Sistemas de Ecuaciones Diferenciales: Cuestionarios de Aprendizaje para Análisis Matemático I

Question 1

Define un sistema de ecuaciones diferenciales.

Accepted Answer

Un conjunto de ecuaciones que relacionan variables desconocidas mediante derivadas.

Answer

Un conjunto de ecuaciones algebraicas que relacionan una función desconocida con sus derivadas.

Answer

Un conjunto de ecuaciones que contienen integrales de funciones desconocidas.

Answer

Una sola ecuación que relaciona una función desconocida con su integral.

Question 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 
dx/dt = y + 2 
dy/dt = x - 1

Accepted Answer

x = t + C1, y = -t + C2

Answer

x = -t + C1, y = t + C2

Answer

x = t + C1, y = t + C2

Answer

x = -t + C1, y = -t + C2

Question 3

¿Qué tipo de sistema de ecuaciones diferenciales es: 
dx/dt - dy/dt = 0?

Accepted Answer

Lineal de primer orden

Answer

Lineal de segundo orden

Answer

No lineal de primer orden

Answer

No lineal de segundo orden

Question 4

Encuentra la solución general del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 
dx/dt = 2x + y 
dy/dt = x + 2y

Accepted Answer

x = C1e^3t + C2e^(-t), y = C1e^3t - C2e^(-t)

Answer

x = C1e^3t - C2e^(-t), y = C1e^3t + C2e^(-t)

Answer

x = C1e^2t + C2e^(-2t), y = C1e^2t - C2e^(-2t)

Answer

x = C1e^2t - C2e^(-2t), y = C1e^2t + C2e^(-2t)

Question 5

¿Cuál es la condición inicial necesaria para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden?

Accepted Answer

El valor del sistema en un instante de tiempo específico

Answer

Las derivadas del sistema en un instante de tiempo específico

Answer

Las integrales del sistema en un intervalo de tiempo específico

Answer

El valor y las derivadas del sistema en un instante de tiempo específico

Question 6

Determina si el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales es autónomo o no autónomo: 
dx/dt = y - x 
dy/dt = x + y

Accepted Answer

Autónomo

Answer

No autónomo

Question 7

Encuentra el punto crítico del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 
dx/dt = y - x^2 
dy/dt = x + y^2

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(1, 1)

Answer

(-1, -1)

Answer

No tiene puntos críticos

Question 8

Determina si el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales es homogéneo o no homogéneo: 
dx/dt = y + t 
dy/dt = x - t

Accepted Answer

No homogéneo

Answer

Homogéneo

Question 9

Define un sistema de ecuaciones diferenciales.

Accepted Answer

Conjunto de ecuaciones que relacionan una o más funciones desconocidas y sus derivadas.

Answer

Conjunto de ecuaciones que relacionan funciones desconocidas y sus integrales.

Answer

Conjunto de ecuaciones que relacionan funciones conocidas y sus derivadas.

Question 10

Identifica el tipo de sistema de ecuaciones diferenciales que tiene coeficientes constantes.

Accepted Answer

Sistema lineal

Answer

Sistema homogéneo

Answer

Sistema no lineal

Answer

Sistema autónomo

Question 11

¿Qué condición asegura la existencia y unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden?

Accepted Answer

Invertibilidad de la matriz Jacobiana

Answer

Linealidad de las ecuaciones

Answer

Carácter autónomo del sistema

Answer

Continuidad de la función

Question 12

Indica el tipo de sistema de ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes varían con el tiempo.

Accepted Answer

No autónomo

Answer

Autónomo

Answer

Lineal

Answer

Homogéneo

Question 13

Señala el ámbito de aplicación más común de los sistemas de ecuaciones diferenciales.

Accepted Answer

Modelado de fenómenos físicos, biológicos y económicos

Answer

Existencia garantizada de soluciones analíticas

Answer

Fácil resolución numérica

Question 14

Selecciona la ecuación diferencial que describe el movimiento de un proyectil bajo gravedad.

Accepted Answer

y'' = -g

Answer

y'''' = -g

Answer

y' = -gy

Answer

y''' = g

Question 15

¿Qué herramienta permite analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio en un sistema de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Matriz Jacobiana

Answer

Matriz Hessiana

Answer

Matriz de coeficientes

Question 16

¿Cuál de los siguientes métodos es más apropiado para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales?

Accepted Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Integración por partes

Answer

Regla de Cramer

Answer

Método de separación de variables

Question 17

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales es **incorrecta**?

Accepted Answer

Son sistemas de ecuaciones que solo pueden contener derivadas parciales.

Answer

Encuentran aplicaciones en el modelado de fenómenos dinámicos.

Answer

Pueden ser lineales o no lineales.

Question 18

Para que un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tenga una solución única, es necesario que:

Accepted Answer

El determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero.

Answer

El sistema sea homogéneo.

Answer

Las funciones de segundo miembro sean continuas.

Question 19

¿Cuál de las siguientes ecuaciones **no** es una ecuación diferencial parcial?

Accepted Answer

y'' - y = 0

Answer

w_ttt + w_xx = 0

Answer

v_xx + v_yy = 0

Answer

u_t + u_x = 0

Question 20

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver numéricamente sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Método de bisección

Answer

Método de Gauss-Jordan

Answer

Método de Newton

Question 21

Determina la solución general de la ecuación diferencial y' + y = 0:

Accepted Answer

y = Ce^(-x)

Answer

y = Ccos(x)

Answer

y = Cx

Answer

y = Csen(x)

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es **verdadera**?

Accepted Answer

Pueden exhibir un comportamiento caótico.

Answer

Siempre tienen soluciones analíticas.

Answer

Son más fáciles de resolver que los sistemas lineales.

Question 23

El método de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales por eliminación consiste en:

Accepted Answer

Eliminar una variable diferenciando y sustituyendo en la otra ecuación.

Answer

Resolver cada ecuación por separado.

Answer

Utilizar el método de variación de constantes.

Question 24

En el método de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales por sustitución, se busca:

Accepted Answer

Sustituir una variable en términos de la otra.

Answer

Eliminar una variable diferenciando y sustituyendo en la otra ecuación.

Answer

Aplicar el método de variación de constantes.

Answer

Resolver cada ecuación por separado.

Question 25

El factor integrante del sistema de ecuaciones diferenciales:

y' + 2xy = sen(x)
z' - y = 1

es:

Accepted Answer

e^(x^2)

Answer

1

Answer

x

Answer

e^(-x^2)

Question 26

El sistema de ecuaciones diferenciales:

y' = x + y
z' = x - y

tiene:

Accepted Answer

Un punto crítico en (0, 0).

Answer

No tiene puntos críticos.

Answer

Tres puntos críticos en (0, 0), (1, 1) y (-1, -1).

Answer

Dos puntos críticos en (0, 0) y (1, 1).

Question 27

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un sistema de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Un conjunto de ecuaciones que relacionan una o más funciones desconocidas con sus derivadas y otras funciones conocidas.

Answer

Un conjunto de ecuaciones que solo involucran funciones desconocidas.

Question 28

Dadas las condiciones iniciales $x(0) = 1$ e $y(0) = 2$, ¿cuáles son los valores de $x(1)$ e $y(1)$ para el sistema de ecuaciones diferenciales $\frac{dx}{dt} = 2x, \frac{dy}{dt} = -y$?

Accepted Answer

x(1) = 2e^(2), y(1) = 2e^(-1)

Answer

x(1) = 2e^(-1), y(1) = 2e^(2)

Answer

x(1) = 2e^(2), y(1) = 2

Answer

x(1) = 2, y(1) = 2e^(-1)

Question 29

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones que involucran:

Accepted Answer

Funciones incógnitas y sus derivadas respecto de una variable independiente

Answer

Ecuaciones lineales y no lineales

Answer

Funciones conocidas y sus integrales

Answer

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Question 30

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes, se puede utilizar el método de:

Accepted Answer

Ecuaciones matriciales

Answer

Eliminación de Gauss-Jordan

Answer

Sustitución

Answer

Integración por partes

Question 31

Para garantizar la existencia y unicidad de una solución en un sistema de ecuaciones diferenciales, debe cumplirse la condición:

Accepted Answer

Teorema de Picard-Lindelöf

Answer

Teorema del Valor Medio

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema de Fourier

Question 32

El sistema de ecuaciones diferenciales siguiente es un sistema lineal:

Accepted Answer

x' = 2x + y, y' = -x + y

Answer

x' = e^x, y' = x ln(y)

Answer

x' = x² + y², y' = xy

Answer

x' = y, y' = sen(x)

Question 33

La matriz asociada al sistema de ecuaciones diferenciales x' = Ax, donde A es una matriz constante, se llama:

Accepted Answer

Matriz Jacobiana

Answer

Matriz Hesiana

Answer

Matriz Laplaciana

Question 34

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo es:

Accepted Answer

Una combinación lineal de funciones propias

Answer

Una combinación lineal de autovalores

Answer

Una combinación lineal de vectores propios

Answer

Una combinación lineal de funciones base

Question 35

Para encontrar la solución particular de un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo, se puede utilizar el método de:

Accepted Answer

Variación de parámetros

Answer

Integración directa

Answer

Sustitución

Answer

Separación de variables

Question 36

Un sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento de un proyectil en un campo gravitatorio es conocido como:

Accepted Answer

Ecuaciones del movimiento

Answer

Ecuaciones de Navier-Stokes

Answer

Ecuaciones de Euler

Answer

Ecuaciones de Lagrange

Question 37

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden?

Accepted Answer

y' = x + y

Answer

y''' = x + 2y

Answer

y'''' = x - 3y

Answer

y" = x - y

Question 38

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos?

Accepted Answer

Método de eliminación de Gauss

Answer

Método de las diferencias finitas

Answer

Método de aproximaciones sucesivas

Answer

Método de integración

Question 39

Considera el sistema dx/dt = x^2 + y^2, dy/dt = x + y. ¿Cuál es el tipo de sistema?

Accepted Answer

No lineal

Answer

Sintético

Answer

Autorregresivo

Answer

Lineal homogéneo

Question 40

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales es verdadera?

Accepted Answer

Un sistema es estable si todos sus valores propios tienen parte real negativa.

Answer

Un sistema es estable si todos sus valores propios tienen parte real positiva.

Answer

Un sistema es estable si todos sus valores propios son cero.