Derivadas parciales: Conceptos, reglas y aplicaciones en Análisis Matemático II

Question 1

Calcula la derivada parcial primera de la función f(x, y) = x^2 + y^3 respecto a x.

Accepted Answer

2x

Answer

y^3

Answer

3y^2

Answer

x^3

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre derivadas parciales es correcta?

Accepted Answer

Las derivadas parciales de una función en un punto determinan su plano tangente en dicho punto.

Answer

La derivabilidad de una función implica la derivabilidad de sus derivadas parciales.

Answer

Las derivadas parciales de una función siempre existen.

Question 3

¿En cuál de las siguientes situaciones NO se utilizan derivadas parciales?

Accepted Answer

Movimiento de un cuerpo sobre una línea recta.

Answer

Optimización de una función de dos variables.

Answer

Modelado de fenómenos en física y economía.

Answer

Análisis de un campo vectorial.

Question 4

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la matriz jacobiana de una función de dos variables?

Accepted Answer

[df/dx df/dy]

Answer

[dx/dy df/dx]

Answer

[dx/df dy/df]

Answer

[df/dx dy/dx]

Question 5

Calcula el gradiente de la función f(x, y) = x^2 y^3 en el punto (1, 2).

Accepted Answer

[2 6]

Answer

[2 1]

Answer

[1 2]

Answer

[6 2]

Question 6

En ingeniería civil, ¿cuál de las siguientes es una aplicación habitual de las derivadas parciales?

Accepted Answer

Optimización del diseño estructural

Answer

Análisis de circuitos eléctricos

Answer

Resolución de ecuaciones algebraicas

Answer

Determinación de campos gravitacionales

Question 7

Calcula la derivada parcial de la función (f(x, y, z) = x^3 + y^2 + z^4) con respecto a (z).

Accepted Answer

4z^3

Answer

1

Answer

3x^2

Answer

2y

Question 8

Calcula la derivada parcial de la función f(x, y) = x^2 + y^3 respecto a x.

Accepted Answer

2x

Answer

x

Answer

3y^2

Answer

y^3

Question 9

Determina si la función f(x, y) = sen(x + y) es diferenciable en el punto (0, 0).

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque sen(x + y) no es continua en (0, 0).

Answer

Depende de los valores específicos de x e y.

Answer

No, porque sen(x + y) no es derivable en (0, 0).

Question 10

Calcula el gradiente de la función f(x, y) = e^x + y^2 en el punto (1, 2).

Accepted Answer

(e, 4)

Answer

(1, 2)

Answer

(e, 2)

Answer

(e^x, 2y)

Question 11

Aplica la regla de la cadena para calcular la derivada parcial de la función f(x, y) = ln(x^2 + y^3) respecto a y.

Accepted Answer

3y^2 / (x^2 + y^3)

Answer

x^2 / (x^2 + y^3)

Answer

1 / (x^2 + y^3)

Answer

y^3 / (x^2 + y^3)

Question 12

Utiliza las derivadas parciales para aproximar el valor de f(1.02, 2.98) si f(x, y) = x^2 + xy + y^3.

Accepted Answer

6.0604

Answer

5.9804

Answer

6.0204

Answer

6.1404

Question 13

Encuentra el punto crítico de la función f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.

Accepted Answer

(1, 2)

Answer

No tiene puntos críticos

Answer

(0, 0)

Answer

(-1, -2)

Question 14

¿Cuál es la definición de derivada parcial?

Accepted Answer

La tasa de cambio de una función con respecto a una variable, manteniendo todas las demás variables constantes

Answer

La pendiente de la función en un punto

Answer

La integral de una función con respecto a una variable

Question 15

Calcula la derivada parcial de f(x, y) = x^2 + y^3 con respecto a x

Accepted Answer

2x

Answer

y^3

Answer

x + y^3

Answer

x^2

Question 16

Aplica la regla de la cadena para calcular la derivada parcial de f(x, y) = sin(x^2 + y^3) con respecto a y

Accepted Answer

3y^2 cos(x^2 + y^3)

Answer

cos(x^2 + y^3)

Answer

y^3 sin(x^2 + y^3)

Answer

-y^3 sin(x^2 + y^3)

Question 17

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las derivadas parciales se utiliza en optimización?

Accepted Answer

Método de los multiplicadores de Lagrange

Answer

Integración de funciones multivariables

Answer

Cálculo de integrales de línea

Answer

Teorema de Green

Question 18

Identifica el concepto matemático que relaciona la derivada parcial de una función con su gradiente

Accepted Answer

Teorema del gradiente

Answer

Teorema de la divergencia

Answer

Teorema de Stokes

Answer

Teorema del rotor

Question 19

Calcula el Laplaciano de la función f(x, y) = e^(x^2 + y^2)

Accepted Answer

4e^(x^2 + y^2)

Answer

e^(2x^2 + 2y^2)

Answer

2e^(x^2 + y^2)

Question 20

Cuál de las siguientes expresiones representa la derivada parcial de la función f(x, y) con respecto a x?

Accepted Answer

∂f/∂x

Answer

f'(x)

Answer

∂f/∂y

Answer

∫f(x, y) dx

Question 21

Si f(x, y) = x^2 + y^2, ¿cuál es el valor de ∂f/∂x?

Accepted Answer

2x

Answer

y^2

Answer

x^2

Answer

2y

Question 22

Calcula la derivada parcial de z = e^(xy) con respecto a y.

Accepted Answer

x e^(xy)

Answer

e^y

Answer

e^x

Answer

y e^(xy)

Question 23

¿Cuál de las siguientes opciones es una aplicación correcta de las derivadas parciales?

Accepted Answer

Optimizar funciones multivariables

Answer

Todas las anteriores

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

Answer

Calcular integrales definidas

Question 24

En física, las derivadas parciales se usan para:

Accepted Answer

Describir el flujo de fluidos

Answer

Analizar el movimiento de proyectiles

Answer

Calcular el potencial eléctrico

Answer

Todas las anteriores

Question 25

¿Qué tipo de continuidad deben tener las funciones de varias variables para ser diferenciables?

Accepted Answer

Continuidad en todos sus puntos

Answer

Continuidad en las derivadas parciales

Answer

Continuidad en un punto

Answer

Continuidad por partes

Question 26

Dadas f(x, y) = ln(x + y) y g(x) = 2x, calcula la derivada parcial de (f o g)(x) con respecto a x.

Accepted Answer

2/(2x + 1)

Answer

1/(2x + 1)

Answer

2

Answer

1

Question 27

¿Qué característica define a los puntos críticos de una función de varias variables?

Accepted Answer

Todas las derivadas parciales son cero o no existen

Answer

La función es continua en esos puntos

Answer

Siempre son puntos de máximo o mínimo

Question 28

Encuentra los puntos críticos de la función f(x, y) = x^3 + y^4.

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(1, 1)

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

(2, 2)

Question 29

La derivada parcial cruzada de f(x, y, z) se representa como:

Accepted Answer

∂(∂f/∂x)/∂y

Answer

∂f/∂x + ∂f/∂y

Answer

∂(∂f/∂y)/∂x

Answer

∂(∂f/∂z)/∂x