Geometría del espacio: Ecuaciones de planos y rectas

Question 1

¿Cuál es la distancia mínima entre la recta x = 1, y = 2 - t, z = t y el plano 2x + y - z = 5?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

4

Answer

2

Question 2

¿Cuáles de las siguientes condiciones son necesarias para que tres puntos sean colineales?

Accepted Answer

El vector que une el primer y segundo punto es paralelo al vector que une el segundo y tercer punto, y viceversa.

Answer

La distancia entre el primer y tercer punto es menor que la suma de las distancias entre el primero y segundo y el segundo y tercero.

Answer

El producto punto de los dos vectores es cero.

Question 3

¿Cuál es la distancia entre el punto (1, 2, -1) y la recta dada por las ecuaciones paramétricas x = t, y = -t, z = 2?

Accepted Answer

v6

Answer

4v6

Answer

3v6

Answer

2v6

Question 4

Determina el vector director del plano que contiene a los puntos P(1, 2, -1), Q(3, 0, 1) y R(0, 1, 2).

Accepted Answer

(2, -2, 3)

Answer

(3, 0, 1)

Answer

(0, 1, 2)

Answer

(1, 2, -1)

Question 5

Dada la ecuación paramétrica de una recta x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t, ¿cuál es el vector director de la recta?

Accepted Answer

(1, -1, 2)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(1, 1, 2)

Answer

(-1, 1, 2)

Question 6

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -1, 3) y tiene como vector director v = (1, 2, -1).

Accepted Answer

x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 3 - t

Answer

x = 2 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + t

Answer

x = -2 + t, y = 1 - 2t, z = 3 + t

Question 7

Hallar la distancia entre la recta r: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t y el punto (2, 3, 4).

Accepted Answer

√21

Answer

3√2

Answer

5

Question 8

Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 0, 1), (0, 2, 3) y (1, 1, 0).

Accepted Answer

x + 2y - z + 1 = 0

Answer

x - 2y + z - 1 = 0

Answer

2x + y - z + 2 = 0

Answer

2x - y + 3z - 2 = 0

Question 9

Calcula el vector director de la recta que pasa por los puntos A(2, -1, 3) y B(4, 1, 7).

Accepted Answer

(2, 2, 4)

Answer

(2, -2, 4)

Answer

(1, 2, 4)

Answer

(2, 1, 4)

Question 10

Calcula el volumen del tetraedro formado por los puntos A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0) y D(0, 0, 1).

Accepted Answer

1/6

Answer

1/2

Answer

1

Answer

1/3

Question 11

Determina si los planos π1: 2x + y - z + 3 = 0 y π2: x - 2y + 3z - 5 = 0 son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos.

Accepted Answer

Perpendiculares

Answer

Secantes

Answer

Paralelos

Answer

Coincidentes

Question 12

Calcula la distancia entre la recta r1: x = 2 + t, y = 3 - t, z = 1 + 2t y la recta r2: x = 1 + 2s, y = 2 - s, z = 3 + s.

Accepted Answer

2√2

Answer

2

Answer

4

Answer

√2

Question 13

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela al vector director v = <2, -1, 3>

Accepted Answer

x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + 3t

Answer

x = 3 + 2t, y = 2 - 3t, z = 1 - t

Answer

x = 2 + t, y = 1 - 2t, z = 3 - 3t

Answer

x = 1 - 2t, y = 2 + t, z = 3 + 3t

Question 14

¿Cuál es el ángulo entre la recta r: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t y el plano P: 2x - y + z = 5?

Accepted Answer

cos⁻¹(1/√14)

Answer

π/4

Answer

cos⁻¹(1/√2)

Answer

π/3

Question 15

Determina si la recta r: x = 2 + t, y = 1 - 2t, z = 3 + t y el plano P: x - y + 2z = 1 son perpendiculares.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

No se puede determinar

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Falso

Question 16

Considera la recta r: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + 3t y el plano P: 2x + y - z = 5. ¿Existe algún punto de intersección entre r y P?

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Falso

Answer

No se puede determinar

Question 17

Encuentra la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P(2, 1, 3) y tiene como vector director (1, 2, -1).

Accepted Answer

x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 - t

Answer

x = 2 - t, y = 1 - 2t, z = 3 + t

Answer

x = 2 + 2t, y = 1 + t, z = 3 - t

Answer

x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 - t

Question 18

Determina la posición relativa entre el plano 2x + 3y - z = 6 y la recta x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t.

Accepted Answer

Secantes

Answer

Perpendiculares

Answer

Paralelas

Answer

Coincidentes

Question 19

Calcula la distancia entre el punto A(2, 3, 1) y el plano 3x - 2y + z = 5.

Accepted Answer

1

Answer

7

Answer

3

Answer

5

Question 20

Encuentra la proyección ortogonal del punto A(2, 3, 1) sobre el plano 2x - y + z = 5.

Accepted Answer

(5/3, 11/3, 1)

Answer

(2, 3, 0)

Answer

(8, 9, 1)

Answer

(5, 10, 1)

Question 21

Dada la recta r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1), determina su ecuación vectorial.

Accepted Answer

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)

Answer

(x, y, z) = (1, 3, 2) + t(1, 2, -1)

Answer

(x, y, z) = (3, 2, 1) + t(1, 1, -1)

Answer

(x, y, z) = (2, 1, 3) + t(1, 2, -1)

Question 22

Calcula la distancia entre la recta r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 2) y el punto P(1, 2, 3).

Accepted Answer

√14

Answer

√35

Answer

√21

Answer

√28

Question 23

Determina un vector director del plano π: 2x - y + 3z = 6.

Accepted Answer

(2, -1, 3)

Answer

(3, -1, 2)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(-2, 1, -3)

Question 24

Determina si las rectas r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(2, 3, 4) y s: (x, y, z) = (2, 2, 2) + t(1, 1, 1) son coplanarias y no coincidentes.

Accepted Answer

Sí

Answer

Secantes

Answer

Paralelas

Answer

No

Question 25

Dada la ecuación del plano 2x + 3y - z = 6, ¿cuál es el vector normal a este plano?

Accepted Answer

(2, 3, -1)

Answer

(6, 3, -1)

Answer

(1, 3, -2)

Answer

(2, 3, 1)

Question 26

Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3), (0, 1, 2) y (2, 0, 1).

Accepted Answer

x + y + z = 6

Answer

x - y + z = 0

Answer

2x + y - z = 3

Answer

x + 2y - z = 1

Question 27

La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y tiene vector director (2, 1, -1) es:

Accepted Answer

(1, 2, 3) + t(2, 1, -1)

Answer

(2, 1, -1) + t(1, 2, 3)

Answer

(1, 2, 3) + t(1, 2, 3)

Answer

(2, 1, -1) + t(2, 1, -1)

Question 28

Determine la posición relativa de las rectas r: (1, 2, 3) + t(2, 1, -1) y s: (0, 1, 2) + s(1, 1, 1).

Accepted Answer

Las rectas se cruzan.

Answer

Las rectas son coincidentes.

Answer

Las rectas son paralelas.

Answer

Las rectas son perpendiculares.

Question 29

Dada la recta r: (1, 2, 3) + t(2, 1, -1) y el plano π: x + y + z = 6, ¿cuál es la posición relativa entre la recta y el plano?

Accepted Answer

La recta corta al plano.

Answer

La recta es perpendicular al plano.

Answer

La recta está contenida en el plano.

Answer

La recta es paralela al plano.

Question 30

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al plano 2x + 3y - z = 6.

Accepted Answer

(1, 2, 3) + t(2, 3, -1)

Answer

(1, 2, 3) + t(6, 3, -1)

Answer

(1, 2, 3) + t(2, 3, 1)

Answer

(1, 2, 3) + t(1, 3, -2)

Question 31

Determine la distancia entre el punto (1, 2, 3) y el plano x + y + z = 6.

Accepted Answer

2√3

Answer

√3

Answer

4√3

Question 32

Calcule el ángulo entre los planos 2x + y - z = 4 y x - 2y + 3z = 1.

Accepted Answer

arccos(1/√70)

Answer

arccos(1/√21)

Answer

arccos(1/√14)

Answer

arccos(1/√35)

Question 33

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r: (1, 2, 3) + t(2, 1, -1) y es perpendicular al plano 2x + y - z = 4.

Accepted Answer

x - 2y + 3z = 1

Answer

x - y + z = 0

Answer

x + y + z = 6

Answer

2x + y - z = 4

Question 34

Si las rectas r: (1, 2, 3) + t(2, 1, -1) y s: (0, 1, 2) + s(1, 1, 1) son paralelas, ¿cuál es la distancia entre ellas?

Accepted Answer

√2

Answer

√3

Answer

√5

Answer

√6

Question 35

¿Cuál es la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3), (2, 4, 5) y (3, 6, 7)?

Accepted Answer

x + y + z = 6

Answer

x - y + z = 0

Answer

2x + 3y + 4z = 12

Answer

2x - y + 3z = 7

Question 36

Una recta pasa por los puntos (1, 0, 1) y (3, 2, 5). ¿Cuál es su vector director?

Accepted Answer

(2, 2, 4)

Answer

(4, 0, 8)

Answer

(1, 1, 2)

Answer

(2, 0, 4)

Question 37

Encuentra la distancia entre el punto (2, 3, 4) y el plano x + y + z = 6.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

4

Answer

3

Question 38

¿Cuál es la intersección entre el plano 2x - y + 3z = 6 y la recta x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t?

Accepted Answer

(1, 3, 5)

Answer

(4, -3, 8)

Answer

(2, 1, 4)

Answer

(3, -1, 6)

Question 39

¿Son paralelas las rectas x = 1 + 2t, y = 3 - t, z = 4 + t y x = 2 - s, y = 5 + 2s, z = 6 - s?

Accepted Answer

Sí

Answer

No es posible determinar

Answer

No

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 40

Una recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al plano x - y + z = 0. ¿Cuál es su ecuación paramétrica?

Accepted Answer

x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + t

Answer

x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + 2t

Answer

x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 - 2t

Answer

x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 - t

Question 41

Encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + t y es paralelo al plano x - y + 2z = 0.

Accepted Answer

x - y + 2z = 6

Answer

x + y - 2z = 0

Answer

x + y - 2z = 6

Answer

x - y + 2z = 0

Question 42

¿Cuál es el ángulo entre los planos x + y - z = 2 y x - y + 2z = 1?

Accepted Answer

60°

Answer

90°

Answer

45°

Answer

30°

Question 43

Un prisma triangular tiene como base un triángulo cuyos vértices son (0, 0, 0), (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Si la altura del prisma es 2, ¿cuál es el área de su superficie lateral?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

6

Answer

8

Question 44

Un cilindro tiene un diámetro de base de 10 cm y una altura de 15 cm. ¿Cuál es el volumen del cilindro?

Accepted Answer

750π cm³

Answer

1500π cm³

Answer

3000π cm³

Answer

375π cm³