Aplicaciones geométricas en Análisis Matemático II: Cuestionarios interactivos

Question 1

En el espacio vectorial R³ el vector que define la dirección de la recta que pasa por los puntos A(-1,2,3) y B(3,1,-2) es:

Accepted Answer

(4, -1, -5)

Answer

(2, 3, 5)

Answer

(-3, 2, -4)

Answer

(1, -2, 4)

Question 2

Considera los planos π1: x - 2y + 3z = 5 y π2: 2x + y - z = 1. Calcula el ángulo entre π1 y π2.

Accepted Answer

aprox. 35,3°

Answer

aprox. 45°

Answer

aprox. 90°

Answer

aprox. 60°

Question 3

La intersección de las rectas L1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t y L2: x = 2 + 2s, y = 1 + s, z = 3 - s es:

Accepted Answer

(3,1,5)

Answer

(0,0,0)

Answer

(1,3,6)

Answer

(2,2,4)

Question 4

Dada la recta r: x - y + 2 = 0, ¿cuál es su vector director?

Accepted Answer

(1, -1)

Answer

(1, 1)

Answer

(2, -1)

Question 5

Sea V el volumen del tetraedro con vértices en los puntos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Determina el valor de V.

Accepted Answer

V = 1/6

Answer

V = 1

Answer

V = 1/3

Answer

V = 1/2

Question 6

Un vector (mathbf{v} in mathbb{R}^3) tiene componentes ((1, 2, -3)). ¿Cuál es su norma o módulo?

Accepted Answer

√14

Answer

14

Answer

-3

Answer

3√3

Question 7

¿Cuál es la parametrización de la recta que pasa por los puntos (P(1, 2, 3)) y (Q(2, -1, 1))?

Accepted Answer

x = 1 + t, y = 2 - 3t, z = 3 -2t

Answer

x = 2 + t, y = 1 - 3t, z = 3 + 2t

Answer

x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t

Answer

x = 2 +t, y = 2 - 3t, z = 1 - 2t

Question 8

¿Cuál es la proyección del vector (mathbf{u} = (1, 2, 3)) sobre el vector (mathbf{v} = (2, -1, 0))?

Accepted Answer

(1/5, -2/5, 0)

Answer

(-1/5, 2/5, 0)

Answer

(2/5, -1/5, 0)

Question 9

¿Cuál es el volumen de la esfera de radio (r)?

Accepted Answer

(4/3)πr³

Answer

(4πr²)³

Answer

(πr²)³

Answer

(3/4)πr³

Question 10

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional?

Accepted Answer

x + 2y - z = 5

Answer

(x, y, z) = (0, 0, 0)

Answer

{x + y + z < 0}

Answer

x^2 + y^2 = 1

Question 11

Para el plano 2x + y - 3z = 7, un vector normal al mismo es:

Accepted Answer

(2, 1, -3)

Answer

(3, -1, 2)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(7, -2, 3)

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre subespacios vectoriales es correcta?

Accepted Answer

Un subespacio vectorial es un conjunto de vectores cerrados bajo suma y multiplicación escalar

Answer

Un subespacio vectorial es un conjunto de vectores que contiene el vector cero

Answer

Un subespacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes

Question 13

La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (2, 1, 3) y es paralela al vector **v** = (1, 2, -1) es:

Accepted Answer

x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 - t

Answer

x = 2 + t, y = 1 - 2t, z = 3 + t

Answer

x = 2 - t, y = 1 + 2t, z = 3 - t

Answer

x = 2 + t, y = 1 + t, z = 3 + 2t

Question 14

El área de la superficie total de un cilindro circular recto de radio 3 y altura 4 es:

Accepted Answer

54π unidades cuadradas

Answer

108π unidades cuadradas

Answer

72π unidades cuadradas

Answer

36π unidades cuadradas

Question 15

El ángulo entre los vectores **a** = (1, 0, 0) y **b** = (0, 1, 0) es:

Accepted Answer

90°

Answer

180°

Answer

120°

Answer

0°

Question 16

Considera el subespacio vectorial W generado por los vectores **v**1 = (1, 0, 1) y **v**2 = (0, 1, 1) en ℝ³. La dimensión de W es:

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Question 17

Un vector perpendicular al plano definido por los puntos A(1, 2, -3), B(2, 1, 0) y C(0, 3, 1) es:

Accepted Answer

(1, -1, 2)

Answer

(0, 1, 1)

Answer

(2, 0, -1)

Answer

(1, 2, -1)

Question 18

La distancia entre la recta que pasa por los puntos P(1, 2, -1) y Q(3, 4, 1) y el plano definido por la ecuación x + 2y - z + 3 = 0 es:

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

3

Question 19

El ángulo entre los vectores a = (1, 2, 3) y b = (2, 1, 0) es:

Accepted Answer

aproximadamente 63,4°

Answer

aproximadamente 90°

Answer

aproximadamente 30°

Answer

aproximadamente 45°

Question 20

La proyección del vector a = (1, 2, 3) sobre el vector b = (2, 1, 0) es:

Accepted Answer

(2/5, 1/5, 0)

Answer

(1/5, 2/5, 0)

Answer

(3/5, 2/5, 0)

Answer

(2/5, 3/5, 0)

Question 21

Sean u = (2, 1, -1) y v = (3, -2, 4)  ¿Cuál es el vector u x v?

Accepted Answer

(-2, -11, -7)

Answer

(-2, 11, 7)

Answer

(5, -1, 3)

Question 22

Determina la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y tiene como vector director (2, -1, 4).

Accepted Answer

x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + 4t

Answer

x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 + 4t

Answer

x = 1 - 2t, y = 2 + t, z = 3 - 4t

Answer

x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 4 + 3t

Question 23

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una forma válida de representar un plano en el espacio?

Accepted Answer

Dos vectores paralelos

Answer

Un punto y un vector normal

Answer

Tres puntos no colineales

Question 24

Determina el ángulo entre los planos con ecuaciones 2x - y + z = 4 y x + y - 2z = 1.

Accepted Answer

arccos(-1/6)

Answer

π/2

Answer

π/3

Answer

π/4

Question 25

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA sobre la intersección de dos planos en el espacio?

Accepted Answer

Pueden intersectarse en una recta, ser paralelos o ser coincidentes.

Answer

Solo pueden ser paralelos o coincidentes.

Answer

Siempre se intersectan en un punto.

Question 26

Un subespacio vectorial S en R³ está generado por los vectores (1, 0, 1) y (0, 1, -1). ¿Cuál de las siguientes opciones representa una base para S?

Accepted Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, -1)}

Answer

{(1, 1, 0)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 0)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}