, x) para todos los vectores x e y del espacio vectorial.

Answer

La forma bilineal es lineal en su primer argumento.

Answer

La forma bilineal es alternada, es decir, f(x, x) = 0 para todo vector x del espacio vectorial.

Question 9

¿Bajo qué condición una forma bilineal se considera definida positiva?

Accepted Answer

Cuando toma valores positivos para todos los vectores no nulos del espacio vectorial.

Answer

Cuando toma valores positivos para algunos vectores del espacio vectorial.

Answer

Cuando toma valores no negativos para todos los vectores del espacio vectorial.

Question 10

Respecto a la matriz asociada a una forma bilineal simétrica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

Es una matriz simétrica.

Answer

Es una matriz antisimétrica.

Answer

Es una matriz diagonal.

Answer

Es una matriz identidad.

Question 11

¿Cuál de las siguientes características define a una forma bilineal alternada?

Accepted Answer

Toma el valor cero para cualquier par de vectores idénticos, es decir, f(x, x) = 0 para todo vector x del espacio vectorial.

Answer

Toma valores positivos para todos los vectores del espacio vectorial.

Answer

Toma valores negativos para todos los vectores del espacio vectorial.

Question 12

¿Qué propiedad implica que una forma bilineal es definida negativa?

Accepted Answer

Toma valores negativos para todos los vectores no nulos del espacio vectorial.

Answer

Toma valores positivos para todos los vectores del espacio vectorial.

Answer

Toma valores positivos para algunos vectores y negativos para otros.

Question 13

¿En qué circunstancia una forma bilineal se denomina definida semidefinida positiva?

Accepted Answer

Cuando toma valores no negativos para todos los vectores del espacio vectorial.

Answer

Cuando toma valores positivos para todos los vectores del espacio vectorial.

Answer

Cuando toma valores positivos para algunos vectores y negativos para otros.

Question 14

¿Cuál es la definición de forma bilineal?

Accepted Answer

Aplicación bilineal entre dos espacios vectoriales sobre un cuerpo a su campo de escalares

Answer

Aplicación que cumple la propiedad asociativa

Answer

Aplicación lineal que cumple la propiedad conmutativa

Question 15

¿Qué propiedad NO cumple una forma bilineal?

Accepted Answer

Antisimetría

Answer

Asociatividad

Answer

Conmutatividad

Answer

Bilinealidad

Question 16

Si una forma bilineal es definida positiva, ¿qué propiedad cumple?

Accepted Answer

Todos sus valores propios son positivos

Answer

Todos sus valores propios son negativos

Answer

Todos sus valores propios son cero

Answer

Todos sus valores propios son imaginarios

Question 17

¿Qué tipo de subespacio vectorial se obtiene al anular una forma bilineal definida?

Accepted Answer

Subespacio isótropo

Answer

Subespacio ortogonal

Answer

Subespacio propio

Question 18

¿Qué propiedad cumple la forma bilineal f(x, y) = x · y?

Accepted Answer

Producto escalar

Answer

Forma cuadrática

Answer

Forma alternada

Answer

Forma simétrica

Question 19

Si la forma bilineal f(x, y) es definida negativa, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

Todos sus valores propios son negativos

Answer

Todos sus valores propios son positivos

Answer

Todos sus valores propios son cero