Series de potencias: Definición, convergencia y desarrollo en serie

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las series de potencias es INCORRECTA?

Accepted Answer

El radio de convergencia siempre es mayor que cero.

Answer

La serie de Taylor es un tipo particular de serie de potencias.

Answer

Una serie de potencias puede representar una función analítica dentro de su círculo de convergencia.

Answer

El coeficiente del término constante es igual al valor de la función en cero.

Question 2

Desarrolla la función f(x) = e^x en una serie de potencias centrada en x = 0.

Accepted Answer

Σ(n=0 hasta infinito) x^n/n!

Answer

Σ(n=1 hasta infinito) (x+1)^(n-1)/(n-1)!

Answer

Σ(n=1 hasta infinito) x^(n-1)/(n-1)!

Answer

Σ(n=0 hasta infinito) (x-2)^n/n!

Question 3

¿Cuál de las siguientes opciones define correctamente una serie de potencias?

Accepted Answer

Una serie de la forma ∑(n=0 hasta ∞) a_n(x-c)^n, donde a_n son constantes y c es un número real.

Answer

Una serie de la forma ∑(n=1 hasta ∞) n^x

Answer

Una serie de la forma ∑(n=0 hasta ∞) 1/n

Answer

Una serie de la forma ∑(n=1 hasta ∞) e^(-x^n)

Question 4

Desarrolle la función f(x) = sen(x) en una serie de potencias alrededor de x = 0.

Accepted Answer

∑(n=0 hasta ∞) (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑(n=0 hasta ∞) x^n/n!

Answer

∑(n=1 hasta ∞) n*x^n

Answer

∑(n=0 hasta ∞) (x-1)^n

Question 5

¿Cuál de las siguientes series es divergente para todo x?

Accepted Answer

∑(n=1 hasta ∞) n

Answer

∑(n=0 hasta ∞) x^n

Answer

∑(n=1 hasta ∞) (-1)^n

Answer

∑(n=1 hasta ∞) 1/n^2

Question 6

¿Cuál es el término general de la serie de Maclaurin (alrededor de x = 0) de la función f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

∑(n=0 hasta ∞) (-1)^n x^(2n)/(2n)!

Answer

∑(n=1 hasta ∞) n*x^n

Answer

∑(n=0 hasta ∞) x^n/n!

Answer

∑(n=0 hasta ∞) x^n

Question 7

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias ∑(n=1 hasta ∞) (x-4)^n/2^n?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

∞

Question 8

¿Cuál de las siguientes series es una serie de potencias?

Accepted Answer

Σ(n=0 a ∞) (x-1)^n

Answer

Σ(n=1 a ∞) 1/n

Answer

Σ(n=0 a ∞) sin(n)

Answer

Σ(n=0 a ∞) n^2

Question 9

Sea f(x) = e^x. ¿Cuál es el desarrollo en serie de potencias de f(x) centrado en x = 0?

Accepted Answer

Σ(n=0 a ∞) (x^n)/n!

Answer

Σ(n=0 a ∞) x^n

Answer

Σ(n=1 a ∞) n*x^n

Answer

Σ(n=1 a ∞) (x^n)/n

Question 10

Dada la serie de potencias Σ(n=0 a ∞) n*(x-1)^n, ¿en qué punto está centrada?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA sobre las series de potencias?

Accepted Answer

Siempre convergen en un intervalo no vacío.

Answer

Se pueden utilizar para desarrollar funciones elementales.

Answer

Pueden representar funciones continuas y derivables.

Answer

Tienen un radio de convergencia finito o infinito.

Question 12

¿Cuál de las siguientes expresiones define correctamente el radio de convergencia de una serie de potencias?

Accepted Answer

R = lim_{n->∞} |a_n|/|a_{n+1}|

Answer

R = Σ_{n=0}^{∞} |a_n|

Answer

R = ∫_{0}^{∞} |a_n| dn

Answer

R = max{|a_n|}

Question 13

Para la serie de potencias Σ_{n=0}^{∞} (z - 1)^n/n, ¿cuál es el tipo de convergencia en z = 2?

Accepted Answer

No converge

Answer

Converge absolutamente

Answer

No podemos determinar su convergencia

Answer

Converge condicionalmente

Question 14

¿Cuál de las siguientes funciones NO puede desarrollarse en serie de potencias alrededor de z = 0?

Accepted Answer

ln(z)

Answer

e^z

Answer

sen(z)

Answer

cos(z)

Question 15

Al desarrollar la función f(z) = ln(1 + z) en serie de potencias alrededor de z = 0, ¿cuál es el coeficiente del término z^3?

Accepted Answer

-1/3

Answer

1/3

Answer

0

Answer

1

Question 16

¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie de potencias Σ_{n=0}^{∞} (z + 1)^n/n^2?

Accepted Answer

[-1, 1]

Answer

[1, ∞)

Answer

(-∞, ∞)

Answer

(-1, 1]

Question 17

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa la función f(z) = sen(z)?

Accepted Answer

Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n z^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

Σ_{n=0}^{∞} z^n/n!

Answer

Σ_{n=0}^{∞} z^n/(n+1)

Answer

Σ_{n=0}^{∞} z^n/n

Question 18

Sean a, b y c números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para la serie Σ(n=1)^∞ (a/(n+b))^n · (c/(2n+1))?

Accepted Answer

Converge si y solo si |a/c| < 1

Answer

Converge si y solo si |c/a| < 1

Answer

Diverge para cualquier valor de a, b y c

Answer

Converge si |a/c| > 1

Question 19

Desarrolle la función f(x) = ln(1-x) en una serie de potencias alrededor de x = 0.

Accepted Answer

-Σ(n=1)^∞ x^n / n

Answer

No se puede desarrollar

Answer

Σ(n=1)^∞ (-1)^n x^n / n

Answer

Σ(n=1)^∞ x^n / n

Question 20

Halle el término general de la serie Σ(n=1)^∞ n^2 x^n / 2^n.

Accepted Answer

n^2 x^n / 2^n

Answer

x^n / n^2 2^n

Answer

n x^n / 2^n

Answer

2^n x^n / n^2

Question 21

Desarrolle la función f(x) = sin(x) en una serie de potencias alrededor de x = 0.

Accepted Answer

Σ(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

Σ(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

Σ(n=1)^∞ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

No se puede desarrollar

Question 22

Determinar si la serie de potencias Σ(n=1 a ∞) ((-1)^n * (x-2)^n) / n es uniformemente convergente en el intervalo [0, 1]:

Accepted Answer

No es uniformemente convergente

Answer

Es uniformemente convergente

Answer

Es condicionalmente convergente

Answer

No se puede determinar

Question 23

Desarrollar la función f(x) = e^x en serie de potencias alrededor de x = 2:

Accepted Answer

Σ(n=0 a ∞) ((x-2)^n) / n!

Answer

Σ(n=1 a ∞) (x^n) / n

Answer

Σ(n=1 a ∞) (x-2)^n / (n+1)

Answer

Σ(n=1 a ∞) ((x-2)^n) / (n+1)!

Question 24

Determinar si la serie de potencias Σ(n=1 a ∞) (x^n / n^2) es absolutamente convergente en el intervalo (-1, 1):

Accepted Answer

Absolutamente convergente

Answer

Converge uniformemente

Answer

No convergente

Answer

Condicionalmente convergente