Técnicas de Integración: Domina la Integración por Sustitución, Partes y Fracciones Parciales

Question 1

¿Cuál de las siguientes técnicas de integración se utiliza para calcular integrales de la forma ∫u·dv, donde u y dv son funciones?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Integración numérica

Answer

Integración por sustitución

Question 2

Calcula la integral indefinida: ∫(e^(2x+1))dx

Accepted Answer

(1/2)e^(2x+1) + C

Answer

e^(2x+1) + C

Answer

(2/1)e^(2x+1) + C

Answer

(1/4)e^(2x+1) + C

Question 3

¿Cuál de las siguientes técnicas de integración es apropiada para calcular integrales de la forma ∫P(x)/Q(x)dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios?

Accepted Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por partes

Answer

Integración numérica

Question 4

¿Qué sustitución se emplea para integrar la función ∫(sen(x^2)) * 2x dx?

Accepted Answer

u = x^2

Answer

u = sen(x)

Answer

u = 2x

Answer

u = cos(x^2)

Question 5

Calcula la integral ∫(x^3 - 2x^2 + 3x - 1) dx utilizando el método de integración por fracciones parciales.

Accepted Answer

1/4*x^4 - 2/3*x^3 + 3/2*x^2 - x + C

Answer

x^4 - 2x^3 + 3x^2 - x + C

Answer

x^3 - 2x^2 + 3x - 1 + C

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre integrales impropias es verdadera?

Accepted Answer

Una integral impropia puede converger o divergir.

Answer

Todas las integrales impropias convergen.

Answer

Una integral impropia siempre converge si el integrando es continuo.

Answer

Ninguna integral impropia converge.

Question 7

Calcula la integral impropia ∫(e^(-x)) dx desde 0 hasta ∞.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

e

Question 8

¿Cuál es una condición necesaria para que la fórmula de integración por sustitución sea válida?

Accepted Answer

La derivada de la variable de sustitución debe existir y ser continua en el intervalo de integración.

Answer

La variable de sustitución debe ser un polinomio.

Answer

El integrando debe ser una función racional.

Question 9

Utiliza integración por partes para resolver la integral indefinida ∫ x^3 e^(x^2) dx:

Accepted Answer

1/2 x^2 e^(x^2) - ∫ x e^(x^2) dx

Answer

1/2 x^4 e^(x^2) + C

Answer

e^(x^2) + C

Answer

x^4 e^(x^2) + C

Question 10

Calcula la integral indefinida de ∫ (x^3 + 2x^2 - 5x + 1) dx:

Accepted Answer

1/4 x^4 + 2/3 x^3 - 5/2 x^2 + x + C

Answer

x^3 + 2x^2 - 5x + 1 + C

Answer

1/4 x^4 + 2/3 x^3 - 5/2 x + 1 + C

Answer

x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x + C

Question 11

¿Qué método de integración se utiliza para resolver integrales de la forma ∫ sin^n(x) cos^m(x) dx?

Accepted Answer

Fórmulas de reducción

Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Integración por partes

Question 12

¿Qué método de integración se utiliza para resolver integrales de la forma ∫ e^(ax) sin(bx) dx?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Fórmulas de reducción

Answer

Integración por sustitución

Question 13

Calcula la integral indefinida de ∫ (x^3 - 2x^2 + 5x - 1) dx:

Accepted Answer

1/4 x^4 - 2/3 x^3 + 5/2 x^2 - x + C

Answer

1/4 x^4 - 2/3 x^3 + 5/2 x - 1 + C

Answer

x^3 - 2x^2 + 5x - 1 + C

Answer

x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + C

Question 14

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 1 / (x^2 + 4x + 3).

Accepted Answer

1/2 * ln(|x + 1|) - 1/2 * ln(|x + 3|) + C

Answer

ln(|x^2 + 4x + 3|) + C

Answer

1 / (2x + 4) + C

Answer

1/2 * ln(|x + 1|) + 1/2 * ln(|x + 3|) + C

Question 15

Determina la integral definida de la función f(x) = x^2 de 0 a 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

1/3

Answer

2

Question 16

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = cos(x) * e^x.

Accepted Answer

1/2 * e^x * (sin(x) + cos(x)) + C

Answer

-e^x * sin(x) + C

Answer

e^x * cos(x) + C

Answer

e^x * sin(x) + C

Question 17

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = x / (x^2 + 1).

Accepted Answer

1/2 * ln(x^2 + 1) + C

Answer

1 / (2x) + C

Answer

x^2 + 1 + C

Answer

ln(x^2 + 1) + C

Question 18

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = e^x * cos(x).

Accepted Answer

1/2 * e^x * (sin(x) + cos(x)) + C

Answer

-e^x * sin(x) + C

Answer

e^x * cos(x) + C

Answer

e^x * sin(x) + C

Question 19

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = x*e^x utilizando integración por partes.

Accepted Answer

x*e^x - e^x + C

Answer

e^x + C

Answer

x^2*e^x + C

Question 20

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = 1/(x^2 + 4) utilizando la sustitución trigonométrica?

Accepted Answer

(1/2)*arctan(x/2) + C

Answer

arctan(x) + C

Answer

ln(x^2 + 4) + C

Answer

x/(x^2 + 4) + C

Question 21

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = (2x + 1)/(x^2 + x - 2) utilizando la técnica de fracciones parciales.

Accepted Answer

ln|x - 1| + 2ln|x + 2| + C

Answer

2ln|x - 1| + ln|x + 2| + C

Answer

ln|x^2 + x - 2| + C

Answer

ln|x - 1| + ln|x + 2| + C

Question 22

Determina la integral indefinida de la función f(x) = sin(2x) utilizando la sustitución u = 2x.

Accepted Answer

-1/2*cos(2x) + C

Answer

1/2*cos(2x) + C

Answer

cos(2x) + C

Answer

-cos(2x) + C

Question 23

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = x*ln(x) utilizando integración por partes.

Accepted Answer

(x^2/2)*ln(x) - (x^2/4) + C

Answer

ln(x) + C

Answer

x*ln(x) + C

Answer

(x^2/2)*ln(x) + C

Question 24

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = 1/(x^2 - 1) utilizando la técnica de fracciones parciales?

Accepted Answer

(1/2)*ln|x - 1| - (1/2)*ln|x + 1| + C

Answer

x/(x^2 - 1) + C

Answer

ln|x - 1| + ln|x + 1| + C

Answer

ln|x^2 - 1| + C

Question 25

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = cos^2(x) utilizando la identidad trigonométrica cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2.

Accepted Answer

x/2 + (1/4)*sin(2x) + C

Answer

x/2 - (1/4)*sin(2x) + C

Answer

sin(2x) + C

Answer

cos(2x) + C

Question 26

Determina la integral indefinida de la función f(x) = e^(3x) utilizando la sustitución u = 3x.

Accepted Answer

(1/3)*e^(3x) + C

Answer

e^(x) + C

Answer

3e^(3x) + C

Answer

e^(3x) + C

Question 27

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = x^2*sin(x) utilizando integración por partes.

Accepted Answer

-x^2*cos(x) + 2x*sin(x) + 2cos(x) + C

Answer

-x^2*cos(x) + 2cos(x) + C

Answer

x^2*cos(x) + C

Answer

-x^2*cos(x) + 2x*sin(x) + C

Question 28

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = 1/(x^2 - 4) utilizando la técnica de fracciones parciales?

Accepted Answer

(1/4)*ln|x - 2| - (1/4)*ln|x + 2| + C

Answer

ln|x - 2| + ln|x + 2| + C

Answer

ln|x^2 - 4| + C