Integral Definida: Concepto, Propiedades y Teoremas

Question 1

Sea f(x) una función continua definida en [a, b]. ¿Cuál es la definición de la integral definida de f(x) en [a, b]?

Accepted Answer

El límite de la suma de Riemann cuando el número de subintervalos tiende a infinito

Answer

El área bajo la curva y = f(x) entre x = a y x = b

Answer

La derivada de f(x) evaluada en b menos la derivada de f(x) evaluada en a

Question 2

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1, afirma que:

Accepted Answer

Si f(x) es continua en [a, b], entonces existe una función F(x) tal que F'(x) = f(x) y ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Answer

Si f(x) es continua en [a, b], entonces ∫[a, b] f(x) dx = f(b) - f(a)

Question 3

Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2, para calcular ∫[0, 1] x^2 dx.

Accepted Answer

1/3

Answer

0

Answer

2

Answer

1

Question 4

Determina la convergencia de la integral impropia ∫[0, 1] 1/x dx.

Accepted Answer

Es divergente

Answer

Es convergente y su valor es 1

Answer

Es convergente y su valor es infinito

Answer

Es condicionalmente convergente

Question 5

¿Cuál es una de las aplicaciones de las integrales definidas?

Accepted Answer

Calcular el área bajo una curva

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Encontrar la pendiente de una recta

Question 6

Define la integral definida de una función f(x) en el intervalo [a, b] como límite de sumas de Riemann.

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) en [a, b], calculada como el límite de las sumas de áreas de rectángulos inscritos.

Answer

La pendiente de la curva de f(x) en x = a.

Answer

La derivada de la función f(x) en [a, b].

Question 7

Para una función continua f(x) en [a, b], ¿qué teorema conecta la derivada de f(x) con su integral definida?

Accepted Answer

El teorema fundamental del cálculo integral, primera parte.

Answer

El teorema de la integral de Cauchy.

Answer

El teorema del valor extremo.

Question 8

Si la integral definida de f(x) de a a b es cero, ¿qué conclusión se puede sacar sobre f(x) en [a, b]?

Accepted Answer

f(x) es cero en al menos un punto en [a, b].

Answer

f(x) es constante en [a, b].

Answer

f(x) es negativa en [a, b].

Answer

f(x) es positiva en [a, b].

Question 9

Selecciona el método que se puede utilizar para aproximar la integral definida de una función.

Accepted Answer

Método de los rectángulos.

Answer

Método de punto fijo.

Answer

Método de la bisección.

Question 10

Si f(x) es una función par, ¿cómo se simplifica la integral definida de -a a a de f(x)?

Accepted Answer

2 * ∫[0, a] f(x) dx

Answer

∫[-a, 0] f(x) dx

Answer

∫[0, a] 2f(x) dx

Answer

-∫[0, a] f(x) dx

Question 11

Si la integral definida de f(x) de a a b converge, ¿qué afirmación es verdadera sobre f(x)?

Accepted Answer

f(x) es integrable en [a, b].

Answer

f(x) es creciente en [a, b].

Answer

f(x) es continua en [a, b].

Answer

f(x) es derivable en [a, b].

Question 12

Para una función continua y positiva f(x) en [a, b], ¿cómo se relaciona la integral definida de f(x) de a a b con el área bajo la curva de f(x)?

Accepted Answer

Es igual al área bajo la curva.

Answer

Es menor que el área bajo la curva.

Answer

Es mayor que el área bajo la curva.

Answer

No se puede determinar a partir de la información dada.

Question 13

Para que exista la integral definida de f(x) en [a, b], ¿qué condición es necesaria y suficiente?

Accepted Answer

f(x) es integrable en [a, b].

Answer

f(x) es creciente en [a, b].

Answer

f(x) es derivable en [a, b].

Answer

f(x) es continua en [a, b].

Question 14

¿Cuál es la definición formal de integral definida?

Accepted Answer

Límite de sumas de Riemann para una partición de un intervalo cerrado acotado [a, b]

Answer

Suma de los valores de una función en un intervalo

Answer

Área bajo la curva de una función

Question 15

¿Cuál de las siguientes es una propiedad de la integral definida?

Accepted Answer

Es una función aditiva

Answer

Es continua sólo para intervalos cerrados y acotados

Answer

Es derivable sólo si la función integrando es continua

Answer

Es siempre positiva

Question 16

¿Cuál es el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo I?

Accepted Answer

Si f es continua en [a, b], entonces F(x) = ∫[a, x] f(t) dt es derivable en (a, b) y su derivada es F'(x) = f(x)

Answer

Si f es continua en [a, b], entonces ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Answer

Si f es derivable en [a, b], entonces ∫[a, b] f'(x) dx = f(b) - f(a)

Question 17

¿Cuál es la derivada de la función F(x) = ∫[a, x] f(t) dt?

Accepted Answer

f(x)

Answer

F'(b)

Answer

∫[a, x] f'(t) dt

Answer

F'(a)

Question 18

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = e^x + cos(x)?

Accepted Answer

e^x + sen(x) + C

Answer

sen(x) e^x + C

Answer

e^x cos(x) + C

Answer

e^x - sen(x) + C

Question 19

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) es una antiderivada de f(x), ¿cuál es la integral definida de f(x) en [a, b]?

Accepted Answer

F(b) - F(a)

Answer

F(a) - F(b)

Answer

F(b) + F(a)

Answer

F'(b) - F'(a)

Question 20

La integral definida de una función par en un intervalo simétrico respecto al origen es:

Accepted Answer

El doble de la integral definida en la mitad positiva del intervalo.

Answer

Igual a cero.

Answer

La integral definida en la mitad negativa del intervalo.

Question 21

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b], ¿cómo se expresa la integral definida de la suma de las funciones?

Accepted Answer

La suma de las integrales definidas de las funciones.

Answer

La diferencia de las integrales definidas de las funciones.

Answer

El producto de las integrales definidas de las funciones.

Question 22

La integral definida de una función constante k en el intervalo [a, b] es:

Accepted Answer

k(b - a)

Answer

k(a - b)

Answer

k(a + b)

Question 23

El área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x = a y x = b, se calcula mediante:

Accepted Answer

La integral definida de f(x) en el intervalo [a, b].

Answer

La suma de los valores de f(x) en el intervalo [a, b].

Answer

La derivada de f(x) en el punto b.

Question 24

El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x = a y x = b alrededor del eje x se calcula mediante:

Accepted Answer

La integral definida de π[f(x)]² en el intervalo [a, b].

Answer

La integral definida de πf(x) en el intervalo [a, b].

Answer

La integral definida de 2π[f(x)]² en el intervalo [a, b].

Question 25

La integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b] representa:

Accepted Answer

El área neta entre la curva de f(x) y el eje x en el intervalo [a, b].

Answer

El área total bajo la curva de f(x) en el intervalo [a, b].

Answer

La derivada de f(x) en el punto b.