Límites y continuidad: Aprende y practica con cuestionarios interactivos

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta con respecto a la función f(x) = 1 / (x - 1)?

Accepted Answer

La función es continua en todos los números reales excepto en x = 1.

Answer

La función es discontinua solo en x = 0.

Answer

La función es continua en todos los números reales.

Question 2

Considera la función f(x) = √x. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 0?

Accepted Answer

0

Answer

Infinito

Answer

1

Answer

No existe

Question 3

¿Cuál de los siguientes teoremas se utiliza para demostrar la continuidad de la composición de funciones?

Accepted Answer

Teorema de la composición de límites

Answer

Teorema del límite del cociente

Answer

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Answer

Teorema del valor intermedio

Question 4

Considera la función f(x) = |x - 1|. ¿En qué punto(s) es la función discontinua?

Accepted Answer

x = 1

Answer

La función es continua en todos los números reales.

Answer

x = -1

Answer

x = 0

Question 5

¿Cuál de las siguientes funciones es continua para todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2 - 1

Question 6

¿Cuál es el teorema que garantiza la continuidad de una función que es suma, resta, producto o cociente de dos funciones continuas?

Accepted Answer

Teorema de las operaciones

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema de los límites notables

Answer

Teorema de Rolle

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la derivada de una función continua es verdadera?

Accepted Answer

La derivada de una función continua en un punto no necesariamente existe en ese punto.

Answer

La derivada de una función continua en un punto siempre existe.

Answer

La derivada de una función continua en un punto siempre es cero.

Question 8

Explica el criterio de discontinuidad de salto.

Accepted Answer

Una función presenta un salto en un punto si el límite por la derecha es diferente del límite por la izquierda.

Answer

Una función presenta un salto en un punto si el límite por la derecha es infinito.

Question 9

Calcula el límite de f(x) = (sqrt(x) - 1) / (x - 1) cuando x tiende a 1.

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

No existe

Answer

1

Question 10

¿Cuál es el teorema que garantiza la continuidad de una función compuesta de dos funciones continuas?

Accepted Answer

Teorema de la función compuesta

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema de los límites notables

Question 11

Calcular el límite de la función f(x) = (x² - 4) / (x - 2) cuando x tiende a 2.

Accepted Answer

4

Answer

-4

Answer

0

Answer

2

Question 12

Determinar si la función f(x) = |x - 3| es continua en x = 3.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Solo si x > 3

Answer

No se puede determinar

Question 13

Determinar si la función f(x) = x² para todo x es uniformemente continua en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

Sí

Answer

Nunca

Answer

No

Answer

Solo si x es racional

Question 14

Encontrar un δ > 0 tal que |(x² - 1) - 1| < 0,1 para todo x tal que |x - 1| < δ.

Accepted Answer

0,3162

Answer

0,5

Answer

1

Answer

0,1

Question 15

Determinar si la función f(x) = |x| es diferenciable en x = 0.

Accepted Answer

No

Answer

Sí

Answer

Solo si x > 0

Answer

Solo si x < 0

Question 16

Encuentra el valor de c para que la función f(x) = { x^2-1, si x ≤ 2; cx+1, si x > 2 } sea continua en x = 2.

Accepted Answer

3

Answer

-1

Answer

4

Answer

2

Question 17

Determina si la función f(x) = e^x es continua en el intervalo (-∞, ∞).

Accepted Answer

Verdadera

Answer

Falsa

Answer

Verdadera sólo en el punto x = 0

Answer

Verdadera sólo en el intervalo (0, ∞)

Question 18

Calcula el límite:  $\lim_{x 	o \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 1}$

Accepted Answer

3

Answer

Infinito

Answer

2

Answer

0

Question 19

Si $\lim_{x 	o a} f(x) = L$ y $\lim_{x 	o a} g(x) = M$, ¿cuál es el valor de $\lim_{x 	o a} [f(x) + g(x)]$?

Accepted Answer

L + M

Answer

L / M

Answer

L - M

Answer

L * M

Question 20

Si $f(x)$ es continua en $x = a$ y $g(x)$ es continua en $x = f(a)$, ¿es la función compuesta $g(f(x))$ continua en $x = a$?

Accepted Answer

Sí

Answer

Depende de la función $g(x)$

Answer

No

Answer

Depende de la función $f(x)$

Question 21

Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función  *f(x) = x²* en el punto *x = 2*.

Accepted Answer

y = 4x - 4

Answer

y = 4x + 4

Answer

y = 2x - 4

Answer

y = 2x + 4

Question 22

De las siguientes afirmaciones sobre el teorema del valor intermedio, ¿cuál es **FALSA**?

Accepted Answer

Si una función *f(x)* es continua en el intervalo *[a, b]* y *f(a) = f(b)*, entonces existe un punto *c* en el intervalo *(a, b)* tal que *f(c) = 0*.

Answer

Si una función *f(x)* es continua en el intervalo *[a, b]* y *f(a) ≠ f(b)*, entonces existe un punto *c* en el intervalo *(a, b)* tal que *f(c)* toma cualquier valor entre *f(a)* y *f(b)*.

Answer

Si una función *f(x)* es continua en el intervalo *[a, b]* y toma valores positivos y negativos en ese intervalo, entonces existe un punto *c* en el intervalo *(a, b)* tal que *f(c) = 0*.

Answer

Si una función *f(x)* es continua en el intervalo *[a, b]* y *f(a) < 0* y *f(b) > 0*, entonces existe un punto *c* en el intervalo *(a, b)* tal que *f(c) = 0*.

Question 23

Utilizando la definición formal de límite, demuestra que  *lim_(x→2) (3x - 1) = 5*.

Accepted Answer

Para cualquier *ε > 0*, existe un *δ > 0* tal que si *0 < |x - 2| < δ*, entonces *|(3x - 1) - 5| < ε*. Podemos elegir *δ = ε / 3*.

Answer

Para cualquier *ε > 0*, existe un *δ > 0* tal que si *|x - 2| < δ*, entonces *|(3x - 1) - 5| < ε*.

Answer

Para cualquier *ε > 0*, existe un *δ > 0* tal que si *0 < |x - 2| < δ*, entonces *|(3x - 1) - 5| = ε*.

Answer

Para cualquier *ε > 0*, existe un *δ > 0* tal que si *0 < |x - 2| < δ*, entonces *|(3x - 1) - 5| > ε*.

Question 24

¿Cuál es el límite de la función *f(x) = (x² - 4) / (x - 2)* cuando *x* se acerca a *2*?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

-2

Answer

No existe

Question 25

Si *lim_(x→a) f(x) = L* y *lim_(x→a) g(x) = M*, ¿cuál es el límite de la suma *f(x) + g(x)* cuando *x* se acerca a *a*?

Accepted Answer

L + M

Answer

L * M

Answer

L - M

Answer

L / M

Question 26

La función *f(x) = |x|* es continua en *x = 0*?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Solo por la derecha

Answer

Solo por la izquierda

Question 27

Si *lim_(x→a) f(x) = L* y *lim_(x→a) g(x) = 0*, ¿cuál es el límite de la función *f(x) / g(x)* cuando *x* se acerca a *a*?

Accepted Answer

No existe

Answer

L

Answer

0

Answer

Infinito

Question 28

¿Cuál es el límite de la función *f(x) = 1/x* cuando *x* se acerca a *0*?

Accepted Answer

Infinito

Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Question 29

La función *f(x) = 1/x* es continua en todo su dominio?

Accepted Answer

No

Answer

Sí

Answer

Solo en *x = 0*

Answer

Solo en *x = 1*

Question 30

El límite de la función *f(x) = sin(x) / x* cuando *x* se acerca a *0* es:

Accepted Answer

1

Answer

Infinito

Answer

0

Answer

No existe

Question 31

Si una función es continua en un punto, ¿qué se puede afirmar sobre su límite en ese punto?

Accepted Answer

El límite existe y es igual al valor de la función en ese punto.

Answer

El límite es infinito.

Answer

El límite no existe.

Question 32

¿Cuál de las siguientes funciones no es continua en x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2 + 1

Question 33

El teorema del valor intermedio se utiliza para demostrar:

Accepted Answer

Que si una función es continua en un intervalo cerrado, toma todos los valores entre su valor mínimo y máximo.

Answer

Que toda función continua tiene un límite.

Question 34

Calcula el límite de la función f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) cuando x tiende a 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

2

Answer

No existe

Question 35

La función f(x) = |x| es continua en x = 0.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Answer

Falso

Question 36

¿Cuál de las siguientes funciones NO es continua en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Question 37

Determina el límite de la función f(x) = (sin(x)) / x cuando x tiende a 0.

Accepted Answer

1

Answer

Infinito

Answer

0

Answer

-1

Question 38

Si lim x->a f(x) = L y lim x->a g(x) = M, entonces lim x->a [f(x) + g(x)] es igual a:

Accepted Answer

L + M

Answer

L * M

Answer

L - M

Answer

L / M

Question 39

Calcula el límite de la función f(x) = (x^2 + 2x + 1) / (x + 1) cuando x tiende a -1.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

No existe

Question 40

La función f(x) = x^3 es continua en todo su dominio.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Answer

Answer

Falso

Question 41

¿Cuál de los siguientes teoremas relaciona la continuidad de una función con la existencia de un máximo y un mínimo en un intervalo cerrado?

Accepted Answer

Teorema de Weierstrass

Answer

Teorema de Bolzano

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema de Rolle

Question 42

El límite de una función en un punto puede existir incluso si la función no está definida en ese punto.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Answer

Falso

Question 43

Si una función es continua en un punto, entonces es derivable en ese punto.

Accepted Answer

Falso

Answer

Answer

Verdadero