Integral de Vectores: Cálculo y Aplicaciones en Ingeniería Civil

Question 1

Señala cuál es el integrando de una integral de línea:

Accepted Answer

Un vector

Answer

Un escalar

Answer

Una matriz

Answer

Un tensor

Question 2

La integral de línea de un campo vectorial **F** a lo largo de una curva **C** se define como:

Accepted Answer

∫**F** ⋅ d**r

Answer

∫**F** × d**r

Answer

∮**F** × d**r

Answer

∮**F** ⋅ d**r

Question 3

La integral de superficie de un campo vectorial **F** sobre una superficie **S** se define como:

Accepted Answer

∫∫**F** ⋅ d**S

Answer

∮**F** × d**S

Answer

∮**F** ⋅ d**S

Answer

∫∫**F** × d**S

Question 4

El flujo de un campo vectorial **F** a través de una superficie **S** es:

Accepted Answer

∫∫**F** ⋅ d**S

Answer

∮**F** ⋅ d**r

Answer

∫**F** ⋅ d**r

Answer

∮**F** × d**r

Question 5

Identifica una aplicación de las integrales de línea en el campo de la ingeniería civil:

Accepted Answer

El cálculo del trabajo realizado por una fuerza a lo largo de un camino

Answer

La estimación del área de una superficie

Answer

El cálculo del volumen de un sólido

Question 6

Menciona una aplicación de las integrales de superficie en el campo de la ingeniería civil:

Accepted Answer

El cálculo del flujo de un fluido a través de una superficie

Answer

La estimación del área de una superficie

Answer

El cálculo del trabajo realizado por una fuerza a lo largo de un camino

Question 7

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la notación correcta para una integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de una curva C?

Accepted Answer

∫[C] F · dr

Answer

∫[V] F · dV

Answer

∫[C] F · ds

Answer

∫[S] F · dS

Question 8

Si F(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2), calcula la integral de flujo del campo F sobre la superficie S correspondiente a una esfera de radio 1 centrada en el origen.

Accepted Answer

4π/3

Answer

4π

Answer

8π/3

Answer

2π/3

Question 9

Sea S la superficie definida por la ecuación z = 1 limitada por la curva C dada por la ecuación x^2 + y^2 = 1. Calcula el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (x, y, z) a través de S.

Accepted Answer

π

Answer

2π

Answer

1

Answer

0

Question 10

Calcula la circulación de **F(x, y) = (x, y)** alrededor de la circunferencia **x^2 + y^2 = 1**.

Accepted Answer

2π

Answer

4π

Answer

6π

Answer

π

Question 11

En el cálculo vectorial, ¿qué representa el vector **F(x, y, z)** en la integral de línea cerrada  **∫C F · dr**?

Accepted Answer

El campo vectorial

Answer

El diferencial de longitud ds

Answer

El valor escalar de F

Answer

La curva C

Question 12

Considerando la superficie **S** orientada por el vector unitario normal **n**, ¿qué representa la integral de superficie **∫∫S F · dS**?

Accepted Answer

El flujo del campo vectorial **F** a través de la superficie **S**

Answer

El producto punto del campo vectorial **F** y el vector normal **n**

Answer

La integral de línea de **F** sobre el contorno de **S**

Answer

La suma de los flujos de **F** a través de cada elemento infinitesimal de área de **S**

Question 13

En aplicaciones de ingeniería civil, la integral de línea se utiliza para calcular:

Accepted Answer

El trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria

Answer

La aceleración de un objeto en movimiento

Answer

El volumen de un sólido

Answer

El flujo de un fluido a través de una superficie

Question 14

Considerando un vector de posición **r(t) = (x(t), y(t), z(t))** y un campo vectorial **F(x, y, z)**, ¿cuál es la expresión correcta para la integral de línea **∫C F · dr**?

Accepted Answer

∫a^b F(r(t)) · r'(t) dt

Answer

∫C F(r(t)) · r(t) dt

Answer

∫C F(x, y, z) · dx dy dz

Answer

∫a^b F(r(t)) · dr

Question 15

En una integral de superficie, ¿qué representa el vector unitario tangente **T**?

Accepted Answer

La dirección de la curva que delimita la superficie

Answer

La dirección del flujo del campo vectorial a través de la superficie

Answer

La dirección perpendicular a la superficie

Answer

El vector de posición de la superficie

Question 16

Dados un campo vectorial **F(x, y, z)** y una superficie **S**, ¿qué determina el signo de la integral de superficie **∫∫S F · n dS**?

Accepted Answer

Orientación de la superficie respecto a **F**

Answer

Área de la superficie **S**

Answer

Valor de **F** en el punto medio de **S**

Answer

Magnitud del campo vectorial **F**

Question 17

En el caso de una superficie cilíndrica, ¿qué coordenadas son más adecuadas para parametrizarla?

Accepted Answer

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

Answer

Coordenadas polares (r, θ)

Answer

Coordenadas cartesianas (x, y, z)

Answer

Coordenadas esféricas (ρ, θ, φ)

Question 18

La integral de superficie **∫∫S (∇ × F) · dS**, donde **F** es un campo vectorial, representa:

Accepted Answer

La circulación de **F** alrededor del contorno de **S**

Answer

El trabajo realizado por **F** sobre una partícula que se mueve a lo largo de **S**

Answer

El gradiente de **F** en la superficie **S**

Answer

El flujo de **F** a través de **S**

Question 19

La integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva **C** representa:

Accepted Answer

El trabajo realizado por el campo vectorial al mover una partícula a lo largo de la curva **C**.

Answer

La aceleración de la partícula a lo largo de la curva **C**.

Answer

El flujo del campo vectorial a través de la superficie delimitada por la curva **C**.

Answer

La longitud de la curva **C**.

Question 20

Según el teorema de Green, la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada C es igual a:

Accepted Answer

La integral doble de la rotacional del campo vectorial sobre la región R encerrada por la curva C.

Answer

La integral de línea del campo vectorial a lo largo de una curva abierta.

Answer

La integral de línea del gradiente del campo vectorial a lo largo de la curva C.

Answer

La integral de superficie del campo vectorial sobre una superficie arbitraria.

Question 21

Calcula la integral de línea del campo vectorial **F**(x,y) = (x², y) a lo largo de la curva C parametrizada por **r**(t) = (t, t²), 0 ≤ t ≤ 1.

Accepted Answer

7/3

Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

4/3

Question 22

El flujo de un campo vectorial **F** a través de una superficie S se define como:

Accepted Answer

La integral de superficie del producto escalar del campo vectorial **F** y el vector normal unitario **n** a la superficie S.

Answer

La integral de línea del campo vectorial **F** a lo largo de una curva arbitraria.

Answer

La integral de línea del campo vectorial **F** a lo largo de la frontera de la superficie S.

Answer

La integral de superficie del producto vectorial del campo vectorial **F** y el vector normal unitario **n** a la superficie S.

Question 23

El teorema de Stokes establece que la integral de línea de un campo vectorial **F** a lo largo de una curva cerrada C es igual a:

Accepted Answer

La integral de superficie de la rotacional del campo vectorial **F** sobre una superficie S con la curva C como frontera.

Answer

La integral de línea del gradiente del campo vectorial **F** a lo largo de la curva C.

Answer

La integral de superficie del campo vectorial **F** sobre una superficie arbitraria.

Answer

La integral de línea del campo vectorial **F** a lo largo de una curva abierta.

Question 24

El teorema de la divergencia relaciona la integral de superficie del campo vectorial **F** sobre una superficie cerrada S con:

Accepted Answer

La integral triple de la divergencia del campo vectorial **F** sobre el volumen V encerrado por la superficie S.

Answer

La integral de superficie del campo vectorial **F** sobre una superficie abierta.

Answer

La integral de línea del campo vectorial **F** a lo largo de una curva arbitraria.

Answer

La integral de línea del campo vectorial **F** a lo largo de la frontera de la superficie S.

Question 25

Un campo vectorial **F** se denomina solenoidal si:

Accepted Answer

Su divergencia es cero en todos los puntos.

Answer

Su rotacional es cero en todos los puntos.

Answer

Es conservativo.

Answer

Es irrotacional.