Valores y vectores propios: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático II

Question 1

Si A es una matriz cuadrada y B = A⁻¹, entonces los autovalores de B son:

Accepted Answer

Los inversos de los de A

Answer

Los mismos que los de A

Answer

Los conjugados complejos de los de A

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Question 2

¿Cuál de los siguientes vectores es un vector propio de la matriz [[3, 1], [-1, 2]]?

Accepted Answer

[(1, 1)]

Answer

[(0, 1)]

Answer

[(2, 1)]

Answer

[(1, 0)]

Question 3

¿En qué condiciones una matriz es diagonalizable?

Accepted Answer

Si tiene un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes.

Answer

Si es una matriz cuadrada.

Answer

Si todos sus valores propios son reales.

Question 4

¿Cuál es el orden de la matriz diagonalizadora correspondiente a la matriz [[1, 2], [-1, 1]]?

Accepted Answer

2x2

Answer

3x3

Answer

1x1

Question 5

¿Qué propiedad tienen los vectores propios de una matriz ortogonal?

Accepted Answer

Son ortogonales entre sí.

Answer

Tienen la misma longitud.

Answer

Son paralelos entre sí.

Question 6

¿Qué información proporciona el vector propio asociado al valor propio dominante?

Accepted Answer

La dirección del cambio más rápido.

Answer

La dirección de la estabilidad.

Answer

La dirección del cambio más lento.

Answer

La dirección de la perpendicularidad.

Question 7

Sea **A** una matriz cuadrada. El conjunto de todos los valores propios de **A** se conoce como:

Accepted Answer

Espectro de **A**

Answer

Determinante de **A**

Answer

Matriz adjunta de **A**

Answer

Polinomio característico de **A**

Question 8

Dados los valores propios distintos λ1 y λ2 de una matriz cuadrada **A**, ¿cuántos vectores propios linealmente independientes existen para **A**?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

El número de vectores propios depende del tamaño de **A**

Question 9

Una matriz cuadrada **A** es diagonalizable si y sólo si:

Accepted Answer

Tiene un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes.

Answer

Es simétrica

Answer

Tiene una traza distinta de cero

Question 10

Sea **A** una matriz cuadrada. Si **A** tiene un valor propio complejo, entonces:

Accepted Answer

También tiene un valor propio conjugado complejo.

Answer

Solo puede tener valores propios reales.

Answer

Solo puede tener valores propios imaginarios.

Answer

No puede tener vectores propios.

Question 11

El polinomio característico de una matriz **A** es:

Accepted Answer

El determinante de **A** - λ**I**

Answer

La traza de **A** + λ**I**

Answer

La traza de **A** - λ**I**

Answer

El determinante de **A** + λ**I**

Question 12

Un conjunto de vectores propios de una matriz **A** forma:

Accepted Answer

Un subespacio invariante de **A**

Answer

Un grupo

Answer

Un álgebra de Lie

Answer

Un espacio vectorial

Question 13

Relación entre valores propios y vectores propios:

Accepted Answer

Ax = λx para algún vector propio x

Answer

x es un vector nulo para algún valor propio λ

Answer

A^2x = λx para algún vector propio x

Answer

A^-1x = λx para algún vector propio x

Question 14

Propiedad de los valores propios de una matriz simétrica real:

Accepted Answer

Todos sus valores propios son reales

Answer

Todos sus valores propios son mayores que 0

Answer

Tiene al menos un valor propio igual a 0

Answer

Puede tener valores propios complejos

Question 15

Definición de polinomio característico:

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

det(A + λI)

Answer

λ^n - a1λ^(n-1) - ... - an

Answer

A^n - λI

Question 16

Propiedad de matrices conmutativas:

Accepted Answer

Tienen los mismos vectores propios

Answer

Tienen valores propios distintos

Answer

Tienen el mismo rango

Answer

Son siempre diagonalizables

Question 17

Indica qué propiedad comparten dos matrices similares.

Accepted Answer

Tienen los mismos valores propios.

Answer

Son diagonalizables.

Answer

Tienen los mismos vectores propios.

Answer

Tienen el mismo rango.

Question 18

Enuncia el teorema espectral.

Accepted Answer

Toda matriz puede ser diagonalizada o reducida a la forma canónica de Jordan.

Answer

Tiene al menos un valor propio distinto de cero.

Answer

Es invertible si y solo si sus valores propios son distintos de cero.

Question 19

¿Qué tipo de matriz tiene todos sus valores propios iguales a cero?

Accepted Answer

Matriz nula

Answer

Matriz simétrica

Answer

Matriz diagonalizable

Answer

Matriz triangular

Question 20

Sea A una matriz cuadrada. Si det(A) = 0, ¿qué afirmación es correcta?

Accepted Answer

A tiene al menos un valor propio nulo

Answer

A es diagonalizable

Answer

A es invertible

Answer

A es simétrica

Question 21

Dado una matriz A de orden 2x2 con valores propios λ₁ y λ₂, ¿cuál es el determinante de A?

Accepted Answer

λ₁λ₂

Answer

λ₁ + λ₂

Answer

λ₁/λ₂

Answer

λ₁ - λ₂

Question 22

La traza de una matriz A, que es la suma de sus valores propios, es un invariante de la matriz.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Answer

Verdadero, pero solo si A es diagonalizable

Answer

Verdadero, pero solo si A es simétrica

Question 23

Una matriz A es diagonalizable si tiene un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Solo si A es simétrica

Answer

Solo si A tiene n valores propios distintos

Answer

Falso

Question 24

Si A es una matriz simétrica, entonces sus vectores propios son ortogonales entre sí.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Solo si A es diagonalizable

Answer

Falso

Answer

Solo si A tiene valores propios distintos

Question 25

Los valores propios de una matriz siempre son números reales.

Accepted Answer

Falso

Answer

Solo si la matriz es diagonalizable

Answer

Verdadero

Answer

Solo si la matriz es simétrica

Question 26

¿Cuál de las siguientes matrices no tiene valores propios reales?

Accepted Answer

[[1, 2i], [-2i, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[2, -1], [1, 2]]

Question 27

Sea A una matriz de orden 3. Si A tiene tres valores propios distintos, ¿cuántos vectores propios linealmente independientes tiene A?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Question 28

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO está relacionada con los valores propios y vectores propios?

Accepted Answer

Análisis de funciones

Answer

Vibraciones mecánicas

Answer

Análisis de componentes principales

Answer

Procesamiento de señales

Question 29

Sea A una matriz de orden n. Si A tiene un valor propio dominante, ¿qué se puede decir sobre la convergencia del método de potencias para calcular el vector propio correspondiente?

Accepted Answer

Converge rápidamente

Answer

Converge lentamente

Answer

No converge

Answer

Diverge

Question 30

El polinomio característico de una matriz A es:

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

det(A) - λ^n

Answer

λ^n - det(A)

Answer

λ^n + det(A)

Question 31

Sea A una matriz con valores propios λ1 y λ2. Si λ1 es el valor propio dominante, entonces:

Accepted Answer

La dirección de los vectores propios asociados a λ1 determina la dirección de los vectores propios de A

Answer

La dirección de los vectores propios asociados a λ2 determina la dirección de los vectores propios de A

Question 32

Sea A una matriz simétrica. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos es siempre un conjunto de vectores propios de A?

Accepted Answer

Los vectores propios de A

Answer

Los vectores nulos

Answer

Los autovectores de A

Answer

Los vectores unitarios

Question 33

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los valores propios de una matriz ortogonal es cierta?

Accepted Answer

Siempre son iguales a ±1

Answer

Siempre son mayores que 1

Answer

Dependen del tamaño de la matriz

Answer

Siempre son menores que 1

Question 34

Sea A una matriz positiva definida. ¿Cuál de los siguientes es un valor propio de A?

Accepted Answer

Un número real positivo

Answer

Cero

Answer

Un número real negativo

Answer

Un número complejo

Question 35

Sea A una matriz con valores propios distintos. ¿Cuál es la multiplicidad geométrica del valor propio λ1?

Accepted Answer

La dimensión del subespacio propio asociado a λ1

Answer

El número de veces que λ1 aparece como valor propio

Answer

La suma de las multiplicidades algebraicas de λ1

Question 36

Sea A una matriz cuadrada. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **FALSA** sobre los valores propios de A?

Accepted Answer

Los valores propios de A siempre son números reales.

Answer

Los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica de A.

Answer

Los valores propios de A pueden ser complejos.

Question 37

Un vector propio de una matriz A es un vector no nulo que, al ser multiplicado por A, resulta en un múltiplo escalar de sí mismo. ¿Cuál es ese múltiplo escalar?

Accepted Answer

El valor propio asociado al vector propio.

Answer

La traza de A.

Answer

La inversa de A.

Answer

El determinante de A.

Question 38

Una matriz A es diagonalizable si y solo si:

Accepted Answer

A tiene n vectores propios linealmente independientes, donde n es el orden de A.

Answer

A es simétrica.

Answer

A tiene n valores propios distintos.

Question 39

Considera una matriz A con valores propios λ1 y λ2. ¿Cuál es el valor propio de la matriz A^2?

Accepted Answer

λ1^2 y λ2^2

Answer

λ1 / λ2

Answer

λ1 * λ2

Answer

λ1 + λ2

Question 40

Sea A una matriz 3x3 con valores propios λ1, λ2 y λ3. ¿Cuál es el determinante de A?

Accepted Answer

λ1 * λ2 * λ3

Answer

λ1 * λ2 + λ2 * λ3 + λ3 * λ1

Answer

λ1 + λ2 + λ3

Answer

λ1^2 + λ2^2 + λ3^2

Question 41

La ecuación característica de una matriz A es p(λ) = λ^2 - 5λ + 6 = 0. Encuentra los valores propios de A.

Accepted Answer

λ1 = 2, λ2 = 3

Answer

λ1 = 5, λ2 = -1

Answer

λ1 = 1, λ2 = 6

Answer

λ1 = -2, λ2 = -3

Question 42

Sea A una matriz 2x2 con valores propios λ1 = 1 y λ2 = -2. ¿Cuál es la traza de A?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

2

Answer

-2

Question 43

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO se relaciona directamente con los conceptos de valores propios y vectores propios?

Accepted Answer

Cálculo de integrales definidas.

Answer

Diagonalización de matrices.

Answer

Análisis de estabilidad de sistemas lineales.

Answer

Análisis de vibraciones en estructuras.

Question 44

Un sistema dinámico lineal descrito por la ecuación x' = Ax, donde A es una matriz constante, es estable si y solo si:

Accepted Answer

Todos los valores propios de A tienen parte real negativa.

Answer

Todos los valores propios de A son positivos.

Answer

Todos los valores propios de A son reales.

Question 45

Se desea encontrar las frecuencias naturales de vibración de un sistema mecánico. ¿Qué concepto matemático es fundamental para este problema?

Accepted Answer

Valores propios de la matriz de rigidez del sistema.

Answer

Vectores propios de la matriz de rigidez del sistema.

Answer

Determinante de la matriz de rigidez del sistema.