Aplicaciones de las Integrales: Cálculo de Longitudes, Áreas y Volúmenes

Question 1

El cálculo de la longitud del arco de una curva y = f(x) en el intervalo [a, b] equivale a calcular la integral de:

Accepted Answer

√(1 + (dy/dx)²) con respecto a x

Answer

y con respecto a x

Answer

dy/dx con respecto a x

Question 2

El trabajo realizado por una fuerza F(x) aplicada a lo largo de una distancia x se obtiene mediante la integral de:

Accepted Answer

F(x) con respecto a x

Answer

La derivada de F(x)

Answer

La longitud del arco de la curva y = F(x)

Answer

El área de la región limitada por la gráfica de F(x) y el eje x

Question 3

La integral definida de sen(x) con respecto a x de 0 a π/2 es igual a:

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

π

Question 4

Encuentra la integral que permite calcular el trabajo realizado por una fuerza F(x) = x³ + 2x sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje x desde x = 0 hasta x = 2.

Accepted Answer

∫[0,2] (x³ + 2x) dx

Answer

∫[0,2] (x³ - 2x) dx

Answer

∫[0,2] dx

Answer

∫[0,2] x(x³ + 2x) dx

Question 5

Calcula la integral que permite determinar la longitud del arco de la curva y = cos(x) entre x = 0 y x = π/2.

Accepted Answer

∫[0,π/2] √(1 + sen²(x)) dx

Answer

∫[0,π/2] cos(x) dx

Answer

∫[0,π/2] √(1 - sen²(x)) dx

Answer

∫[0,π/2] sen(x) dx

Question 6

Determina el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas y = x y y = x³ alrededor del eje x.

Accepted Answer

π ∫[0,1] (x³ - x) dx

Answer

∫[0,1] (x³ - x) dx

Answer

π ∫[0,1] (x - x³) dx

Answer

2π ∫[0,1] (x³ - x) dx

Question 7

Calcula la integral indefinida ∫(x^2 + 3x - 2) dx.

Accepted Answer

x^3/3 + (3/2)x^2 - 2x + C

Answer

x^2/3 + (3/2)x - 2x + C

Answer

x^3 + 3x^2 - 2x + C

Answer

x^2 + 3x - 2 + C

Question 8

¿Cuál de las siguientes técnicas es adecuada para calcular el área bajo una curva que se encuentra por encima del eje x?

Accepted Answer

Integración

Answer

Derivación

Answer

Suma de áreas

Answer

Regla de la cadena

Question 9

¿Cuál de las siguientes integrales representa el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre un objeto a lo largo de una distancia?

Accepted Answer

∫F(x) dx

Answer

∫F(x) dF(x)

Answer

∫F'(x) dx

Answer

∫F'(x) dF(x)

Question 10

¿Cuál es la aplicación de las integrales en el cálculo del beneficio total obtenido por una empresa al vender (q) unidades de un producto, si el beneficio marginal por unidad es ((50-0,2q))?

Accepted Answer

Beneficio total = (int (50-0,2q)dq)

Answer

Beneficio total = (int (0,2q)dq)

Answer

Beneficio total = (int (50-q)dq)

Answer

Beneficio total = (int (50q)dq)

Question 11

¿Cuál es la aplicación de las integrales en el cálculo de la distancia recorrida por un móvil, si su velocidad instantánea en función del tiempo es ((v(t)=t^2+2t))?

Accepted Answer

Distancia = (int v(t)dt)

Answer

Distancia = (int t(t^2+2t)dt)

Answer

Distancia = (int (t^2+2t)dt)

Answer

Distancia = (int (t^2+2)dt)

Question 12

La función (g(x)) tiene una gráfica con concavidad hacia arriba para todo (x). ¿Cuál es el signo de la segunda derivada de (g(x))?

Accepted Answer

Positivo

Answer

Negativo

Answer

No se puede determinar

Answer

Cero

Question 13

¿Cuál es la derivada de la función (f(x)=e^{2x})?

Accepted Answer

2e^{2x}

Answer

e^{2x}

Answer

4e^{2x}

Answer

e^{4x}

Question 14

Calcular el centro de masa del sólido de revolución generado al rotar la región limitada por las curvas y = x e y = 2 alrededor del eje x.

Accepted Answer

(3/2, 2/3)

Answer

(1/2, 2/3)

Answer

(1/2, 1/3)

Answer

(2/3, 3/2)

Question 15

Determinar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región limitada por las curvas y = e^-x e y = 0 entre x = 0 y x = 2 alrededor del eje y.

Accepted Answer

2π

Answer

π/2

Answer

4π

Answer

π

Question 16

Una empresa necesita construir un tanque de almacenamiento en forma de un sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = 4 - x^2, el eje x y el eje y alrededor del eje y. ¿Cuál es el volumen del tanque?

Accepted Answer

8π

Answer

4π

Answer

16π

Answer

32π

Question 17

Se desea construir una valla a lo largo de una carretera con una forma definida por la función y = 1/x, desde x = 1 hasta x = 5. ¿Cuál es la longitud total de la valla?

Accepted Answer

∫(1,5) √(1 + 1/x^4) dx

Answer

∫(1,5) √(1 + x^4) dx

Answer

∫(1,5) (1 + x^4) dx

Answer

∫(1,5) (1 + 1/x^4) dx

Question 18

Un fabricante de juguetes desea determinar la cantidad de plástico necesaria para producir un juguete con forma de sólido de revolución. La forma se genera al rotar la región limitada por la curva y = √(9 - x^2), el eje x y el eje y alrededor del eje x.  ¿Cuál es el volumen de plástico necesario para cada juguete?

Accepted Answer

18π

Answer

36π

Answer

27π

Answer

9π

Question 19

Una empresa de telecomunicaciones instala un cable de fibra óptica a lo largo de una ruta con forma de parábola definida por la ecuación y = 0.1x^2, desde x = -5 hasta x = 5. ¿Cuál es la longitud total del cable?

Accepted Answer

Aproximadamente 11.48 unidades

Answer

Aproximadamente 22.96 unidades

Answer

Aproximadamente 5.74 unidades

Question 20

Un fabricante de envases desea crear un nuevo diseño para una botella de perfume. El diseño consiste en rotar la región limitada por la curva y = sin(x), el eje x, x = 0 y x = π/2 alrededor del eje x. ¿Cuál será el volumen de la botella?

Accepted Answer

π^2/4

Answer

π

Answer

π/2

Answer

π^2/2

Question 21

Calcula la longitud del arco de la curva y = x^2 + 1 entre los puntos (0, 1) y (2, 5).

Accepted Answer

8

Answer

12

Answer

4

Answer

16

Question 22

Determina el área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = sqrt(x) entre x = 0 y x = 4 alrededor del eje y.

Accepted Answer

20π

Answer

30π

Answer

40π

Answer

10π

Question 23

Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas y = x^2 y y = 4 alrededor del eje x.

Accepted Answer

32π

Answer

64π

Answer

16π

Question 24

La demanda de un producto está dada por la función D(q) = 200 - 5q, donde q es la cantidad demandada. Determina el ingreso total si se venden 20 unidades del producto.

Accepted Answer

2400

Answer

4800

Answer

1200

Answer

3600

Question 25

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es f(x) = (1/2)e^(-x/2) para x > 0. Calcula la probabilidad de que la variable tome un valor menor que 2.

Accepted Answer

0,8647

Answer

0,9502

Answer

0,6321

Answer

0,7358

Question 26

La función de utilidad de un consumidor es U(x) = x^2 - 2x. Determina la cantidad óptima de consumo si el precio del bien es 5.

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

3

Answer

1

Question 27

Calcula el trabajo realizado por una fuerza F(x) = 2x + 3 sobre un objeto que se mueve desde x = 0 hasta x = 4.

Accepted Answer

28

Answer

14

Answer

42

Answer

56

Question 28

La tasa de crecimiento de una población es dada por la función f(t) = 2000e^(0,05t), donde t es el tiempo en años. Calcula el tamaño de la población después de 10 años si la población inicial es de 5000.

Accepted Answer

12357

Answer

7357

Answer

17357

Answer

22357

Question 29

La función de densidad de carga lineal de un cable es ρ(x) = 3x + 1 para 0 ≤ x ≤ 1. Calcula la carga total en el cable.

Accepted Answer

2,5

Answer

1,5

Answer

3,5

Answer

4,5

Question 30

La función de densidad de masa de una barra es ρ(x) = 2x^2 + 1 para 0 ≤ x ≤ 2. Calcula el centro de masa de la barra.

Accepted Answer

1,33

Answer

0,67

Answer

2,00

Answer

2,67

Question 31

Calcular la longitud del arco de la curva y=x^2 en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

4/3

Answer

1

Answer

2

Answer

8/3

Question 32

Hallar el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva y=ln(x) en el intervalo [1, 2] alrededor del eje x.

Accepted Answer

π(e^2 - 1)

Answer

π(e - 1)

Answer

2π(e - 1)

Answer

π(e^4 - 1)

Question 33

Calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región limitada por las curvas y=x^2 e y=2-x alrededor del eje y.

Accepted Answer

16π/15

Answer

32π/15

Answer

64π/15

Answer

8π/15

Question 34

Hallar el centroide del área limitada por las curvas y=x y y=x^2.

Accepted Answer

(3/5, 8/15)

Answer

(2/5, 4/15)

Answer

(3/5, 4/15)

Answer

(4/5, 8/15)

Question 35

Calcular el momento de inercia de la región limitada por las curvas y=x y y=2x+1 alrededor del eje x.

Accepted Answer

1/12

Answer

1/24

Answer

1/6

Answer

1/48

Question 36

Hallar el área bajo la curva y=e^(-x) en el intervalo [0, ∞].

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

1/e

Answer

e

Question 37

Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y=sen(x) y y=cos(x) en el intervalo [0, π/4] alrededor del eje y.

Accepted Answer

π(1 - √2)

Answer

π(√2 - 1)

Answer

2π(√2 - 1)

Answer

2π(1 - √2)

Question 38

Hallar el centro de masa de la varilla de densidad lineal ρ(x) = x en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

1/3

Answer

1/4

Answer

2/3

Answer

1/2

Question 39

Calcular el trabajo realizado por la fuerza F(x) = x^2 + 1 en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

14/3

Answer

7/3

Answer

28/3

Question 40

Hallar la presión sobre una placa sumergida verticalmente en un fluido con densidad ρ(y) = y^2 en el intervalo [0, h].

Accepted Answer

ρh^4/4

Answer

ρh^2/2

Answer

ρh

Answer

ρh^3/3