Aplicaciones de la integración numérica: Cálculo de áreas, volúmenes e integrales impropias

Question 1

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica ofrece la mayor precisión?

Accepted Answer

Romberg

Answer

Trapezoidal

Answer

Simpson 1/3

Answer

Simpson 3/8

Question 2

El teorema del valor medio para integrales establece que si f(x) es continua en [a, b], entonces existe un número c en (a, b) tal que:

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx = (b - a) * f(c)

Answer

f(c) = (b - a) / ∫[a, b] f(x) dx

Answer

f'(c) = (b - a) / ∫[a, b] f(x) dx

Answer

∫[a, b] f(x) dx = (b - a) * f'(c)

Question 3

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la integral de Riemann es correcta?

Accepted Answer

Es la suma de las áreas de rectángulos inscritos bajo la curva.

Answer

Es la suma de las áreas de trapecios inscritos bajo la curva.

Answer

Es la suma de las áreas de parábolas inscritas bajo la curva.

Answer

Es la suma de las áreas de triángulos inscritos bajo la curva.

Question 4

La integral indefinida de la función f(x) = cos(x) es:

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 5

¿Cuál es el método numérico más básico para calcular integrales?

Accepted Answer

Regla del trapecio

Answer

Integración por partes

Answer

Regla de Simpson

Answer

Método de Monte Carlo

Question 6

El error absoluto en la aproximación de una integral por un método numérico es:

Accepted Answer

El valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.

Answer

El valor aproximado menos el valor exacto.

Answer

El valor exacto menos el valor aproximado.

Question 7

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa la regla de Simpson 3/8?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ 3h/8 [f(a) + 3f(a+h) + 3f(a+2h) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ h/2 [f(a) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/6 [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]

Question 8

El método de Monte Carlo es un método de integración numérica que utiliza:

Accepted Answer

Números aleatorios

Answer

Polinomios de interpolación

Answer

Series de Fourier

Answer

Ecuaciones diferenciales

Question 9

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de la integración numérica se utiliza en finanzas?

Accepted Answer

Valoración de opciones

Answer

Cálculo de trayectorias de proyectiles

Answer

Análisis de circuitos eléctricos

Answer

Diseño de puentes

Question 10

En el método de Simpson, ¿qué figura geométrica se utiliza para aproximar la integral?

Accepted Answer

Parábola

Answer

Trapecio

Answer

Línea recta

Question 11

¿Cuál es el tipo de convergencia de la integral impropia de la función f(x) = 1/(x^2 + 1)?

Accepted Answer

Convergente

Answer

Semi-convergente

Answer

Divergente

Answer

No existe

Question 12

¿Qué característica del método de los trapecios lo hace inadecuado para calcular integrales impropias?

Accepted Answer

Requiere dividir el intervalo de integración en un número infinito de subintervalos

Answer

Siempre es exacto

Answer

Utiliza una fórmula parabólica para la aproximación

Question 13

¿Qué característica define al método de Monte Carlo para la integración numérica?

Accepted Answer

Utiliza números aleatorios para aproximar la integral

Answer

Siempre es más preciso que el método de Simpson

Answer

Requiere el cálculo de derivadas

Question 14

¿Qué caracteriza al método de Gauss-Legendre para la integración numérica?

Accepted Answer

Utiliza puntos de Gauss y pesos para aproximar la integral

Answer

Es un método de integración analítica

Answer

Requiere el uso de una función derivada

Question 15

Para calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x² en el intervalo [0, 1], ¿cuál de los siguientes métodos de integración numérica proporcionará la aproximación más precisa?

Accepted Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla de los trapecios

Question 16

El método de Montecarlo es aplicable para calcular integrales de funciones de:

Accepted Answer

Cualquier número de dimensiones

Answer

Sólo tres dimensiones

Answer

Sólo una dimensión

Answer

Sólo dos dimensiones

Question 17

Al elegir un método de integración numérica para una función determinada, ¿cuál de los siguientes factores NO es relevante?

Accepted Answer

Disponibilidad de la derivada analítica de la función

Answer

Forma de la función

Answer

Precisión deseada

Answer

Número de puntos de integración

Question 18

¿Cuál de las siguientes integrales impropias es convergente?

Accepted Answer

∫[1,∞] e^(-x) dx

Answer

∫[0,∞] sen(x) dx

Answer

∫[-1,1] 1/(x-1) dx

Answer

∫[0,1] 1/x dx

Question 19

¿Cómo se calcula el valor de una integral impropia del tipo ∫[a,∞] f(x) dx?

Accepted Answer

lim(b→∞) ∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[b,a] f(x) dx

Answer

∫[a,b] f(x) dx / b

Answer

No se puede calcular

Question 20

¿Cuál es la principal ventaja del método de Monte Carlo para la integración numérica?

Accepted Answer

Puede integrar funciones de alta dimensión con relativa facilidad.

Answer

Es siempre más preciso que otros métodos.

Answer

No requiere el cálculo de derivadas.

Question 21

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las integrales impropias divergentes es correcta?

Accepted Answer

Su valor límite puede ser infinito o no existir.

Answer

Nunca tienen un valor límite.

Answer

Siempre tienen un valor finito.

Answer

Pueden ser convergentes o divergentes dependiendo del intervalo de integración.

Question 22

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica es más preciso para funciones muy oscilantes?

Accepted Answer

Fórmulas de integración de Gauss

Answer

Regla de Simpson

Answer

Fórmula del punto medio

Answer

Regla de los trapecios

Question 23

Se desea calcular el área bajo la curva y=x^2 en el intervalo [0, 1] utilizando la regla de los trapecios con 4 subintervalos. ¿Cuál es el valor del área aproximada?

Accepted Answer

0,6667

Answer

0,5

Answer

1

Answer

0,75

Question 24

En el contexto de la integración numérica, ¿qué es un paso de integración?

Accepted Answer

El tamaño de cada subintervalo utilizado para la aproximación

Answer

La aproximación calculada por cada subintervalo

Answer

El número de puntos de integración utilizados

Question 25

Se desea calcular la integral ∫₀² x^3 e^(-x²) dx utilizando la regla de Gauss con 2 puntos de integración. ¿Cuáles son los puntos de integración y pesos correspondientes?

Accepted Answer

x₁ = -√(3/5), x₂ = √(3/5), w₁ = w₂ = 1

Answer

x₁ = -1, x₂ = 1, w₁ = w₂ = 1/2

Answer

x₁ = -2, x₂ = 2, w₁ = w₂ = 1/4

Answer

x₁ = -1/2, x₂ = 1/2, w₁ = w₂ = 1