Métodos de Integración Numérica: Aprende y Practica

Question 1

Selecciona la afirmación correcta sobre la regla del trapecio:

Accepted Answer

Es un método numérico utilizado para calcular integrales.

Answer

Es un método exacto que no requiere aproximaciones.

Answer

Requiere un número infinito de subintervalos para converger.

Question 2

Las fórmulas de integración de Gauss poseen la siguiente propiedad:

Accepted Answer

Son exactas para polinomios cuyo grado es menor o igual que el orden de la fórmula.

Answer

Son aproximadas para todas las funciones integrables.

Answer

Solo son aplicables a funciones continuas.

Question 3

Identifica la integral que se puede resolver analíticamente:

Accepted Answer

∫ x^3 dx

Answer

∫ log(x) dx

Answer

∫ sin(x) / x dx

Answer

∫ e^(-x^2) dx

Question 4

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica utiliza una aproximación parabólica y evalúa la función en tres puntos?

Accepted Answer

Regla de Simpson

Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla del trapecio

Question 5

Para una función continua f(x) definida en un intervalo [a, b], ¿cuál es la fórmula de la regla del trapecio?

Accepted Answer

(b-a)/2 * [f(a) + f(b)]

Answer

(a-b)/2 * [f(a) + f(b)]

Answer

(b+a)/2 * [f(a) - f(b)]

Answer

(a+b)/2 * [f(a) + f(b)]

Question 6

Las fórmulas de integración de Gauss utilizan:

Accepted Answer

Puntos nodales y pesos

Answer

Transformaciones lineales

Answer

Series de Taylor

Answer

Integración por partes

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la regla del trapecio es correcta?

Accepted Answer

Es exacta para funciones lineales.

Answer

Es exacta para todas las funciones continuas.

Answer

Su error es proporcional a la pendiente de la función.

Answer

Requiere una gran cantidad de puntos para converger.

Question 8

Las fórmulas de integración de Gauss son exactas para:

Accepted Answer

Polinomios de grado 2n-1 donde n es el número de puntos utilizados

Answer

Polinomios de grado n-1

Answer

Funciones diferenciables en [a, b]

Answer

Funciones continuas en [a, b]

Question 9

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica tiene el orden de convergencia más alto?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla de Simpson

Answer

Regla del trapecio

Question 10

Para aproximar la integral definida de f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π], ¿cuál de los siguientes métodos sería el más adecuado?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Simpson

Answer

Regla del punto medio

Question 11

¿Cuál de los siguientes es un requisito para aplicar las fórmulas de integración de Gauss?

Accepted Answer

La función debe ser continua en [a, b].

Answer

La función debe ser polinómica.

Answer

La función debe ser diferenciable en [a, b].

Answer

El intervalo [a, b] debe ser simétrico respecto al origen.

Question 12

En la regla de Simpson 3/8, ¿cuál es el peso del punto medio?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

1

Answer

2

Question 13

La regla del trapecio para aproximar la integral definida de f(x) sobre el intervalo [a, b] es:

Accepted Answer

((b - a) / 2) * [f(a) + f(b)]

Answer

((b - a) / 2) * [f(a) - f(b)]

Answer

(b - a) * [f(a) + f(b)]

Question 14

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica es más eficiente para funciones con derivadas de alto orden?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Integración de Monte Carlo

Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla del trapecio

Question 15

Para aproximar la integral ∫₀¹ eˣ dx, ¿cuál de los siguientes métodos es el más preciso?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss con n = 3

Answer

Regla de Simpson 1/3 con n = 6

Answer

Regla del trapecio con n = 4

Question 16

Si se desea aproximar una integral definida con una precisión de 10⁻⁶, ¿qué método de integración numérica sería más apropiado?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Integración de Monte Carlo

Answer

Regla del trapecio

Question 17

En el contexto de la integración numérica, ¿qué es un nodo de Gauss?

Accepted Answer

Un punto específico dentro del intervalo de integración donde se evalúa la función integrando.

Answer

El número total de puntos de integración utilizados.

Answer

El valor de la integral definida.

Question 18

¿Cuál de las siguientes es una desventaja potencial del uso de métodos de integración numérica?

Accepted Answer

Pueden ser menos precisos que los métodos analíticos.

Answer

Son fáciles de implementar.

Answer

Son computacionalmente eficientes.

Question 19

¿Qué método de integración numérica es generalmente más adecuado para funciones altamente oscilantes?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Simpson

Answer

Regla de los rectángulos

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente la regla del trapecio?

Accepted Answer

Un método de integración numérica que aproxima la integral como el área del trapecio formado por la función y el eje x en un subintervalo.

Answer

Un método para calcular integrales indefinidas.

Answer

Un método exacto para integrar funciones racionales.

Question 21

¿Cuál es la principal limitación de los métodos de integración numérica?

Accepted Answer

Introducen un error de aproximación que depende del tamaño del paso y la derivada de la función.

Answer

Solo se pueden aplicar a funciones continuas.

Answer

Son computacionalmente costosos.

Answer

No pueden manejar funciones con singularidades.

Question 22

¿Cuál es el error de truncamiento de la regla de Simpson 3/8 para una función f(x) con derivada sexta continua?

Accepted Answer

-h⁶/8640 f⁽⁶⁾(ξ)

Answer

-h⁴/192 f⁽⁴⁾(ξ)

Answer

-h²/4 f''(ξ)

Answer

-h³/6 f'''(ξ)

Question 23

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica es más adecuado para integrar funciones con oscilaciones rápidas?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Simpson

Question 24

¿Cuál es la diferencia clave entre la regla del trapecio y la regla de Simpson 3/8?

Accepted Answer

La regla de Simpson 3/8 utiliza una parábola cúbica para aproximar la función en cada subintervalo, mientras que la regla del trapecio utiliza una recta.

Answer

La regla de Simpson 3/8 es más eficiente computacionalmente que la regla del trapecio.

Answer

La regla del trapecio es más precisa que la regla de Simpson 3/8.