Espacios vectoriales: definición, subespacios y dependencia lineal

Question 1

**Datos los vectores u = (1, 2, 3) y v = (4, 5, 6), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre u + v?**

Accepted Answer

u + v = (5, 7, 9)

Answer

u - v = (3, -3, -3)

Answer

u . v = 32

Answer

u x v = (1, 2, 3)

Question 2

**Determinar si el conjunto W = {(a, b) | a + b = 0} es un subespacio vectorial de R². Justifica tu respuesta.**

Accepted Answer

W es un subespacio vectorial de R²

Answer

W no es un subespacio vectorial porque no está cerrado bajo la adición

Answer

W no es un subespacio vectorial porque no está cerrado bajo la multiplicación por escalares

Answer

W no es un subespacio vectorial porque no contiene el vector (0, 0)

Question 3

**Encontrar una base para el núcleo de la transformación lineal:**
T(x, y) = (x + 2y, 3x - y)

Accepted Answer

{(2, -1)}

Answer

{(0, 1)}

Answer

El núcleo de T es trivial

Answer

{(1, 0)}

Question 4

Si **S** es un conjunto generador de un espacio vectorial **V**, ¿qué se puede decir sobre **S**?

Accepted Answer

**S** puede o no ser una base de **V**.

Answer

**S** es una base de **V**.

Answer

**S** es un conjunto linealmente dependiente.

Answer

**S** es un subespacio de **V**.

Question 5

Si **u** pertenece a un subespacio **U** de **V** y **v** pertenece a **V**, ¿qué se puede decir sobre **u + v**?

Accepted Answer

**u + v** puede o no estar en **U**.

Answer

**u + v** nunca está en **U**.

Answer

**u - v** siempre está en **U**.

Answer

**u + v** siempre está en **U**.

Question 6

Sea **W** un subespacio de **V**. Si **v** pertenece a **W** y **v** es un vector no nulo, ¿qué se puede decir sobre el conjunto {**v**}?

Accepted Answer

{**v**} es un subespacio de **V**.

Answer

**W** es un subespacio de {**v**}.

Answer

{**v**} no es un subespacio de **V**.

Answer

**W** es igual a {**v**}.

Question 7

Si **W** es un subespacio de un espacio vectorial **V** de dimensión **n**, y **W** tiene dimensión **m**, ¿qué relación existe entre **m** y **n**?

Accepted Answer

**m ≤ n**.

Answer

**m = n**.

Answer

**m < n**.

Answer

**m > n**.

Question 8

Si **S** es un conjunto generador de un subespacio **U** de **V**, ¿qué se puede decir sobre **S** en relación con **V**?

Accepted Answer

**S** puede o no ser un conjunto generador de **V**.

Answer

**S** es un conjunto generador de **V**.

Answer

**S** es un subespacio de **V**.

Answer

**S** es una base de **V**.

Question 9

Si un conjunto **S** de vectores es linealmente dependiente, ¿qué se puede decir sobre la relación entre los vectores en **S**?

Accepted Answer

Al menos un vector en **S** puede ser escrito como una combinación lineal de los otros vectores en **S**.

Answer

Todos los vectores en **S** son linealmente independientes.

Answer

**S** es un sistema generador de **V**.

Question 10

Sea S el subespacio de R³ generado por los vectores (1, 0, 1) y (0, 1, 1). ¿Cuál es la dimensión de S?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

0

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA sobre los subespacios vectoriales?

Accepted Answer

La unión de dos subespacios vectoriales siempre es un subespacio vectorial.

Answer

El subespacio generado por un conjunto de vectores es el menor subespacio que contiene a dicho conjunto.

Answer

La intersección de dos subespacios vectoriales siempre es un subespacio vectorial.

Question 12

Sea T: R² → R² la transformación lineal definida por T(x, y) = (x + y, x - y). ¿Cuál es la matriz asociada a T en la base canónica de R²?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, -1]]

Answer

[[1, -1], [1, 1]]

Answer

[[-1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 13

Sea $W = \{(x, y, z) in mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$. Determine si $W$ es un subespacio vectorial de $mathbb{R}^3$.

Accepted Answer

Sí, cumple las condiciones de ser un subespacio vectorial.

Answer

No, no es cerrado bajo la multiplicación por escalares.

Answer

No, no contiene el vector nulo.

Question 14

Dados los vectores $u = (1, 2)$ y $v = (3, 1)$, indique cuál de los siguientes vectores es una combinación lineal de $u$ y $v$.

Accepted Answer

(5, 5)

Answer

(1, 0)

Answer

(2, 1)

Answer

(4, 3)

Question 15

Los vectores $u = (1, 0, 1)$ y $v = (0, 1, 1)$ son linealmente independientes en $mathbb{R}^3$. Seleccione el vector que podría añadirse para formar un conjunto linealmente independiente de tres vectores en $mathbb{R}^3$.

Accepted Answer

(1, 1, 0)

Answer

(2, 2, 2)

Answer

(1, 0, -1)

Answer

(0, 0, 1)

Question 16

Sean $u = (1, 2)$ y $v = (3, 1)$ vectores en $mathbb{R}^2$. Calcule la dimensión del espacio vectorial generado por $u$ y $v$.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

Infinita

Question 17

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión 4, ¿cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes que se pueden encontrar en $V$?

Accepted Answer

4

Answer

Infinito

Answer

5

Answer

3

Question 18

Un conjunto de vectores $B$ forma una base para un espacio vectorial $V$ si y solo si:

Accepted Answer

$B$ es linealmente independiente y genera $V$.

Answer

$B$ es linealmente dependiente y no genera $V$.

Answer

$B$ es linealmente independiente y no genera $V$.

Answer

$B$ es linealmente dependiente y genera $V$.

Question 19

Sea $A$ una matriz $m 	imes n$ y $V = \{x \in mathbb{R}^n : Ax = 0\}$. Establezca la relación entre la dimensión del espacio nulo de $A$ (null($A$)) y la dimensión del espacio columna de $A$ (col($A$)).

Accepted Answer

dim(null($A$)) + dim(col($A$)) = n

Answer

dim(null($A$)) = dim(col($A$))

Answer

dim(null($A$)) + dim(col($A$)) = m

Answer

dim(null($A$)) = n - m

Question 20

Identifique la característica correcta de un subespacio vectorial.

Accepted Answer

Es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

Answer

Puede ser cualquier subconjunto del espacio vectorial.

Answer

Su dimensión es siempre menor que la del espacio vectorial que lo contiene.

Question 21

¿Cuál de las siguientes operaciones NO produce siempre un espacio vectorial?

Accepted Answer

Unión de dos subespacios vectoriales

Answer

Producto cartesiano de dos espacios vectoriales

Answer

Intersección de dos subespacios vectoriales

Answer

Suma de dos espacios vectoriales

Question 22

Dados los espacios vectoriales $V_1$ y $V_2$, ¿qué opción representa la transformación lineal identidad?

Accepted Answer

T(v) = v para todo $v \in V_1$

Answer

T(v) = 0 para todo $v \in V_1$

Answer

T(v) = v \cdot v$ para todo $v \in V_1$

Answer

T(v) = 2v para todo $v \in V_1$