Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial y'' - 2y' + y = 0. La solución debe expresarse en términos de e^x.

Accepted Answer

y = c₁e^x + c₂e^(-x)

Answer

y = c₁cos(x) + c₂sin(x)

Answer

y = c₁e^(x)cos(x) + c₂e^(x)sin(x)

Answer

y = c₁e^(-x)cos(x) + c₂e^(-x)sin(x)

Question 2

En la ecuación diferencial homogénea de segundo orden y'' + 4y' + 3y = 0, ¿cuál es la ecuación característica?

Accepted Answer

r^2 + 4r + 3 = 0

Answer

r^2 + 3r + 4 = 0

Answer

r^2 - 3r + 4 = 0

Answer

r^2 - 4r + 3 = 0

Question 3

Las soluciones de la ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0 son:

Accepted Answer

y = e^(2x)(c₁cos(2x) + c₂sen(2x))

Answer

y = e^(2x)(c₁cos(x) + c₂sen(x))

Answer

y = e^(4x)(c₁cos(x) + c₂sen(x))

Answer

y = e^(4x)(c₁cos(2x) + c₂sen(2x))

Question 4

La ecuación diferencial y'' - 2y' + y = x² tiene una solución general de la forma y = Ae^(x) + Be^(-x) + Cx² + Dx. ¿Cuáles son los valores de C y D?

Accepted Answer

C = 1/2 y D = -1/2

Answer

C = -1/2 y D = -1/2

Answer

C = -1/2 y D = 1/2

Answer

C = 1/2 y D = 1/2

Question 5

La ecuación diferencial y'' + 6y' + 9y = 0 tiene soluciones y₁ = e^(-3x) y y₂ = xe^(-3x). ¿Cuál es el conjunto fundamental de soluciones?

Accepted Answer

{y₁, y₂}

Answer

{y₁, xe^(3x)}

Answer

{xe^(-3x), e^(3x)}

Answer

{y₁, e^(3x)}

Question 6

La ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0 tiene una solución general y = c₁e^(2x) + c₂e^(-2x). ¿Cuál es la forma de la solución general?

Accepted Answer

Exponencial

Answer

Polinomial

Answer

Hiperbólica

Answer

Trigonométrica

Question 7

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes?

Accepted Answer

y'' + 3y' + 2y = 0

Answer

y'' + xy' + y = x

Answer

y' + y²/x = 0

Answer

y' + sen(x)y = 0

Question 8

La solución general de la ecuación diferencial y'' - 6y' + 8y = 0 es:

Accepted Answer

y = e^(3x)(c₁cos(x) + c₂sen(x))

Answer

y = e^(-3x)(c₁cos(x) + c₂sen(x))

Answer

y = e^(3x)(c₁x + c₂)

Answer

y = e^(-3x)(c₁x + c₂)

Question 9

La función y = e^(2x)sen(3x) es una solución de la ecuación diferencial:

Accepted Answer

y'' - 4y' + 13y = 0

Answer

y'' - 4y' + 12y = 0

Answer

y'' - 4y' + 14y = 0

Answer

y'' - 4y' + 16y = 0

Question 10

Considera la ecuación diferencial y'' + 4y = 0. ¿Cuál es su ecuación característica?

Accepted Answer

r^2 + 4 = 0

Answer

r^2 - 4 = 0

Answer

r^2 + 2r + 4 = 0

Question 11

La solución general de la ecuación diferencial y'' - 6y' + 9y = 0 es:

Accepted Answer

y = c₁e^(3x) + c₂e^(-3x)

Answer

y = c₁e^(6x) + c₂e^(-6x)

Answer

y = c₁sin(3x) + c₂cos(3x)

Answer

y = c₁sin(6x) + c₂cos(6x)

Question 12

¿Cuál de las siguientes transformaciones puede usarse para convertir una ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden?

Accepted Answer

Sustitución de variable

Answer

Integración por partes

Answer

Separación de variables

Answer

Descomposición en fracciones parciales

Question 13

La ecuación diferencial y'' + 2y' + 2y = 0 describe un sistema:

Accepted Answer

Críticamente amortiguado

Answer

Amortiguado

Answer

Sobreacentuado

Answer

Subacentuado

Question 14

Resolver la ecuación diferencial y^'' + 4y = 0.

Accepted Answer

y = c1 sen(2x) + c2 cos(2x)

Answer

y = c1 x + c2 x^2

Answer

y = c1 e^(2x) + c2 e^(-2x)

Answer

y = c1 ln(x) + c2 x

Question 15

Encontrar las raíces de la ecuación característica de la ecuación y^'' + 2y' + 5y = 0.

Accepted Answer

-1 + 2i, -1 - 2i

Answer

0, 0

Answer

-2 + i, -2 - i

Answer

1 + 2i, 1 - 2i

Question 16

¿Cuál es la solución general de la ecuación y^'' - 4y' + 3y = 0?

Accepted Answer

y = c1 e^(x) + c2 e^(3x)

Answer

y = c1 e^(-x) + c2 e^(-3x)

Answer

y = c1 sen(x) + c2 cos(x)

Answer

y = c1 x + c2 x^2

Question 17

¿Cuál es la solución general de la ecuación y^'' - 2y' + y = 0?

Accepted Answer

y = c1 e^x + c2 x e^x

Answer

y = c1 cos(x) + c2 sen(x)

Answer

y = c1 x + c2 x^2

Answer

y = c1 e^(-x) + c2 x e^(-x)

Question 18

Hallar la solución particular de la ecuación y^'' + 4y = cos(2x).

Accepted Answer

yp = (1/4) cos(2x) + (1/8) sen(2x)

Answer

yp = cos(2x) - sen(2x)

Answer

yp = (1/2) cos(2x) - (1/4) sen(2x)

Question 19

¿Cuál es la ecuación característica de la ecuación y^'' + 3y' + 2y = 0?

Accepted Answer

r^2 + 3r + 2 = 0

Answer

r^2 - 3r + 2 = 0

Answer

r^2 - 3r - 2 = 0

Answer

r^2 + 3r - 2 = 0

Question 20

Resolver la ecuación diferencial y^'' + 9y = 0.

Accepted Answer

y = c1 cos(3x) + c2 sen(3x)

Answer

y = c1 x + c2 x^2

Answer

y = c1 ln(x) + c2 x

Answer

y = c1 e^(3x) + c2 e^(-3x)

Question 21

Dada la ED y'' - 4y' + 5y = 0, ¿cuál es la solución particular que cumple las condiciones iniciales y(0) = 1, y'(0) = 2?

Accepted Answer

y(x) = e^(2x)(cos(x) + sin(x))

Answer

y(x) = e^(2x)cos(x)

Answer

y(x) = e^(2x)sin(x)

Answer

y(x) = cos(x) + sin(x)

Question 22

Determine la ecuación característica de la ecuación diferencial: y'' + 4y' + 3y = 0

Accepted Answer

r² + 4r + 3 = 0

Answer

r² - 4r - 3 = 0

Answer

r² - 4r + 3 = 0

Answer

r² + 4r - 3 = 0

Question 23

Las raíces de la ecuación característica r² - 6r + 9 = 0 son:

Accepted Answer

r₁ = r₂ = 3 (raíz doble)

Answer

r₁ = 3, r₂ = -3

Answer

r₁ = 2, r₂ = 4

Answer

r₁ = 1, r₂ = 9

Question 24

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 2y' + y = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = c₁e⁻ˣ + c₂xe⁻ˣ

Answer

y(x) = c₁eˣ + c₂e⁻ˣ

Answer

y(x) = c₁e²ˣ + c₂e⁻ˣ

Answer

y(x) = c₁e⁻ˣ + c₂e²ˣ

Question 25

La solución particular de la ecuación diferencial y'' - 4y = 8x, con condiciones iniciales y(0) = 1, y'(0) = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = -2x + 1

Answer

y(x) = x + 1

Answer

y(x) = -x + 1

Answer

y(x) = 2x + 1

Question 26

Una viga simplemente apoyada de longitud L está sometida a una carga uniformemente distribuida w. La ecuación diferencial que describe la deflexión y(x) de la viga es:

Accepted Answer

EIy''(x) = -w(x)/2

Answer

EIy''(x) = w(x)/2

Answer

EIy'(x) = w(x)/2

Answer

EIy'(x) = -w(x)/2

Question 27

La ecuación característica de la ecuación diferencial y'' + 6y' + 13y = 0 tiene raíces:

Accepted Answer

r₁ = -3 + 2i, r₂ = -3 - 2i (raíces complejas conjugadas)

Answer

r₁ = 3 + 2i, r₂ = 3 - 2i

Answer

r₁ = -3 + i, r₂ = -3 - i

Question 28

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = c₁cos(2x) + c₂sin(2x)

Answer

y(x) = c₁e⁴ˣ + c₂e⁻⁴ˣ

Answer

y(x) = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ

Answer

y(x) = c₁cos(4x) + c₂sin(4x)

Question 29

Un sistema masa-resorte con amortiguación está descrito por la ecuación diferencial my'' + cy' + ky = 0. ¿Cuál es la ecuación característica de este sistema?

Accepted Answer

mr² + cr + k = 0

Answer

mr² + cr - k = 0

Answer

mr² - cr + k = 0

Answer

mr² - cr - k = 0

Question 30

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 9y = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = c₁cos(3x) + c₂sin(3x)

Answer

y(x) = c₁cos(9x) + c₂sin(9x)

Answer

y(x) = c₁e⁹ˣ + c₂e⁻⁹ˣ

Answer

y(x) = c₁e³ˣ + c₂e⁻³ˣ

Question 31

La solución particular de la ecuación diferencial y'' - 2y' + y = 2x, utilizando el método de coeficientes indeterminados es:

Accepted Answer

y(x) = 2x + 4

Answer

y(x) = 2x - 4

Answer

y(x) = x + 4