Integrales de funciones complejas: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático II

Question 1

El orden de un polo aislado de f(z) en z = a es:

Accepted Answer

El máximo exponente de (z - a) en la expansión de Laurent alrededor de z = a.

Answer

El número de veces que f(z) se anula en z = a.

Answer

El coeficiente de (z - a) en la expansión de Laurent alrededor de z = a.

Question 2

La integral ∫[0,∞) e^(-x^2) dx se puede calcular mediante:

Accepted Answer

Integrales de contorno

Answer

Integrales de línea

Answer

Integrales triples

Answer

Integrales de superficie

Question 3

El punto singular de la función f(z) = (e^z - 1) / z es:

Accepted Answer

z = 0

Answer

z = 1

Answer

z = ∞

Answer

z = i

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

Accepted Answer

Todas las funciones continuas en el plano complejo son holomorfas.

Answer

Todas las funciones holomorfas son continuas en el plano complejo.

Answer

La derivada de una función holomorfa es holomorfa.

Question 5

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D y γ una curva cerrada simple en D. Según el Teorema de Cauchy, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

Accepted Answer

La integral de f(z) a lo largo de γ es cero.

Answer

La integral de f(z) a lo largo de γ es siempre diferente de cero.

Answer

La integral de f(z) a lo largo de γ es siempre un número real.

Answer

La integral de f(z) a lo largo de γ es igual al valor de f(z) en un punto cualquiera de γ.

Question 6

Sea f(z) una función analítica con un polo de orden m en z = a. Proporciona la fórmula para calcular el residuo de f(z) en z = a:

Accepted Answer

(1/(m-1)!) * lim(z→a) d^(m-1)/dz^(m-1) [(z-a)^m * f(z)]

Answer

lim(z→a) (z-a)^m * f(z)

Answer

(1/(m-1)!) * lim(z→a) d^(m)/dz^(m) [(z-a)^m * f(z)]

Question 7

¿Cuál de las siguientes funciones NO es analítica en todo el plano complejo?

Accepted Answer

1/z

Answer

cos(z)

Answer

z^2

Answer

e^z

Question 8

¿Cuál de los siguientes puntos es una singularidad esencial de la función f(z) = e^(1/z)?

Accepted Answer

z = 0

Answer

z = 1

Answer

z = -1

Answer

z = i

Question 9

Calcula la integral de f(z) = 1/z a lo largo de la circunferencia |z-2i| = 1, recorrida en sentido positivo.

Accepted Answer

2πi

Answer

πi

Answer

0

Question 10

Si f(z) tiene un polo simple en z = a, ¿cuál es la fórmula para calcular el residuo de f(z) en z = a?

Accepted Answer

Res(f,a) = lim_(z->a) (z-a)f(z)

Answer

Res(f,a) = f(a)

Answer

Res(f,a) = lim_(z->a) f(z)

Question 11

¿Cuál es el valor de la integral de f(z) = z² a lo largo de cualquier camino cerrado en el plano complejo?

Accepted Answer

0

Answer

Depende del camino

Answer

2πi

Answer

No está definida

Question 12

Utiliza el Teorema del Residuo para calcular la integral impropia real: ∫(-∞ a ∞) dx / (x²+1)²

Accepted Answer

π/2

Answer

π

Answer

0

Answer

2π

Question 13

La función f(z) = 1/(z-1)(z-2) tiene dos polos simples. ¿Cuál es la suma de los residuos de f(z) en estos polos?

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Question 14

Calcula la integral de la función ?(?) = 1/(?−2) sobre el contorno de la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.

Accepted Answer

2πi

Answer

πi

Answer

-2πi

Answer

0

Question 15

Determina el valor de la integral ∫[Γ] (?^2) dz, donde Γ es el segmento del eje real de −1 a 1.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

i

Answer

1/3

Question 16

Calcula la integral de la función ?(?) = e^(?+1) sobre el contorno rectangular con vértices en los puntos −1, −1+2i, 1 y 1+2i.

Accepted Answer

0

Answer

4i

Answer

-4

Answer

4

Question 17

Determina el valor de la integral ∫[Γ] (1/(?^2+1)) dz, donde Γ es el círculo de radio 2 centrado en el origen, en sentido antihorario.

Accepted Answer

0

Answer

-2πi

Answer

4πi

Answer

2πi

Question 18

Calcula la integral de la función ?(?) = 1/(?−i) sobre el semicírculo superior de radio 1 centrado en el origen, desde el punto −1 hasta el punto 1.

Accepted Answer

πi

Answer

-2πi

Answer

0

Answer

-πi

Question 19

Determina el valor de la integral ∫[Γ] (sen(?)) dz, donde Γ es el segmento del eje imaginario de −i a i.

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Answer

i

Question 20

Calcula la integral de la función ?(?) = 1/(?^2−1) sobre el contorno del cuadrado con vértices en los puntos −1, 1, 1+2i y −1+2i.

Accepted Answer

2πi

Answer

-2πi

Answer

πi

Answer

0

Question 21

Determina el valor de la integral ∫[Γ] (cos(?)) dz, donde Γ es el arco del círculo de radio 1 centrado en el origen, desde el punto 1 hasta el punto −1.

Accepted Answer

0

Answer

-2i

Answer

πi

Answer

2i

Question 22

Calcula la integral de la función ?(?) = 1/? sobre el contorno de la parábola ? = ?^2 de −1 a 1.

Accepted Answer

πi

Answer

0

Answer

2πi

Answer

-πi

Question 23

Determina el valor de la integral ∫[Γ] (exp(−?)) dz, donde Γ es el segmento del eje real de 0 a 10.

Accepted Answer

-1

Answer

-10

Answer

1

Answer

0