Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

Si la ecuación y'' - 2y' + 2y = x sen(x) tiene y_1(x) = e^x como una solución, ¿cuál es y_2(x) obtenida por el método de reducción del orden?

Accepted Answer

y_2(x) = xe^x

Answer

y_2(x) = e^x/x

Answer

y_2(x) = x^2e^x

Answer

y_2(x) = 1/xe^x

Question 2

Para la ecuación y'' - 3y' + 2y = 0, con condiciones iniciales y(0) = 1 y y'(0) = 0, ¿cuál es la solución de la ecuación?

Accepted Answer

y(x) = e^(-x)[cos(x) - sen(x)]

Answer

y(x) = e^x[cos(x) + sen(x)]

Answer

y(x) = e^(2x)[cos(x) + sen(x)]

Answer

y(x) = e^(-2x)[cos(x) - sen(x)]

Question 3

¿Cuál es la ecuación característica de la ecuación y'' - 2y' + 3y = 0?

Accepted Answer

r^2 - 2r + 3 = 0

Answer

r^2 + 2r + 3 = 0

Answer

r^2 - 2r - 3 = 0

Answer

r^2 + 2r - 3 = 0

Question 4

Considerar la ecuación diferencial (y'' - 2xy' + (x^2 + 1)y = 0). ¿Cuál de los siguientes es un conjunto fundamental de soluciones para esta ecuación?

Accepted Answer

y₁ = e^{x^2}, y₂ = xe^{x^2}

Answer

y₁ = 1, y₂ = x

Answer

y₁ = e^x, y₂ = xe^x

Answer

y₁ = cos(x), y₂ = sin(x)

Question 5

Determinar si la ecuación diferencial (y'' + y' + (sen(x))y = 0) es lineal.

Accepted Answer

Sí, es lineal

Answer

No se puede determinar si es lineal

Answer

No es una ecuación diferencial

Answer

No, no es lineal

Question 6

Hallar la solución general de la ecuación diferencial (y'' + 4y = sen(2x)).

Accepted Answer

y = c₁cos(2x) + c₂sen(2x) - (1/6)sen(2x)

Answer

y = c₁cos(2x) - c₂sen(2x) - (1/6)sen(2x)

Answer

y = c₁cos(2x) + c₂sen(2x) + (1/6)sen(2x)

Answer

y = c₁e^2x + c₂e^-2x - (1/6)sen(2x)

Question 7

Determinar el tipo de punto singular de la ecuación diferencial (x^2y'' + xy' - y = 0).

Accepted Answer

Singularidad regular

Answer

Singularidad irregular

Answer

Punto esencial

Answer

Polo

Question 8

Considera la ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. **¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la unicidad de la solución es verdadera?**

Accepted Answer

Si p(x) y q(x) son continuas en un intervalo, entonces la solución es única.

Answer

Si p(x) es discontinua y q(x) es continua en un intervalo, entonces la solución es única.

Answer

Si p(x) es continua y q(x) es discontinua en un intervalo, entonces la solución es única.

Question 9

Para resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) con coeficientes no constantes usando el método de variación de parámetros, ¿qué pasos se deben seguir?

Accepted Answer

Encontrar dos soluciones linealmente independientes y1(x) e y2(x) de la ecuación homogénea, y construir una solución particular mediante u1(x) = -y1(x) ∫y2(x)f(x)/W(x) dx y u2(x) = y2(x) ∫y1(x)f(x)/W(x) dx, donde W(x) es el wronskiano de y1(x) e y2(x).

Answer

Usar el método de separación de variables.

Answer

Transformar la ecuación a una forma de ecuación diferencial exacta.

Question 10

En la ecuación diferencial lineal de segundo orden y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, si y1(x) es una solución, ¿cómo se puede encontrar una segunda solución linealmente independiente mediante el método de reducción del orden?

Accepted Answer

Suponiendo una segunda solución de la forma y2(x) = v(x)y1(x) y resolviendo la ecuación diferencial para v(x).

Answer

Aplicando el método de variación de parámetros.

Answer

Transformando la ecuación en una ecuación de primer orden.

Question 11

En la ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, si p(x) = 0 y q(x) > 0 para todo x en el intervalo [a, b], ¿qué afirmación sobre el tipo de punto singular en x = a es correcta?

Accepted Answer

x = a es un punto regular.

Answer

x = a es un punto singular regular.

Answer

x = a es un punto singular irregular.

Question 12

En la ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, si p(x) y q(x) son funciones continuas en el intervalo [a, ∞) y existen constantes positivas M y N tales que |p(x)| ≤ M y |q(x)| ≤ N para todo x ≥ a, ¿qué tipo de punto singular tiene la ecuación en ∞?

Accepted Answer

∞ es un punto singular regular.

Answer

∞ es un polo.

Answer

∞ es un punto singular irregular.

Answer

∞ es un punto ordinario.

Question 13

En la ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, si p(x) y q(x) son funciones continuas en el intervalo (a, b) y ambos se anulan en x = c, ¿qué tipo de punto singular tiene la ecuación en x = c?

Accepted Answer

x = c es un punto singular regular.

Answer

x = c es un punto singular irregular.

Answer

x = c es un punto ordinario.

Answer

x = c es un polo.

Question 14

Consider the equation y'' - 4xy' + 4y = e^(2x). Use the method of reduction of order to find a second linearly independent solution.

Accepted Answer

y_2(x) = x * e^(2x)

Answer

y_2(x) = e^(2x)

Answer

y_2(x) = x * e^(4x)

Answer

y_2(x) = x^2 * e^(2x)

Question 15

Find the general solution of the equation y'' + 4y' + 4y = 0.

Accepted Answer

y(x) = c_1 * e^(-2x) + c_2 * x * e^(-2x)

Answer

y(x) = c_1 * e^(-4x) + c_2 * x * e^(-4x)

Answer

y(x) = c_1 * e^(2x) + c_2 * x * e^(2x)

Answer

y(x) = c_1 * cos(2x) + c_2 * sin(2x)

Question 16

Determine the values of r for which the equation y'' + r^2y = 0 has non-trivial solutions.

Accepted Answer

r ≠ 0

Answer

r = -1

Answer

r = 1

Answer

r = 0

Question 17

Find the solution to the initial value problem y'' + 2y' + 5y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0.

Accepted Answer

y(x) = e^(-x) * cos(2x)

Answer

y(x) = e^x * cos(2x)

Answer

y(x) = e^x * sin(2x)

Answer

y(x) = e^(-x) * sin(2x)

Question 18

Determine whether the equation y'' + 2xy' + (x^2 + 1)y = 0 is homogeneous.

Accepted Answer

Yes

Answer

Cannot determine

Answer

None of the above

Answer

No

Question 19

Find the characteristic equation of the equation y'' - 4y' + 4y = 0.

Accepted Answer

r^2 - 4r + 4 = 0

Answer

r^2 + 4 = 0

Answer

r^2 + 4r + 4 = 0

Answer

r^2 - 4 = 0

Question 20

Which of the following substitutions is used in the method of reduction of order?

Accepted Answer

v(x) = y_1(x) * u(x)

Answer

v(x) = y_1(x) - y_2(x)

Answer

v(x) = y_1(x) + y_2(x)

Answer

v(x) = y_1'(x) * u(x)

Question 21

Dada la ecuación diferencial  y'' + xy' + y = 0, ¿qué método sería el más adecuado para encontrar una solución particular?

Accepted Answer

Método de Frobenius

Answer

Método de coeficientes indeterminados

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de reducción del orden

Question 22

¿Qué condición es indispensable para aplicar el método de reducción del orden a una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes no constantes?

Accepted Answer

Conocer una solución fundamental de la ecuación homogénea asociada

Answer

Que la ecuación diferencial sea homogénea

Answer

Que la ecuación diferencial sea no homogénea

Answer

Que los coeficientes sean funciones continuas

Question 23

Sabiendo que y₁(x) = x es una solución de la ecuación diferencial  y'' - 2xy' + 2y = 0, ¿cómo se expresaría la forma general de la segunda solución linealmente independiente y₂(x) al utilizar el método de reducción del orden?

Accepted Answer

y₂(x) = vx

Answer

y₂(x) = v + x

Answer

y₂(x) = v

Answer

y₂(x) = v/x

Question 24

Al aplicar el método de Frobenius a la ecuación diferencial  y'' + xy' + y = 0, ¿qué forma general tendrán las soluciones que se obtengan?

Accepted Answer

y(x) = xʳ Σ(aₙ xⁿ), donde r es una constante y Σ denota una serie

Answer

y(x) = x Σ(aₙ xⁿ), donde Σ denota una serie

Answer

y(x) = eʳˣ Σ(aₙ xⁿ), donde r es una constante y Σ denota una serie

Answer

y(x) = Σ(aₙ xⁿ), donde Σ denota una serie

Question 25

Al resolver la ecuación diferencial y'' - (1/x)y' + (1/x²)y = 0 mediante el método de Frobenius, ¿qué tipo de soluciones se obtendrían?

Accepted Answer

Dos soluciones linealmente independientes de la forma y(x) = xʳ Σ(aₙ xⁿ), donde r es una constante y Σ denota una serie

Answer

Una única solución de la forma y(x) = xʳ Σ(aₙ xⁿ), donde r es una constante y Σ denota una serie

Answer

Una solución de la forma y(x) = eʳˣ Σ(aₙ xⁿ), donde r es una constante y Σ denota una serie

Answer

Dos soluciones linealmente independientes de la forma y(x) = eʳˣ Σ(aₙ xⁿ), donde r es una constante y Σ denota una serie

Question 26

Si se sabe que y₁(x) = x² es una solución de la ecuación diferencial  y'' - (2/x)y' + (2/x²)y = 0, ¿cuál sería la segunda solución linealmente independiente y₂(x) que se obtendría al aplicar el método de reducción del orden?

Accepted Answer

y₂(x) = x² ln(x)

Answer

y₂(x) = 1/x

Answer

y₂(x) = x

Answer

y₂(x) = x²

Question 27

Para hallar la solución general de la ecuación diferencial  y'' + (x² + 1)y' + xy = sin(x), ¿cuál sería la secuencia correcta de pasos a seguir?

Accepted Answer

1. Resolver la ecuación homogénea asociada. 2. Encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. 3. Sumar las soluciones general y particular.

Answer

1. Encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea. 2. Resolver la ecuación homogénea asociada. 3. Sumar las soluciones particular y general.

Answer

1. Buscar una solución con el método de Frobenius. 2. Ajustar las constantes para que cumpla la ecuación no homogénea.

Answer

1. Resolver la ecuación no homogénea directamente. 2. Encontrar la solución general de la ecuación homogénea asociada.

Question 28

Considerando la ecuación diferencial  y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x), donde p(x) y q(x) son funciones continuas en un intervalo I, ¿qué se puede afirmar sobre la existencia y unicidad de las soluciones?

Accepted Answer

Existe una única solución en el intervalo I para cualquier condición inicial dada.

Answer

No se puede garantizar la existencia ni la unicidad de soluciones en el intervalo I.

Answer

La existencia y unicidad de soluciones dependen de la función f(x), no de p(x) y q(x).

Answer

Existen infinitas soluciones en el intervalo I para cualquier condición inicial dada.