Funciones Complejas: Aprende y Domina las Funciones de Variable Compleja

Question 1

¿Cuál de las siguientes funciones es holomorfa en todo el plano complejo?

Accepted Answer

f(z) = z^2 + 1

Answer

f(z) = e^(1/z)

Question 2

La serie de potencias Σ(n=0 a ∞) (z-3)^n converge para:

Accepted Answer

|z - 3| < 1

Answer

|z - 3| > 1

Answer

Solo para z = 3

Question 3

¿Cuál de las siguientes transformaciones es conforme?

Accepted Answer

w = z^2

Answer

w = Arg(z)

Question 4

¿Cuál de las siguientes expresiones define la función exponencial compleja?

Accepted Answer

e^z

Answer

ln(z)

Answer

sen(z)

Answer

(1+z)^z

Question 5

Sea f(z) = z^2. ¿Cuál es su derivada en z = 2?

Accepted Answer

4

Answer

-4

Answer

0

Answer

2

Question 6

¿Cuál es el punto singular aislado de la función f(z) = (z^2-1)/(z-1)?

Accepted Answer

z = 1

Answer

z = -1

Answer

z = 0

Answer

z = 2

Question 7

Sea f(z) = (z+2)/(z-1). ¿Cuál es el tipo de singularidad en z = 1?

Accepted Answer

Polo simple

Answer

Ninguno

Answer

Esencial

Answer

Polo doble

Question 8

¿Cuál de las siguientes series de potencias converge para todos los valores complejos de z?

Accepted Answer

∑(z^n/n!)

Answer

∑(z^n/n)

Answer

∑(z^n/2^n)

Answer

∑(z^n/n^2)

Question 9

Sea f(z) = 1/(z-a) (a ≠ 0). ¿Cuál es la integral de contorno ∮[C] f(z) dz, donde C es un círculo alrededor del origen?

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

-2πi

Answer

πi

Question 10

¿Cuál de las siguientes opciones define correctamente una función de variable compleja f(z)?

Accepted Answer

f(z) = u(x, y) + iv(x, y), donde z = x + iy y u y v son funciones reales de x e y

Answer

f(z) = u(x) - iv(y)

Answer

f(x) = u(x) + iv(y)

Answer

f(z) = u(x, y) - iv(x, y)

Question 11

¿Cuál es la representación trigonométrica de un número complejo z?

Accepted Answer

z = r (cosθ + isenθ), donde r es el módulo y θ es el argumento de z

Answer

z = r (senθ - icosθ)

Answer

z = r (cosθ - isenθ)

Answer

z = r (senθ + icosθ)

Question 12

¿En qué punto la función f(z) = z^2 + 2z + 1 es continua?

Accepted Answer

Para todo z

Answer

Solo en z = -1

Answer

No es continua en ningún punto

Answer

Solo en z = 0

Question 13

¿Cuál es la derivada de la función f(z) = e^z?

Accepted Answer

e^z

Answer

ze^z

Answer

1 / e^z

Answer

z e^z

Question 14

¿Cuál de las siguientes propiedades es cierta para la integral de una función de variable compleja sobre una curva cerrada?

Accepted Answer

La integral es igual a cero si la función es analítica dentro y sobre la curva.

Answer

La integral siempre es finita, incluso si la función es discontinua sobre la curva.

Answer

La integral siempre converge, incluso si la curva es abierta.

Question 15

¿Cuál es el teorema fundamental del álgebra para funciones de variable compleja?

Accepted Answer

Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Answer

Todo polinomio con coeficientes complejos tiene un número finito de raíces.

Answer

Todo polinomio con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Question 16

¿Cuál es la función analítica que representa la función exponencial?

Accepted Answer

e^z

Answer

log z

Answer

cos z

Answer

sen z

Question 17

¿Cuál es la fórmula de Cauchy para calcular la integral de una función sobre una curva cerrada?

Accepted Answer

∫f(z) dz = 2πi ∑(Residuos dentro de la curva)

Answer

∫f(z) dz = π ∑(Polos dentro de la curva)

Answer

∫f(z) dz = πi ∑(Polos dentro de la curva)

Answer

∫f(z) dz = 2π ∑(Residuos dentro de la curva)

Question 18

¿Cuál es la condición de Cauchy-Riemann para que una función de variable compleja sea diferenciable?

Accepted Answer

∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x, donde u y v son las partes real e imaginaria de la función, respectivamente

Answer

∂u/∂x = ∂v/∂x y ∂u/∂y = -∂v/∂y

Answer

∂u/∂x = -∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x

Answer

∂u/∂x = -∂v/∂x y ∂u/∂y = -∂v/∂y

Question 19

El límite de la función f(z) = (z^2 - 1)/(z - 1) cuando z tiende a 1 es:

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

No existe

Question 20

La integral de línea de la función f(z) = z^2 a lo largo del camino C que va de z = 0 a z = 1 + i es:

Accepted Answer

(2/3) + (2/3)i

Answer

1 + i

Answer

1

Answer

i

Question 21

El teorema de Cauchy-Goursat establece que:

Accepted Answer

La integral de línea de una función analítica a lo largo de un camino cerrado es cero.

Answer

La integral de línea de una función analítica es siempre constante.

Answer

La derivada de una función analítica es siempre cero.

Question 22

El principio del módulo máximo establece que:

Accepted Answer

El módulo de una función analítica en un dominio alcanza su máximo en el borde del dominio.

Answer

El módulo de una función analítica alcanza su mínimo en el borde del dominio.

Answer

El módulo de una función analítica es siempre constante.

Question 23

La función f(z) = z^2 + 1 es:

Accepted Answer

Conforme

Answer

No conforme

Answer

Analítica pero no conforme

Answer

No analítica