Aproximación de funciones: Cálculo Numérico para Ingeniería Química

Question 1

¿Cuál es la aproximación de Taylor de orden 2 para la función f(x) = sen(x) alrededor de x = 0?

Accepted Answer

sen(x) - x cos(x) + (x²) sen(x)/2

Answer

x - (x³)/3

Answer

x + (x³)/3

Answer

sen(x) + x cos(x) - (x²) sen(x)/2

Question 2

Calcula la derivada de la función f(x) = e^x utilizando la serie de Taylor.

Accepted Answer

e^x

Answer

e^x - 1

Answer

e^x + 1

Answer

x e^x

Question 3

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor para la función f(x) = ln(1 + x)?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

∞

Question 4

El orden de convergencia de la serie de Taylor depende de:

Accepted Answer

La función en sí y el punto de expansión.

Answer

1

Answer

Infinito

Answer

2

Question 5

Para que el método de bisección converja, se debe cumplir:

Accepted Answer

f(a) * f(b) < 0 y f(c) * f(d) < 0

Answer

f(a) * f(b) < 0 y f(c) * f(d) > 0

Answer

f(a) * f(b) > 0 y f(c) * f(d) < 0

Answer

f(a) * f(b) > 0 y f(c) * f(d) > 0

Question 6

¿Cuál de las siguientes es la fórmula correcta para la aproximación de Taylor de primer orden de la función `f(x) = e^x` en torno a `x = 0`?

Accepted Answer

1 + x

Answer

e^x

Answer

x

Answer

e

Question 7

En la aproximación por mínimos cuadrados, para aproximar una función `f(x)` utilizando `n` puntos de datos, ¿cuál es el sistema de ecuaciones lineales que hay que resolver?

Accepted Answer

**A** · **x** = **b**

Answer

**b** · **x** = **A**

Answer

**A** · **b** = **x**

Answer

**x** · **A** = **b**

Question 8

Para obtener la mejor aproximación posible mediante aproximación por mínimos cuadrados, ¿qué propiedad debe cumplir la base de funciones `{phi_1(x), phi_2(x), ..., phi_n(x)}` utilizada?

Accepted Answer

La base debe ser ortonormal.

Answer

La base debe tener el mismo número de funciones que puntos de datos.

Answer

La base debe ser linealmente dependiente.

Answer

La base debe incluir funciones polinomiales.

Question 9

En la aproximación por mínimos cuadrados, ¿cuál es la fórmula para calcular los coeficientes de la función de aproximación?

Accepted Answer

**x** = (**A^T** · **A**)⁻¹ · **A^T** · **b**

Answer

**x** = (**A** · **A^T**)⁻¹ · **A** · **b**

Answer

**x** = **A** · (**A^T** · **A**)⁻¹ · **b**

Answer

**x** = **A** · **b** · (**A^T** · **A**)⁻¹

Question 10

¿Qué criterio se utiliza para seleccionar el número óptimo de funciones base en la aproximación por mínimos cuadrados?

Accepted Answer

Minimizar el error de validación cruzada.

Answer

Minimizar el número de funciones base.

Answer

Maximizar el número de funciones base.

Answer

Minimizar el error de entrenamiento.

Question 11

El orden de convergencia del polinomio de Taylor de grado n para la función f(x) = sin(x) en el punto x=0 es:

Accepted Answer

O(x^{n+1})

Answer

O(x²)

Answer

O(x^{n})

Answer

O(x^{n/2})

Question 12

El método de mínimos cuadrados para aproximar la función y = a + bx a partir de un conjunto de pares de datos (x_i, y_i) implica resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Accepted Answer

AX = B

Answer

AY = X

Answer

AX = C

Answer

AX = I

Question 13

La aproximación de Fourier para una función periódica f(x) con periodo 2pi se expresa como:

Accepted Answer

f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))

Answer

f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx))

Answer

f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n sin(nx) + b_n cos(nx))

Question 14

La integral de una función f(x) en el intervalo [a, b] se puede aproximar mediante la fórmula de integración trapezoidal:

Accepted Answer

(b - a) / 2 * (f(a) + f(b))

Answer

((b - a) / 2) * (2f(a) + 2f(b))

Answer

((b - a) / 2) * (f(a) - f(b))

Answer

(b - a) * (f(a) + f(b))

Question 15

El método de Monte Carlo para aproximar el valor de una integral definida utiliza:

Accepted Answer

Números aleatorios

Answer

Diferencias finitas

Answer

Interpolación polinomial

Answer

Series de Fourier

Question 16

En una aproximación racional de Padé para una función f(x) expresada como una fracción de polinomios P(x)/Q(x), el grado de:

Accepted Answer

P es menor o igual que el grado de Q

Answer

P y Q son polinomios con el mismo coeficiente principal

Answer

P es mayor que el grado de Q

Answer

P y Q son polinomios del mismo grado

Question 17

¿Cuál es la estructura general de una serie de Taylor para aproximar una función (f(x)) alrededor del punto (a)?

Accepted Answer

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + rac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + rac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$

Answer

$$f(x) = e^{ax} + bx + c$$

Answer

$$f(x) = a + bx + cx^2 + ...$$

Question 18

Para aproximar (f(x) = e^x) en (x=0.2) utilizando una serie de Taylor de orden 2 centrada en (x=0), ¿cuál es el polinomio de aproximación resultante?

Accepted Answer

$$P_2(x) = 1 + x + rac{x^2}{2}$$

Answer

$$P_2(x) = 1 + x + x^2 + rac{x^3}{3}$$

Answer

$$P_2(x) = x + rac{x^2}{2} + x^3$$

Answer

$$P_2(x) = 1 + 2x + x^2$$

Question 19

Al aproximar (f(x) = ln(x)) en el intervalo ([1, 2]) mediante una serie de Taylor de orden 1 centrada en (x=1), ¿cuál es el error máximo posible?

Accepted Answer

$$E(x) leq rac{1}{2}e^{-1}$$

Answer

$$E(x) leq 1$$

Answer

$$E(x) leq rac{1}{2}$$

Answer

$$E(x) leq e^{-1}$$

Question 20

En el método de mínimos cuadrados, ¿qué técnica se emplea para aproximar una función lineal (f(x) = mx + b) dados un conjunto de pares de datos?

Accepted Answer

Mínimos cuadrados ordinarios

Answer

Regresión polinomial

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Mínimos cuadrados ponderados

Question 21

Para ajustar una curva exponencial (f(x) = ae^{bx}) a un conjunto de datos utilizando mínimos cuadrados, ¿qué ecuación matricial es necesario resolver?

Accepted Answer

$$\begin{bmatrix} sum x_i^2 & sum x_i \ sum x_i & n end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sum x_i y_i \ sum y_i end{bmatrix}$$

Answer

$$\begin{bmatrix} sum x_i & sum x_i^2 \ n & sum x_i end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sum y_i \ sum x_i y_i end{bmatrix}$$

Question 22

Si el coeficiente de correlación de Pearson entre dos variables es 0,9, ¿qué indica sobre la relación entre ellas?

Accepted Answer

Existe una fuerte correlación positiva entre las variables

Answer

Existe una fuerte correlación negativa entre las variables

Answer

No existe correlación entre las variables

Question 23

Para aproximar una función desconocida a partir de un conjunto de puntos de datos, ¿cuál es el número mínimo de puntos de datos necesarios para construir un polinomio de interpolación de grado n?

Accepted Answer

n + 1

Answer

n

Answer

n - 1

Answer

2n

Question 24

En el contexto de la aproximación de funciones, ¿cuál es la principal ventaja de utilizar polinomios ortogonales?

Accepted Answer

Conducen a un sistema de ecuaciones lineales no correlacionadas

Answer

Reducen el número de puntos de datos necesarios

Answer

Mejoran la precisión de la aproximación

Question 25

En el contexto de la aproximación de funciones, ¿qué se entiende por residuo?

Accepted Answer

La diferencia entre el valor real de la función en un punto dado y su valor aproximado

Answer

El área bajo la curva de la función

Answer

La pendiente de la función en un punto dado