Matrices de Transformaciones Lineales: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Considerando la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x - y, x + 2y), calcula su matriz asociada respecto a la base B = {(1, 1), (-1, 2)}.

Accepted Answer

| 2 -1 |

Answer

| 2  1 |

Answer

| 1  2 |

Answer

| -1  2 |

Question 2

Determina la matriz asociada a la transformación lineal que proyecta un vector sobre el eje x.

Accepted Answer

| 1  0  0 |

Answer

| 0  1  0 |

Answer

| 0  0  1 |

Answer

| -1  0  0 |

Question 3

Dada la base B = {(1, 0), (0, 1)} de R² y la base B' = {(1, 1), (1, -1)} de R², la matriz asociada a una transformación lineal T: R² → R² respecto a B es A = [2 1]
[1 3]. ¿Cuál es la matriz asociada a T respecto a B'?

Accepted Answer

[5/2 1/2]
[1/2 5/2]

Answer

[3 2]
[1 1]

Answer

[1 0]
[0 1]

Answer

[2 1]
[1 3]

Question 4

Dada la transformación lineal T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + y, 2x - z), ¿cuál es la dimensión de la imagen de T?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 5

Sea A = [2 0 1]
[1 1 0]
[0 1 1] la matriz asociada a una transformación lineal T: R³ → R³ respecto a la base canónica. ¿Cuál es la matriz asociada a T respecto a la base B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}?

Accepted Answer

A = [2 0 1]
[1 1 0]
[0 1 1]

Answer

[1 1 1]
[0 1 1]
[1 0 1]

Answer

[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

Answer

[1 0 0]
[0 0 1]
[0 1 0]

Question 6

Dada la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x - y, x + 3y), ¿cuál es la matriz asociada a T respecto a la base B = {(1, 1), (1, -1)}?

Accepted Answer

[3/2 -5/2]
[5/2 1/2]

Answer

[2 1]
[1 2]

Answer

[2 -1]
[1 3]

Answer

[1 1]
[1 -1]

Question 7

Si A = [1 2]
[0 1] es la matriz asociada a una transformación lineal T: R² → R² respecto a la base canónica, ¿cuál es la transformación lineal T?

Accepted Answer

T(x, y) = (x + 2y, y)

Answer

T(x, y) = (x, 2y)

Answer

T(x, y) = (x, y + 2)

Answer

T(x, y) = (x + y, 2y)

Question 8

Sea T: R³ → R² una transformación lineal con matriz asociada A = [1 0 1]
[2 1 0] respecto a la base canónica en R³ y R² respectivamente. ¿Cuál es la dimensión del rango de T?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

0

Answer

1

Question 9

Dada la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y), ¿cuál es la matriz asociada a T con respecto a la base canónica de R²?

Accepted Answer

[1 1; 2 -1]

Answer

[2 1; -1 1]

Answer

[1 -1; 2 1]

Answer

[1 2; 1 -1]

Question 10

Si A es la matriz asociada a una transformación lineal T: R³ → R³, ¿cuál es la matriz asociada a la transformación lineal 2T?

Accepted Answer

2A

Answer

A²

Answer

A + A

Answer

A/2

Question 11

Dada la matriz A = [1 2; 3 4], ¿cuál es la imagen del vector (1, 1) bajo la transformación lineal T asociada a A?

Accepted Answer

(3, 7)

Answer

(2, 4)

Answer

(1, 3)

Answer

(4, 7)

Question 12

Sea B = {v₁, v₂} una base de R² y T: R² → R² una transformación lineal con matriz asociada A en la base B. ¿Cuál es la matriz asociada a T con respecto a la base canónica de R²?

Accepted Answer

Se obtiene multiplicando A por la matriz de cambio de base de B a la base canónica.

Answer

Es la misma matriz A.

Answer

Se obtiene multiplicando A por la matriz de cambio de base de la base canónica a B.

Question 13

Sean T₁ y T₂ dos transformaciones lineales de R² a R² con matrices asociadas A₁ y A₂ respectivamente. ¿Cuál es la matriz asociada a la composición T₂ o T₁?

Accepted Answer

A₂A₁

Answer

A₂ - A₁

Answer

A₁A₂

Answer

A₁ + A₂

Question 14

Una transformación lineal T: R³ → R³ es una proyección sobre el plano x + y + z = 0. ¿Cuál es el rango de la matriz asociada a T?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

3

Question 15

Si la matriz asociada a una transformación lineal T es invertible, ¿qué se puede decir sobre T?

Accepted Answer

T es una biyección.

Answer

T no es inyectiva.

Answer

T no es sobreyectiva.

Answer

T es la transformación identidad.

Question 16

Sea T: R³ → R³ una transformación lineal con matriz asociada A. Si T es una rotación alrededor del eje z, ¿qué podemos decir sobre la matriz A?

Accepted Answer

A es una matriz ortogonal.

Answer

A es una matriz diagonal.

Answer

A es una matriz con determinante 0.

Answer

A es una matriz triangular superior.

Question 17

Sea B = {(1, 0), (0, 1)} la base canónica de R² y B' = {(1, 1), (1, -1)} otra base de R². Si la matriz asociada a una transformación lineal T en la base B es A = [2 1; 0 1], ¿cuál es la matriz asociada a T en la base B'?

Accepted Answer

[3/2 1/2; 1/2 1/2]

Answer

[2 1; 0 1]

Answer

[1 1; 1 -1]

Answer

[2 0; 1 1]

Question 18

Dada la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y), ¿cuál es la matriz asociada a T en la base B = {(1, 1), (1, -1)}?

Accepted Answer

[3 0; 0 1]

Answer

[1 0; 0 2]

Answer

[1 1; 2 -1]

Answer

[2 1; 1 0]

Question 19

Sea $T: mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal definida por $T(x,y,z) = (x+2y, 3z)$. ¿Cuál es la matriz asociada a $T$ respecto a las bases canónicas de $mathbb{R}^3$ y $mathbb{R}^2$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 3 \ end{pmatrix}$

Question 20

Sea $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal definida por $T(x,y) = (2x-y, x+3y)$. Si $B = {(1,0), (0,1)}$ es la base canónica de $mathbb{R}^2$, ¿cuál es la matriz de cambio de base de $B$ a la base $B' = {(1,1), (1,-1)}$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \ 1/2 & 1/2 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 \ end{pmatrix}$

Question 21

Sean $T: mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^3$ una transformación lineal y $B$ una base de $mathbb{R}^3$. Si la matriz asociada a $T$ respecto a $B$ es $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 2 \ end{pmatrix}$, ¿cuál es la imagen del vector $v = (1,2,1)$ bajo $T$?

Accepted Answer

(4,3,5)

Answer

(2,1,1)

Answer

(1,2,1)

Question 22

Sean $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal y $B = {(1,1), (1,-1)}$ una base de $mathbb{R}^2$. Si la matriz asociada a $T$ respecto a $B$ es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end{pmatrix}$, ¿cuál es la matriz asociada a $T$ respecto a la base canónica de $mathbb{R}^2$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 \ 1/2 & 5/2 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end{pmatrix}$

Question 23

Sea $T: mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^3$ una transformación lineal. Si $T(1,0,0) = (2,1,0)$, $T(0,1,0) = (1,0,1)$ y $T(0,0,1) = (0,1,2)$, ¿cuál es la matriz asociada a $T$ respecto a la base canónica de $mathbb{R}^3$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix}$

Question 24

Sean $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal y $B = {(1,1), (1,-1)}$ una base de $mathbb{R}^2$. Si la matriz asociada a $T$ respecto a $B$ es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end{pmatrix}$, ¿cuál es la imagen del vector $v = (3,1)$ bajo $T$?

Accepted Answer

(2,4)

Answer

(1,2)

Answer

(4,2)

Answer

(3,1)

Question 25

Sea $T: mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^3$ una transformación lineal definida por $T(x,y,z) = (x+y, 2y+z, x-z)$. ¿Cuál es la matriz asociada a $T$ respecto a la base $B = {(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0)}$ de $mathbb{R}^3$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \ 1 & 3 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 3 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 3 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ end{pmatrix}$

Question 26

Sean $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal y $B$ una base de $mathbb{R}^2$. Si la matriz asociada a $T$ respecto a $B$ es $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \ end{pmatrix}$, ¿cuál es la matriz asociada a $T$ respecto a la base $B' = {(1,2), (2,1)}$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 5 & 2 \ 2 & 1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 5 & 3 \ 2 & 1 \ end{pmatrix}$

Question 27

Sea $T: mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal definida por $T(x,y,z) = (2x-y, x+z)$. Si $B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}$ es la base canónica de $mathbb{R}^3$ y $B' = {(1,1), (1,-1)}$ es una base de $mathbb{R}^2$, ¿cuál es la matriz asociada a $T$ respecto a las bases $B$ y $B'$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 & 1/2 \ 1/2 & 3/2 & 1/2 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ end{pmatrix}$

Question 28

Sean $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ una transformación lineal y $B = {(1,1), (1,-1)}$ una base de $mathbb{R}^2$. Si la matriz asociada a $T$ respecto a $B$ es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end{pmatrix}$, ¿cuál es la transformación lineal $T$?

Accepted Answer

$T(x,y) = (x/2 + y/2, -x/2 + 3y/2)$

Answer

$T(x,y) = (x,2y)$

Answer

$T(x,y) = (x+y, x-y)$

Answer

$T(x,y) = (x,y)$