Interpolación y aproximación de funciones: cuestionarios interactivos

Question 1

En la aproximación mediante series de Fourier, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

Accepted Answer

El número de términos requeridos para una aproximación precisa es siempre finito.

Answer

La suma de los coeficientes de Fourier de una función es igual al valor medio de la función en el intervalo de aproximación.

Question 2

¿Cuál de las siguientes es una condición necesaria para que una función pueda ser representada mediante una serie de Fourier?

Accepted Answer

Debe ser periódica.

Answer

Debe ser continua en todo su dominio.

Answer

Debe ser diferenciable.

Question 3

El método de interpolación de diferencias finitas:

Accepted Answer

utiliza diferencias hacia atrás o hacia adelante para aproximar el valor de la función en un punto intermedio.

Answer

es más preciso que la interpolación de Lagrange

Answer

solo es aplicable a intervalos regulares

Answer

siempre requiere conocer las derivadas de la función

Question 4

La suma de los coeficientes de la expansión de Fourier de la función f(x) = x^2 en el intervalo [-π, π] es:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 5

El valor de la transformada de Fourier de la función f(x) = e^(-ax), donde a es una constante positiva, es:

Accepted Answer

1 / (a^2 + ω^2)

Answer

a / (a^2 + ω^2)

Answer

-1 / (a^2 + ω^2)

Answer

-a / (a^2 + ω^2)

Question 6

Sea f(x) = x^2 + 2x - 3. ¿Cuál es el polinomio de interpolación de grado 1 que interpola a f en los puntos x = 0 y x = 1?

Accepted Answer

x + 1

Answer

2x + 1

Answer

x - 1

Answer

2x - 1

Question 7

Estimar el error de aproximación al utilizar el polinomio de Taylor de grado 2 para aproximar f(x) = e^x en x = 0.1.

Accepted Answer

Aproximadamente 0.00046

Answer

Aproximadamente 0.046

Answer

Aproximadamente 0.000046

Answer

Aproximadamente 0.0046

Question 8

Identificar la función k(x,y,h) utilizada en el método de Runge-Kutta de orden 4 para resolver la ecuación diferencial y' = f(x,y).

Accepted Answer

k(x,y,h) = h * f(x + h/2, y + k1/2)

Answer

k(x,y,h) = h * f(x, y + h/2)

Answer

k(x,y,h) = h * f(x - h/2, y + k1/2)

Answer

k(x,y,h) = h * f(x + h/2, y - k1/2)

Question 9

¿Qué propiedad preserva la interpolación spline cúbica?

Accepted Answer

Continuidad de primeras y segundas derivadas

Answer

Continuidad de segundas derivadas

Answer

No preserva ninguna continuidad

Answer

Continuidad de primeras derivadas

Question 10

Sea f(x) una función definida en [0, π/2]. Si se utiliza un polinomio de Taylor de orden 3 para aproximar f(x) en x = π/4, ¿cuál es el término de error?

Accepted Answer

R3(x) = f''''(ξ)/4!, donde ξ es un número entre 0 y π/2.

Answer

R3(x) = f(ξ)/0!

Answer

R3(x) = f'''(ξ)/3!

Answer

R3(x) = f''(ξ)/2!

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el teorema de Fourier es correcta?

Accepted Answer

Cualquier función periódica y acotada en un intervalo finito puede ser aproximada por una serie de Fourier.

Answer

El teorema de Fourier solo es aplicable a funciones continuas.

Answer

Las series de Fourier siempre convergen uniformemente.

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la aproximación de spline es verdadera?

Accepted Answer

Una spline es una función continua y diferenciable por partes.

Answer

Las splines no pueden ser utilizadas para aproximar funciones discontinuas.

Answer

Las splines siempre son polinomios.

Question 13

Sea una función f(x) con los siguientes puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2). ¿Cuál es la fórmula para el polinomio de interpolación de Lagrange de grado 2 que pasa por estos puntos?

Accepted Answer

(y0*(x-x1)*(x-x2))/(x0-x1)*(x0-x2) + (y1*(x-x0)*(x-x2))/(x1-x0)*(x1-x2) + (y2*(x-x0)*(x-x1))/(x2-x0)*(x2-x1)

Answer

(y0*(x-x2))/(x0-x2) + (y1*(x-x0))/(x1-x0) + (y2*(x-x1))/(x2-x1)

Question 14

¿Cuál es el grado del polinomio de aproximación de Fourier de una función periódica con periodo T?

Accepted Answer

Infinito

Answer

T

Answer

La mitad del periodo

Answer

El doble del periodo

Question 15

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la convergencia de las series de Fourier es correcta?

Accepted Answer

Convergen uniformemente para funciones continuas y con un número finito de discontinuidades de salto finito.

Answer

Convergen uniformemente para todas las funciones continuas.

Question 16

La transformada de Fourier de una función exponencialmente decadente f(x) = e^(-ax) es:

Accepted Answer

1/(a+jw)

Answer

a/(a+jw)

Answer

jw/(a+jw)

Question 17

¿Qué teorema garantiza que una función f(x) puede ser reconstruida a partir de su transformada de Fourier?

Accepted Answer

Teorema de inversión de Fourier

Answer

Teorema de convolución

Answer

Teorema de Parseval

Question 18

Sea f(x) una función real y par. ¿Cómo se simplifica su transformada de Fourier?

Accepted Answer

F(w) = F(-w)

Answer

F(w) = jwF(w)

Answer

F(w) = -F(-w)

Answer

F(w) = 0

Question 19

Si f(x) es una función continua en el intervalo [-1,1], ¿cuál es la expresión que acota el error máximo |f(x) - P(x)| al aproximar f(x) mediante el polinomio de Taylor de grado n centrado en x0 = 0?

Accepted Answer

M(n+1)/n! * |x-x0|^n+1

Answer

M(n+1)/n! * |x-x0|^n

Answer

M(n)/(n+1)! * |x-x0|^n+1

Answer

M(n)/n! * |x-x0|^n

Question 20

Determina el coeficiente a0 de la serie de Fourier para la función f(x) = x en el intervalo [-π, π].

Accepted Answer

0

Answer

-π

Answer

1

Answer

π

Question 21

¿Cuántos términos de la serie ∑(n=1)^∞ (1/n²) se necesitan para que su suma sea menor que 0.01?

Accepted Answer

101

Answer

200

Answer

100

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los polinomios de interpolación es falsa?

Accepted Answer

El grado del polinomio de interpolación siempre es menor que el número de puntos de interpolación.

Answer

El error de interpolación es cero en los puntos de interpolación.

Answer

Los polinomios de interpolación pueden oscilar entre los puntos de interpolación.

Question 23

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación utiliza funciones lineales?

Accepted Answer

Interpolación lineal

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Aproximación por mínimos cuadrados

Question 24

Sea P2(x) el polinomio de Lagrange de grado 2 que interpola a f(x) = x^2 en los puntos x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2. Calcular el error de interpolación en x = 0,5.

Accepted Answer

-0,125

Answer

-1

Answer

-0,5

Answer

-0,25

Question 25

Dada la función f(x) = cos(x) en el intervalo [-π, π], encontrar el mejor polinomio de aproximación de grado 4 mediante el método de mínimos cuadrados. El polinomio de aproximación debe estar en la forma: P4(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + a4*x^4.

Accepted Answer

P4(x) = 1 - (x^2)/2 + (x^4)/24

Answer

P4(x) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/24

Answer

P4(x) = 1 - (x^2)/2 - (x^4)/24

Answer

P4(x) = 1 + (x^2)/2 + (x^4)/24

Question 26

Consideremos la función f(x) definida como f(x) = 0 si x < 0, f(x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = 2 si x > 1. Determinar el coeficiente a0 en la serie de Fourier de f(x). La serie de Fourier debe estar en la forma: f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nπx) + bn*sen(nπx)], donde n es un número entero positivo.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

2

Question 27

La fórmula de Newton-Cotes se emplea para aproximar:

Accepted Answer

Integrales definidas

Answer

Raíces de ecuaciones

Answer

Derivadas

Question 28

En el contexto de la interpolación, ¿qué función cumplen los nudos?

Accepted Answer

Puntos donde se conoce el valor de la función

Answer

Puntos donde la función cambia de concavidad

Answer

Puntos donde la función no está definida

Question 29

¿Qué método de interpolación destaca por su precisión y estabilidad incluso con un elevado número de puntos de interpolación?

Accepted Answer

Interpolación de Spline

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación lineal

Question 30

La serie de Fourier de una función periódica f(x) sirve para:

Accepted Answer

Aproximar f(x) mediante una suma de funciones sinusoidales y cosinusoidales

Answer

Encontrar la derivada de f(x)

Answer

Calcular la integral de f(x)

Question 31

El cálculo de los coeficientes de Fourier para una función periódica f(x) implica el uso de:

Accepted Answer

Integrales definidas

Answer

Sumas finitas

Answer

Derivadas

Answer

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Question 32

En comparación con la interpolación de Lagrange, la interpolación de Hermite se distingue por:

Accepted Answer

Incorporar información sobre las derivadas de la función en los puntos de interpolación

Answer

Ser más eficiente computacionalmente

Answer

Ser siempre más precisa

Question 33

Si se emplea la interpolación de Lagrange para aproximar una función con muchos puntos de interpolación, ¿qué problema potencial puede surgir?

Accepted Answer

El polinomio de interpolación puede presentar oscilaciones excesivas

Answer

El polinomio puede no ser único

Answer

El cálculo del polinomio puede ser muy lento

Question 34

Para aproximar la función f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π] mediante un polinomio de interpolación de grado 2, ¿cuáles son los puntos de interpolación óptimos para minimizar el error de interpolación?

Accepted Answer

x = 0, x = π/2, x = π

Answer

x = 0, x = π/6, x = π/3

Answer

x = 0, x = π/3, x = 2π/3

Answer

x = 0, x = π/4, x = π

Question 35

El error de interpolación de un polinomio de grado n que interpola n+1 puntos:

Accepted Answer

Es cero en los puntos de interpolación, pero no necesariamente cero en otros puntos del intervalo.

Answer

Es cero en todos los puntos del intervalo.

Answer

Es siempre positivo en todo el intervalo.

Question 36

La serie de Fourier de una función periódica f(x) con periodo T es:

Accepted Answer

Una suma infinita de términos que incluyen senos y cosenos con frecuencias múltiplos de 1/T.

Answer

Una suma finita de términos que incluyen senos y cosenos con frecuencias múltiplos de 1/T.

Answer

Una suma infinita de términos que incluyen solo senos con frecuencias múltiplos de 1/T.

Question 37

Se quiere aproximar la función f(x) = x^2 en el intervalo [-1, 1] mediante un polinomio de interpolación de grado 3. ¿Cuál es el valor del coeficiente del término de grado 3 del polinomio?

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

1

Answer

-1

Question 38

Para que una función f(x) sea desarrollable en serie de Fourier, debe cumplir la condición de Dirichlet, la cual establece que:

Accepted Answer

f(x) debe ser periódica, acotada y tener un número finito de discontinuidades de salto en un periodo.

Answer

f(x) debe ser continua y derivable en todo su dominio.

Question 39

¿Cuál de los siguientes métodos NO es un método de interpolación?

Accepted Answer

Método de mínimos cuadrados

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación polinomial

Answer

Interpolación de Lagrange

Question 40

La aproximación mediante una serie de Fourier es:

Accepted Answer

Una aproximación global, válida en todo el dominio de la función.

Answer

Una aproximación local, válida solo en un punto específico del dominio.

Answer

Una aproximación exacta, que coincide con la función original en todo el dominio.