Series y transformadas de funciones complejas: cuestionarios interactivos

Question 1

¿Cuál es la Transformada de Laplace de la función f(t) = e^(-2t)?

Accepted Answer

1/(s+2)

Answer

1/s^2

Answer

s/(s+2)

Answer

s^2/(s+2)

Question 2

¿Cuál de los siguientes teoremas se utiliza para determinar la convergencia absoluta de una serie Σ(n=1)^∞ |a_n|?

Accepted Answer

Teorema de la comparación

Answer

Teorema del límite

Answer

Teorema de Cauchy

Answer

Teorema de Weierstrass

Question 3

¿Cuál es la Serie de Taylor de la función f(z) = ln(1+z) alrededor de z=0?

Accepted Answer

Σ(n=1)^∞ (-1)^(n+1) z^n/n

Answer

Σ(n=0)^∞ (-1)^(n+1) z^n/n

Answer

Σ(n=1)^∞ z^n/n

Answer

Σ(n=0)^∞ z^n/n

Question 4

¿Cuál es la expansión en serie de Fourier de la función f(x) = x sin(x) en el intervalo [-π, π]?

Accepted Answer

Σ(n=1)^∞ (-1)^(n+1) sin(nx)

Answer

Σ(n=1)^∞ (-1)^(n+1) cos(nx)

Answer

Σ(n=0)^∞ sin(nx)

Answer

Σ(n=0)^∞ cos(nx)

Question 5

Determinar cuál de las siguientes series es absolutamente convergente:

Accepted Answer

∑ (n=1 hasta ∞) (-1)^n / n^2

Answer

∑ (n=1 hasta ∞) (-1)^n · n

Answer

∑ (n=1 hasta ∞) (1 + 1/n)^n

Question 6

Hallar la transformada de Fourier de la función f(x) = e^(-|x|) :

Accepted Answer

F(ω) = 2 / (1 + ω^2)

Answer

F(ω) = 1 / (1 - ω^2)

Answer

F(ω) = 2 / (1 - ω^2)

Question 7

Calcular la transformada inversa de Laplace de la función F(s) = 1 / (s^2 + 4)

Accepted Answer

f(t) = (1/2) sin(2t)

Answer

f(t) = sin(2t)

Answer

f(t) = cos(2t)

Answer

f(t) = (1/2) cos(2t)

Question 8

Calcular el residuo de la función f(z) = z^3/(z-1)^2 en z = 1

Accepted Answer

1

Answer

1/2

Answer

0

Answer

-1

Question 9

¿Cuál es la integral de contorno que evalúa el valor de la suma de los residuos de f(z) = 1/(z-1)^3 dentro del círculo unitario centrado en el origen?

Accepted Answer

∮_C f(z) dz

Answer

∫_0^∞ f(z) dz

Answer

∮_∞ f(z) dz

Answer

∫_0^π f(e^iθ) dθ

Question 10

La transformada de Laplace de la función f(t) = e^t es:

Accepted Answer

1/(s-1)

Answer

s^2/(s^2+1)

Answer

s/(s^2-1)

Answer

1/(s+1)

Question 11

¿Cuál es el teorema que establece condiciones suficientes para la convergencia uniforme de una serie de funciones?

Accepted Answer

Criterio de Weierstrass M

Answer

Criterio de d'Alembert

Answer

Criterio de la raíz

Answer

Criterio de Cauchy

Question 12

Determinar si la serie ∑_(n=1)^∞ 1/n^2 es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente

Accepted Answer

Absolutamente convergente

Answer

Condicionalmente convergente

Answer

Divergente

Answer

No se puede determinar

Question 13

Calcula la transformada de Laplace de la función $f(t) = e^{-t} t^2$.

Accepted Answer

$\frac{2}{(s+1)^3}$

Answer

$\frac{2}{(s-1)^3}$

Answer

$\frac{1}{(s+1)^3}$

Question 14

Encuentra la serie de Laurent de la función $f(z) = \frac{1}{(z-1)^2}$ en el anillo $0<|z-1|<2$.

Accepted Answer

$\frac{1}{z-1} -1 + (z-1) - (z-1)^2 + \cdots$

Answer

$\frac{1}{z-1} + (z-1) - (z-1)^2 + \cdots$

Answer

$1 + (z-1) - (z-1)^2 + \cdots$

Answer

$\frac{1}{z-1} - (z-1) + \cdots$

Question 15

Evalúa el integral de contorno $\int_C \frac{e^z}{z^2+1} dz$, donde $C$ es la circunferencia unitaria centrada en el origen.

Accepted Answer

$2\pi i$

Answer

$0$

Answer

$-2\pi i$

Question 16

¿Cuál de las siguientes series es convergente según el criterio de la comparación directa?

Accepted Answer

∑[n=1 hasta ∞] 1/n²

Answer

∑[n=1 hasta ∞] n²

Answer

∑[n=1 hasta ∞] n

Answer

∑[n=1 hasta ∞] 1/n

Question 17

La integral ∮[γ] f(z) dz, donde γ es el círculo unitario centrado en el origen y f(z) es una función analítica con un polo simple en z=0, es igual a:

Accepted Answer

2πi*Res[f(z), z=0]

Answer

Res[f(z), z=0]

Answer

π*Res[f(z), z=0]

Question 18

La serie compleja $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ converge absolutamente para $|z| < 1$ y converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de $|z| < 1$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA?

Accepted Answer

La serie converge absolutamente para $|z| < 1$ y converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de $|z| < 1$.

Answer

La serie converge absolutamente para $|z| \leq 1$.

Answer

La serie converge uniformemente en todo $|z| < 1$.

Answer

La serie diverge para todo $z$.

Question 19

La integral de línea $\int_{C} \frac{dz}{z}$, donde $C$ es el círculo unitario orientado positivamente, es igual a:

Accepted Answer

$2\pi i$

Answer

$-2\pi i$

Answer

$0$

Answer

$\pi i$

Question 20

La serie de Laurent de la función $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ alrededor del punto $z = 1$ es:

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n-1}}{1^n}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{-n}}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n-1}}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^n}{n!}$

Question 21

Sea $f(z) = \frac{sin(z)}{z}$. Calcula la integral $\int_{C} f(z) dz$, donde $C$ es el círculo unitario orientado positivamente.

Accepted Answer

$2\pi i$

Answer

$\pi i$

Answer

$0$

Answer

$-2\pi i$

Question 22

La serie de Taylor de la función $f(z) = e^z$ alrededor del punto $z = 0$ es:

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} z^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

Question 23

La transformada inversa de Laplace de $\frac{1}{s^2 + 1}$ es:

Accepted Answer

$sin(t)$

Answer

$e^t$

Answer

$cos(t)$

Answer

$e^{-t}$