Aplicaciones de la Integral Definida: Cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes

Question 1

¿Cuál de las siguientes integrales define el área de la región sombreada bajo la curva y = x² + 1, entre x = 0 y x = 2?

Accepted Answer

∫[0, 2] (x² + 1) dx

Answer

∫[0, 1] (x² + 1) dx

Answer

∫[1, 0] (x² + 1) dx

Answer

∫[1, 2] (x² + 1) dx

Question 2

Calcular el trabajo realizado para bombear agua desde un tanque de profundidad h hasta un punto situado a una altura de d sobre el tanque.

Accepted Answer

ρgh(h + d)

Answer

ρgh(h - d)

Answer

ρg(h - d)²

Answer

ρg(h + d)²

Question 3

Calcular la densidad de masa lineal de una varilla de longitud L cuya densidad de masa varía según la función ρ(x) = x².

Accepted Answer

∫[0, L] x² dx

Answer

∫[0, L] x dx

Answer

∫[0, L] 2x dx

Answer

∫[0, L] x³ dx

Question 4

Determina la integral que calcula el área de la región bajo la curva y=x² entre x=1 y x=3.

Accepted Answer

∫[1, 3] x² dx

Answer

∫[0, 1] x² dx

Answer

∫[1, 3] x dx

Answer

∫[0, 3] x² dx

Question 5

Indica la fórmula para calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región bajo la curva y=sen(x) entre x=0 y x=π/2 alrededor del eje x.

Accepted Answer

π∫[0, π/2] sen²(x) dx

Answer

∫[0, π/2] sen²(x) dx

Answer

π∫[0, π/2] sen(x) dx

Answer

∫[0, π/2] sen(x) dx

Question 6

¿Cuál es la integral que permite determinar la longitud de la curva y=x³+1 entre los puntos x=0 y x=1?

Accepted Answer

∫[0, 1] √(1+9x^4) dx

Answer

∫[0, 1] 3x²+1 dx

Answer

∫[0, 1] x³+1 dx

Question 7

¿Qué integral calcula el trabajo realizado por una fuerza constante F=10N sobre un objeto que se desplaza 5m?

Accepted Answer

10∫[0, 5] 1 dx

Answer

10∫[5, 0] 1 dx

Answer

5∫[10, 0] 1 dx

Answer

5∫[0, 10] 1 dx

Question 8

Identificar la integral que representa el área bajo la curva y=x^2 en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

∫[0, 1] x^2 dx

Answer

∫[1, 0] 2x dx

Answer

∫[0, 1] 2x dx

Answer

∫[1, 0] x^2 dx

Question 9

Identificar la integral que representa el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas y=x y y=2x alrededor del eje y.

Accepted Answer

∫[0, 1] π(2x-x^2) dx

Answer

∫[1, 0] π(2x-x^2) dx

Answer

∫[0, 1] π(x^2-2x) dx

Answer

∫[1, 0] π(x^2-2x) dx

Question 10

Calcular la longitud del arco de la curva y=sen(x)cos(x) en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

π/2

Answer

1/2

Answer

π/4

Question 11

Calcular la longitud del arco de la curva **y=x³/2**, para **x** entre **0** y **1**.

Accepted Answer

4/5 u

Answer

2/5 u

Answer

8/5 u

Answer

1/5 u

Question 12

Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo **(0,1)** tome un valor menor que **0,5**.

Accepted Answer

1/2

Answer

3/4

Answer

1

Answer

1/4

Question 13

¿Cuál de las siguientes NO es una aplicación de la integral definida?

Accepted Answer

Cálculo de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria

Answer

Cálculo del área bajo una curva

Answer

Cálculo del volumen de un sólido de revolución

Answer

Cálculo de la longitud de una curva

Question 14

Un tanque con forma de cono invertido tiene un radio de 5 metros y una altura de 10 metros. Si el tanque está lleno de agua hasta una altura de 6 metros, ¿cuál es el trabajo necesario para bombear toda el agua fuera del tanque? (Considere la densidad del agua como 1000 kg/m³ y la aceleración de la gravedad como 9.8 m/s²)

Accepted Answer

9800π∫₀⁶ (6 - y)y² dy

Answer

9800π∫₀⁶ (10 - y)y² dy

Answer

9800π∫₀⁶ (6 - y)y dy

Answer

9800π∫₀⁶ y² dy

Question 15

La función f(x) = x³ - 3x² + 2x representa la velocidad de un objeto en movimiento. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el objeto entre t = 0 y t = 2?

Accepted Answer

∫₀² |x³ - 3x² + 2x| dx

Answer

∫₀¹ (x³ - 3x² + 2x) dx + ∫₁² (x³ - 3x² + 2x) dx

Answer

∫₀¹ (x³ - 3x² + 2x) dx - ∫₁² (x³ - 3x² + 2x) dx

Answer

∫₀² (x³ - 3x² + 2x) dx

Question 16

Se calcula el área de la región limitada por las curvas y = x² y y = 2x - x² utilizando la integral definida. ¿Cuál es el valor de la integral que representa dicha área?

Accepted Answer

∫₀¹ (2x - 2x²) dx

Answer

∫₀¹ (x² - 2x + x²) dx

Answer

∫₀² (2x - 2x²) dx

Answer

∫₀² (x² - 2x + x²) dx

Question 17

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Si la aceleración debida a la gravedad es de -9.8 m/s², ¿cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

Accepted Answer

∫₀^(20/9.8) (20 - 9.8t) dt

Answer

∫₀^(20/9.8) (9.8t - 20) dt

Answer

∫₀^(20/9.8) (9.8t + 20) dt

Answer

∫₀^(20/9.8) (20 + 9.8t) dt

Question 18

La función f(x) = 1/x representa la densidad lineal de una barra de longitud 2 unidades. ¿Cuál es la masa total de la barra?

Accepted Answer

∫₁² (1/x) dx

Answer

∫₀² (1/x) dx

Answer

∫₀² x dx

Answer

∫₁² x dx

Question 19

Se calcula el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las curvas y = e^x, y = 0, x = 0, x = 1 alrededor del eje x. ¿Cuál es el valor de la integral definida que representa dicho volumen?

Accepted Answer

π∫₀¹ (e^x)² dx

Answer

π∫₀¹ e^x dx

Answer

2π∫₀¹ (e^x)² dx