Transformaciones lineales: Aprende sobre núcleos e imágenes

Question 1

¿Qué afirmación define correctamente una transformación lineal?

Accepted Answer

Función que mantiene la estructura vectorial.

Answer

Función que preserva la distancia entre puntos.

Answer

Función que mantiene los ángulos entre vectores.

Answer

Función que conserva el área de las figuras.

Question 2

Si T es una transformación lineal con imagen {(0,0), (1,1), (2,2)}, ¿cuál es la dimensión de su imagen?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 3

Sea la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x + y, -x + 3y). Calcular el núcleo de T.

Accepted Answer

[El vector (0, 0) es el único elemento del núcleo.]

Answer

(0, 1)

Answer

(1, 0)

Answer

(-1, 1)

Question 4

Sea la transformación lineal T: R³ → R³ definida por T(x, y, z) = (x - y + z, 2x + y - z, -x + 2y + z). Calcular la imagen de T.

Accepted Answer

[La imagen de T es todo R³.]

Answer

R²

Answer

Una recta en R³

Answer

Un plano en R³

Question 5

Determinar si la transformación T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + 2y, x - y, 3x + y) es una transformación lineal.

Accepted Answer

[Sí, T cumple las propiedades de suma y multiplicación por escalar.]

Answer

Solo cumple la propiedad de suma

Answer

No

Answer

Solo cumple la propiedad de multiplicación por escalar

Question 6

Sea la transformación lineal T: R² → R definida por T(x, y) = 2x - 3y. Calcular la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas de R² y R.

Accepted Answer

[2 -3]

Answer

[3 -2]

Answer

[2 3]

Question 7

Sea la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x + 3y, -x + y). Calcular la imagen del vector (1, 2) bajo T.

Accepted Answer

(5, 1)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 5)

Answer

(6, 0)

Question 8

Determinar si la transformación T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + y, 2x - z) es una transformación lineal.

Accepted Answer

[Sí, T cumple las propiedades de suma y multiplicación por escalar.]

Answer

Solo cumple la propiedad de suma

Answer

Solo cumple la propiedad de multiplicación por escalar

Answer

No

Question 9

Sea la transformación lineal T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + 2y, x - y, 3x + y). Calcular la base del núcleo de T.

Accepted Answer

[{(1, -2)}]

Answer

{(1, 2)}

Answer

{(2, 1)}

Answer

{(0, 1)}

Question 10

Sea la transformación lineal T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (2x + y - z, -x + 3y + z). Calcular la dimensión de la imagen de T.

Accepted Answer

[2]

Answer

0

Answer

3

Answer

1

Question 11

Si T: R² → R² y S: R² → R³ son transformaciones lineales, ¿cuál es la dimensión del núcleo de S ∘ T?

Accepted Answer

Mayor o igual que la dimensión del núcleo de T.

Answer

Menor o igual que la dimensión del núcleo de T.

Answer

No se puede determinar a partir de la información proporcionada.

Answer

Igual a la dimensión del núcleo de T.

Question 12

¿Cuál de las siguientes transformaciones es lineal?

Accepted Answer

T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x - y, x + 3y)

Answer

S: R² → R² definida por S(x, y) = (x², y²)

Answer

Q: R² → R² definida por Q(x, y) = (sen(x), cos(y))

Answer

R: R² → R² definida por R(x, y) = (|x|, |y|)

Question 13

Sea T: ℝ² → ℝ³ definida por T(x, y) = (x, y, x + y). Calcula la imagen de T.

Accepted Answer

{(x, y, z) ∈ ℝ³ : z = x + y}

Answer

{(x, y, z) ∈ ℝ³ : z = 2x + y}

Answer

{(x, y, z) ∈ ℝ³ : z = x * y}

Answer

{(x, y, z) ∈ ℝ³ : z = x - y}

Question 14

Sea T: ℝ³ → ℝ³ definida por T(x, y, z) = (x, 0, z). ¿Es T una transformación lineal?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque no satisface T(0, 0, 0) = (0, 0, 0).

Answer

No, porque no es inyectiva.

Answer

No, porque no es sobreyectiva.

Question 15

Sea T: ℝ² → ℝ² definida por T(x, y) = (x, 2y). ¿Es T invertible?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque no es inyectiva.

Answer

No, porque no es lineal.

Answer

No, porque no es sobreyectiva.

Question 16

Sea T: ℝ² → ℝ² definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y). ¿Es T una transformación lineal diagonalizable?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque no es diagonalizable.

Answer

No, porque no es invertible.

Answer

No, porque no tiene autovalores distintos.

Question 17

Sea T: R² → R³ una transformación lineal definida por T(x, y) = (x + y, x - y, 2x). ¿Cuál es la imagen del vector (1, 2) bajo T?

Accepted Answer

(3, -1, 2)

Answer

(3, 1, 2)

Answer

(2, -1, 4)

Answer

(1, 2, 2)

Question 18

Dada la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x + y, x - 3y), ¿cuál es el núcleo de T?

Accepted Answer

{(0, 0)}

Answer

{(1, 1)}

Answer

{(x, y) | x = 3y}

Answer

{(x, y) | x = -y}

Question 19

Sea T: R³ → R² una transformación lineal. Si T(1, 0, 0) = (1, 2) y T(0, 1, 0) = (3, -1), ¿cuál es T(2, 1, 0)?

Accepted Answer

(5, 3)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 3)

Answer

(4, -1)

Question 20

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una propiedad de las transformaciones lineales?

Accepted Answer

T(u + v) = T(u) + T(v) + k, donde k es un escalar.

Answer

T(ku) = kT(u), donde k es un escalar.

Answer

T(0) = 0

Answer

T(u + v) = T(u) + T(v)

Question 21

Sea T: R² → R² una transformación lineal. Si T(1, 0) = (2, 1) y T(0, 1) = (-1, 3), ¿cuál es la matriz asociada a T?

Accepted Answer

[[2, -1], [1, 3]]

Answer

[[2, 1], [-1, 3]]

Answer

[[1, 3], [2, -1]]

Answer

[[1, 2], [3, -1]]

Question 22

Dada la transformación lineal T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + 2y, 3z - y), ¿cuál es la dimensión de la imagen de T?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

0

Question 23

Sea T: R² → R² una transformación lineal. Si T(x, y) = (x + 2y, 3x - y), ¿cuál es la imagen del vector (1, -1) bajo T?

Accepted Answer

(-1, 4)

Answer

(0, 4)

Answer

(3, 2)

Answer

(1, -1)

Question 24

Sea T: R³ → R³ una transformación lineal. Si T(1, 0, 0) = (1, 2, 1), T(0, 1, 0) = (0, 1, -1), y T(0, 0, 1) = (2, 0, 3), ¿es T inyectiva?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

No se puede determinar con la información dada.

Answer

Depende de la dimensión del espacio de llegada.

Question 25

Dada la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (x - y, 2x + y), ¿cuál es la preimagen del vector (1, 3) bajo T?

Accepted Answer

(1, 0)

Answer

No existe preimagen.

Answer

(0, 1)

Answer

(2, 1)

Question 26

Sea T: R³ → R² una transformación lineal. Si T(1, 0, 0) = (2, 1), T(0, 1, 0) = (0, 3), y T(0, 0, 1) = (-1, 2), ¿es T sobreyectiva?

Accepted Answer

Sí

Answer

Depende de la dimensión del espacio de llegada.

Answer

No

Answer

No se puede determinar con la información dada.