Aplicaciones del Cálculo Integral: Cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes de Curvas

Question 1

La integral que representa el área de la región sombreada bajo la curva $$y = x^3$$ entre $$x = 0$$ y $$x = 2$$ es:

Accepted Answer

$$∫_0^2 x^3 dx$$

Answer

$$-∫_0^2 x^3 dx$$

Answer

$$-∫_2^0 x^3 dx$$

Answer

$$∫_2^0 x^3 dx$$

Question 2

El volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas $$y = x^2$$ y $$y = 4$$ alrededor del eje y es:

Accepted Answer

$$32π/15$$

Answer

$$8π/15$$

Answer

$$16π/15$$

Answer

$$4π/15$$

Question 3

La longitud del arco de la curva $$y = e^x$$ entre $$0 ≤ x ≤ 1$$ es:

Accepted Answer

√(e^2 - 1)

Answer

e^2 - 1

Answer

√(e - 1)

Answer

e - 1

Question 4

El centro de masa de la región limitada por las curvas $$y = x$$ e $$y = x^2$$ es:

Accepted Answer

($$2/5, 8/15$$)

Answer

($$1/2, 1/2$$)

Answer

($$1, 1$$)

Answer

($$1/3, 2/3$$)

Question 5

Un tanque se llena a una velocidad dada por la función f(t) = t^2 + 2 litros por minuto. ¿Cuántos litros se acumularán en el tanque después de 4 minutos?

Accepted Answer

36

Answer

1250

Answer

2500

Answer

312,5

Question 6

¿Cuál es la interpretación física de la integral de la velocidad?

Accepted Answer

Distancia recorrida

Answer

Volumen del sólido generado por la curva

Answer

Trabajo realizado por una fuerza

Answer

Tasa de cambio del área

Question 7

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de la superficie de revolución generada al girar una curva y = f(x) alrededor del eje x?

Accepted Answer

2π∫[a,b] f(x) √(1 + [f'(x)]^2) dx

Answer

∫v'(t) dt

Answer

-∫v(t) dt

Answer

-∫v'(t) dt

Question 8

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO es un uso del cálculo integral en ingeniería química?

Accepted Answer

Análisis estadístico

Answer

Cálculo de volúmenes de tanques y reactores

Answer

Determinación de longitudes de tuberías

Answer

Cálculo de áreas superficiales de catalizadores

Question 9

La longitud de una curva definida por la función f(x) entre los puntos a y b se calcula mediante la integral:

Accepted Answer

∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[a,b] |f'(x)| dx

Question 10

Para calcular el área de una región limitada por dos funciones f(x) y g(x), donde f(x) ≥ g(x), se utiliza la integral:

Accepted Answer

∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Answer

∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx

Answer

∫[a,b] (g(x) - f(x)) dx

Answer

∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx

Question 11

El teorema del valor medio del cálculo integral establece que:

Accepted Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] tal que f(c) = (1/(b - a))∫[a,b] f(x) dx.

Answer

La derivada de una integral definida es igual a la función integrando.

Answer

La integral definida de una función siempre es igual a cero.

Question 12

La integral impropia ∫[0,∞] e^(-x) dx:

Accepted Answer

Converge a 1.

Answer

Diverge a infinito.

Answer

Diverge a negativo infinito.

Answer

Converge a 0.

Question 13

Para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable F(x) a lo largo de una distancia d, se utiliza la integral:

Accepted Answer

∫[a,b] F(x) dx

Answer

∫[a,b] F'(x) dx

Answer

∫[a,b] |F(x)| dx

Answer

∫[a,b] F(x)² dx

Question 14

El coste de producir x unidades de un producto está dado por C(x) = 0,05x² + 10x + 500. ¿Cuántas unidades deben producirse para minimizar el coste medio por unidad?

Accepted Answer

200

Answer

400

Answer

100

Answer

500

Question 15

Una función de utilidad está dada por U(x, y) = x²y. Si el presupuesto para gastar en dos bienes, x e y, es de 100 unidades monetarias, ¿cuántas unidades de cada bien deben comprarse para maximizar la utilidad total?

Accepted Answer

x = y = 25

Answer

x = 20, y = 30

Answer

x = 50, y = 0

Answer

x = 0, y = 50

Question 16

Un tanque cilíndrico con un radio de 2 metros y una altura de 5 metros está lleno de agua. ¿Cuál es el trabajo realizado al bombear toda el agua fuera del tanque, si la densidad del agua es 1000 kg/m³ y la aceleración debida a la gravedad es 9.8 m/s²?

Accepted Answer

196,000π Joules

Answer

98,000π Joules

Answer

490,000π Joules

Answer

392,000π Joules

Question 17

Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas y = x² y y = 1 alrededor del eje x.

Accepted Answer

8π/3 unidades cúbicas

Answer

2π unidades cúbicas

Answer

4π/3 unidades cúbicas

Question 18

Un reactor químico tiene la forma de un cilindro con un radio de 2 metros y una altura de 5 metros. La concentración de un reactivo en el reactor varía con la altura según la función C(h) = 10 - h, donde h es la altura en metros y C(h) es la concentración en moles/litro. ¿Cuál es la cantidad total del reactivo en el reactor?

Accepted Answer

100π moles

Answer

50π moles

Answer

25π moles

Answer

200π moles

Question 19

Una curva está definida por la ecuación y = f(x) donde f'(x) = 1/x. Si la curva pasa por el punto (1, 2), ¿Cuál es la ecuación de la curva?

Accepted Answer

y = ln(x) + 2

Answer

y = e^x + 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = x² + 1

Question 20

Se quiere calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas y = x² y y = 2x alrededor del eje y. ¿Cuál es la integral que representa este volumen?

Accepted Answer

π∫₀² (2x - x²)² dx

Answer

2π∫₀² (2x - x²)² dx

Answer

π∫₀² (2x - x²) dx

Answer

2π∫₀² (2x - x²) dx