Cono: Ecuación, Plano Tangente y Propiedades

Question 1

Calcular el ángulo que forma el plano tangente al cono x² + y² - z² = 0 en el punto (1, 1, √2) con el plano xz.

Accepted Answer

45°

Question 2

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un cono circular recto?

Accepted Answer

z² = x² + y²

Answer

z = x² + y

Answer

x² + y² - z² = 1

Question 3

Determinar el volumen del cono cuyo radio de la base es 3 y su altura es 4.

Accepted Answer

12π

Question 4

Calcular el área de la superficie total del cono con generatriz de longitud 5 y radio de la base 3.

Accepted Answer

30π

Question 5

¿Cuál es la proyección ortogonal del punto (2, 3, 4) sobre el cono x² + y² - z² = 0?

Accepted Answer

(2, 3, 0)

Answer

(0, 0, 4)

Question 6

Determinar si el plano 2x - y + 3z - 5 = 0 es tangente al cono x² + y² - z² = 1.

Accepted Answer

Sí

Question 7

Calcular la distancia del punto (1, 2, 3) al eje del cono con ecuación x² + y² - 4z² = 0.

Accepted Answer

3

Answer

4

Question 8

La ecuación general de un cono circular recto con vértice en el origen y eje en el eje z es:

Accepted Answer

z = sqrt(x^2 + y^2)

Answer

z = x^2 + y^2

Answer

z = sqrt(x^2 - y^2)

Answer

z = x^2 - y^2

Question 9

La intersección entre el cono z = sqrt(x^2 + y^2) y el plano z = 2 es:

Accepted Answer

Círculo de radio 2 en el plano z = 2

Answer

No hay intersección

Answer

Elipse en el plano z = 2

Answer

Hipérbola en el plano z = 2

Question 10

El volumen del cono con radio de base 4 y altura 3 es:

Accepted Answer

16π

Answer

32π

Answer

4π

Answer

8π

Question 11

El área de la superficie lateral del cono con generatriz 5 y radio de base 3 es:

Accepted Answer

30π

Answer

60π

Answer

15π

Answer

45π

Question 12

El ángulo entre la generatriz y el plano de la base de un cono con altura 4 y radio de base 3 es:

Accepted Answer

arctan(4/3)

Answer

30°

Answer

45°

Answer

arctan(3/4)

Question 13

El área de la base del cono con radio de base 5 es:

Accepted Answer

25π

Answer

50π

Answer

5π

Answer

10π

Question 14

Determina el vértice del cono cuya ecuación es: 3x² + 3y² - 5z² = 0.

Accepted Answer

(0, 0, 0)

Answer

(1, 1, 0)

Answer

(3, 3, 5)

Question 15

Calcula la longitud de la generatriz del cono cuya ecuación es: x² + 4y² = 4z².

Accepted Answer

√(21)

Answer

5

Answer

3

Answer

√(17)

Question 16

Un cono tiene un radio de base 'r' y una altura 'h'. ¿Cuál es el ángulo que forma la generatriz del cono con el plano de su base?

Accepted Answer

θ = arctan(r/h)

Answer

θ = arctan(r/2h)

Answer

θ = arctan(h/r)

Question 17

La ecuación general de un cono con vértice en el origen y eje coincidente con el eje z es:

Accepted Answer

x² + y² = k²z²

Answer

x² + y² = k²z

Answer

x² - y² = k²z²

Answer

x² + y² = k²

Question 18

Un cono con vértice en el punto (1, 2, 3) y eje que pasa por el punto (2, 4, 5) tiene como ecuación:

Accepted Answer

(x - 1)² + (y - 2)² = k²(z - 3)²

Answer

(x - 2)² + (y - 4)² = k²(z - 5)²

Answer

(x - 2)² + (y - 4)² = k²(z - 3)²

Answer

(x - 1)² + (y - 2)² = k²(z - 5)²

Question 19

La generatriz de un cono es:

Accepted Answer

Una recta que une un punto del círculo base con el vértice del cono.

Answer

Un plano tangente al cono.

Answer

El eje del cono.

Question 20

Un plano tangente a un cono:

Accepted Answer

Es un plano que contiene a la generatriz que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular al plano base.

Answer

Es paralelo al eje del cono.

Answer

Interseca al cono en dos puntos.

Question 21

Dado un cono con vértice (0, 0, 0) y ecuación x² + y² = 4z², ¿cuál es la ecuación del plano tangente en el punto (2, 2, 1)?

Accepted Answer

x + y - 2z = 2

Answer

x + y + 2z = 2

Answer

2x + 2y - z = 2

Answer

x - y + 2z = 2

Question 22

El vértice de un cono se define como:

Accepted Answer

El punto donde se intersectan todas las generatrices del cono.

Answer

El punto más alto del cono.

Answer

El centro de la base del cono.

Question 23

Dos conos son congruentes si:

Accepted Answer

Tienen la misma altura, el mismo ángulo de apertura y sus vértices coinciden.

Answer

Tienen la misma generatriz.

Answer

Tienen la misma base.

Question 24

Un cono circular recto se caracteriza por:

Accepted Answer

Tener una base circular y su eje perpendicular a dicha base.

Answer

Tener una base triangular.

Answer

Tener una base elíptica.

Answer

Tener un eje que no es perpendicular a la base.

Question 25

Un cono truncado se obtiene:

Accepted Answer

Al cortar un cono con un plano paralelo a su base.

Answer

Al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Answer

Al cortar un cono con un plano que contiene al vértice.

Answer

Al cortar un cono con un plano perpendicular a su base.

Question 26

En una aplicación práctica, la ecuación de un cono puede usarse para:

Accepted Answer

Modelar la forma de estructuras como embudos, tanques de almacenamiento o antenas parabólicas.

Answer

Calcular la velocidad de un objeto en caída libre.

Answer

Determinar la fuerza de un campo magnético.