Aplicaciones de las Transformaciones Lineales: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

Determina cuál de las siguientes opciones es una transformación lineal:

Accepted Answer

T(x, y) = (2x - y, x + 2y)

Answer

T(x, y) = (x^2, y)

Answer

T(x, y) = (x + y, x - y)^2

Answer

T(x, y) = (e^x, ln(y))

Question 2

Calcula la imagen del vector **(2, 1)** bajo la transformación lineal **T(x, y) = (x + 2y, -x + y)**

Accepted Answer

(6, -3)

Answer

(4, 1)

Answer

(2, 3)

Answer

(0, -5)

Question 3

Identifica la transformación lineal **T** que rota un punto en el plano 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen:

Accepted Answer

T(x, y) = (-y, x)

Answer

T(x, y) = (x, y)

Answer

T(x, y) = (y, -x)

Question 4

Selecciona la transformación lineal **T** que proyecta un punto en el plano sobre el eje x:

Accepted Answer

T(x, y) = (x, 0)

Answer

T(x, y) = (y, x)

Answer

T(x, y) = (0, y)

Answer

T(x, y) = (x, y)

Question 5

Una matriz de transformación lineal es:

Accepted Answer

Una matriz cuadrada.

Answer

Una matriz simétrica.

Answer

Una matriz rectangular.

Answer

Una matriz diagonal.

Question 6

La transformada de la base estándar bajo una transformación lineal **T** es:

Accepted Answer

El conjunto de vectores columna de la matriz asociada a T.

Answer

El conjunto de vectores propios de la matriz asociada a T.

Answer

El conjunto de vectores fila de la matriz asociada a T.

Question 7

Una transformación lineal T: R² → R² refleja cada vector a través del eje x. ¿Cuál es la imagen del vector (1, 2) bajo T?

Accepted Answer

(1, -2)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 2)

Answer

(-1, -2)

Question 8

Sea T: R² → R² una transformación lineal que transforma el vector (1, 0) en (2, 1) y el vector (0, 1) en (1, -1). ¿Cuál es la matriz que representa T?

Accepted Answer

[2, 1]
[1, -1]

Answer

[1, 0]
[0, 1]

Answer

[1, 1]
[0, 0]

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA sobre las transformaciones lineales?

Accepted Answer

Una transformación lineal siempre conserva la distancia entre dos puntos.

Answer

La composición de dos transformaciones lineales es también una transformación lineal.

Answer

Una transformación lineal siempre transforma el vector cero en el vector cero.

Question 10

Sea T: R³ → R³ una transformación lineal que proyecta cada vector sobre el plano xy. ¿Cuál es la imagen del vector (1, 2, 3) bajo T?

Accepted Answer

(1, 2, 0)

Answer

(3, 2, 1)

Answer

(0, 0, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Question 11

Una transformación lineal T: R² → R² es una isometría si...

Accepted Answer

conserva la distancia entre cualquier par de puntos.

Answer

transforma el vector cero en el vector cero.

Answer

es invertible.

Question 12

El sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde A es una matriz y x y b son vectores, tiene solución única si...

Accepted Answer

el rango de A es igual al número de columnas de A.

Answer

el determinante de A es cero.

Answer

el rango de A es menor que el número de columnas de A.

Answer

el rango de A es mayor que el número de columnas de A.

Question 13

Una transformación lineal T: R² → R² es una dilatación si...

Accepted Answer

multiplica cada vector por un factor constante.

Answer

proyecta cada vector sobre un subespacio.

Answer

refleja cada vector a través de un eje.

Answer

rota cada vector un cierto ángulo.

Question 14

Un sistema de ecuaciones lineales se representa como Ax = b, donde A es una matriz, x es un vector de variables y b es un vector de términos independientes. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la solución del sistema?

Accepted Answer

La solución representa el punto de intersección de los hiperplanos representados por las ecuaciones del sistema.

Answer

La solución representa el vector que transforma A en b.

Question 15

Sean T₁: R² → R³ y T₂: R³ → R² transformaciones lineales. ¿Cuál es la composición T₂ o T₁?

Accepted Answer

Una transformación lineal de R² a R².

Answer

Una transformación lineal de R³ a R³.

Answer

Una transformación lineal de R² a R⁴.

Answer

Una transformación lineal de R⁴ a R².

Question 16

Una transformación lineal T: R² → R² tiene una matriz de transformación A = [1 2]
[3 4]. ¿Cuál es la imagen del vector (1, 1) bajo la transformación T?

Accepted Answer

(3, 7)

Answer

(2, 3)

Answer

(1, 1)

Answer

(4, 5)

Question 17

Se realiza una transformación lineal a un círculo centrado en el origen. ¿Qué tipo de figura se obtiene siempre?

Accepted Answer

Elipse o círculo.

Answer

Parábola.

Answer

Línea recta.

Answer

Hipérbola.

Question 18

Dos vectores son linealmente independientes si:

Accepted Answer

No existe una combinación lineal no trivial que los iguale al vector cero.

Answer

Son ortogonales entre sí.

Answer

Tienen la misma dirección.

Question 19

Una transformación lineal T: R² → R² refleja puntos a través del eje x. ¿Cuál es la matriz de transformación asociada a T?

Accepted Answer

[1 0; 0 -1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[0 -1; 1 0]

Answer

[1 1; 0 0]

Question 20

Un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma Ax = b, donde A es una matriz, x es un vector de incógnitas y b es un vector de constantes. ¿Cómo se relaciona la transformación lineal asociada a la matriz A con la solución del sistema?

Accepted Answer

La solución del sistema corresponde al vector x que se transforma en b bajo la acción de la transformación lineal A.

Answer

La transformación lineal A no tiene relación con la solución del sistema.

Question 21

Una transformación lineal T: R³ → R³ rota un vector alrededor del eje z en un ángulo de 90° en sentido antihorario. ¿Cuál es el efecto de T en el vector (1, 0, 0)?

Accepted Answer

El vector se transforma en (0, 1, 0)

Answer

El vector se transforma en (0, 0, 1)

Answer

El vector permanece sin cambios.

Answer

El vector se transforma en (-1, 0, 0)

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (x + y, 2x)?

Accepted Answer

T es una transformación lineal.

Answer

T no es una transformación lineal porque no conserva la multiplicación por escalar.

Answer

T no es una transformación lineal porque no conserva la suma.

Answer

T es una transformación lineal, pero no es invertible.

Question 23

Un objeto se mueve en un plano con una velocidad constante v. ¿Cuál de las siguientes representaciones es correcta para la transformación lineal que describe el movimiento del objeto después de un tiempo t?

Accepted Answer

T(x, y) = (x + vt, y)

Answer

T(x, y) = (x, y + vt)

Answer

T(x, y) = (x, y)

Answer

T(x, y) = (x + vt, y + vt)

Question 24

¿Cuál es el núcleo de la transformación lineal T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + y, 2z)?

Accepted Answer

{(t, -t, 0) | t ∈ R}

Answer

{(0, 0, 0)}

Answer

{(t, 0, 0) | t ∈ R}

Answer

{(0, t, 0) | t ∈ R}

Question 25

Una transformación lineal T: R² → R² tiene como vectores propios (1, 1) y (1, -1) con valores propios 2 y -1, respectivamente. ¿Cuál es el resultado de aplicar T al vector (3, 1)?

Accepted Answer

(5, -1)

Answer

(1, 3)

Answer

(4, 2)

Answer

(2, 4)

Question 26

La matriz A = [2 1; 1 2] representa una transformación lineal T: R² → R². ¿Cuál es la imagen del círculo unitario bajo la acción de T?

Accepted Answer

Una elipse con centro en el origen.

Answer

Una parábola.

Answer

Una recta.

Answer

Un círculo con radio 2.

Question 27

Una transformación lineal T: V → W es invertible si y solo si:

Accepted Answer

El núcleo de T es {0} y la imagen de T es W.

Answer

La imagen de T es {0}.

Answer

El núcleo de T es V.

Question 28

Una transformación lineal T: R² → R² es una proyección sobre el eje x. ¿Cuál es la matriz de proyección asociada a T?

Accepted Answer

[1 0; 0 0]

Answer

[1 1; 0 0]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[0 0; 0 1]

Question 29

¿Cuál de las siguientes transformaciones es una transformación lineal?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = exp(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 30

Calcula la matriz asociada a la transformación lineal que refleja los vectores respecto al eje y.

Accepted Answer

[-1, 0; 0, 1]

Answer

[0, 1; 1, 0]

Answer

[1, 0; 0, -1]

Question 31

¿Cuál es la imagen del vector (1, 2) bajo la transformación lineal definida por la matriz A = [2, -1; 1, 3]?

Accepted Answer

(5, 5)

Answer

(5, 3)

Answer

(3, 5)

Question 32

Determina si la siguiente transformación lineal es diagonalizable:

Accepted Answer

Sí

Answer

No se puede determinar

Answer

No

Answer

Depende de la matriz

Question 33

¿Cuál es la autovalor de mayor valor absoluto de la transformación lineal definida por la matriz A = [1, 2; -1, 3]?

Accepted Answer

4

Answer

-4

Answer

2

Answer

1

Question 34

Halla la base de autovectores de la transformación lineal definida por la matriz A = [2, 1; -1, 2].

Accepted Answer

{(1, 1), (-1, 1)}

Answer

{(0, 1), (1, 0)}

Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 2), (-1, 2)}

Question 35

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las transformaciones lineales se utiliza para representar gráficamente curvas?

Accepted Answer

Forma paramétrica

Answer

Ecuaciones diferenciales

Answer

Análisis numérico

Answer

Sistemas de ecuaciones

Question 36

En física, las transformaciones lineales se utilizan para describir el movimiento de un objeto. ¿Cuál es la transformación lineal que representa una traslación?

Accepted Answer

T(x, y) = (x + a, y + b)

Answer

T(x, y) = (ax, by)

Answer

T(x, y) = (x + a, y)

Answer

T(x, y) = (x, y + b)

Question 37

En geometría, las transformaciones lineales se utilizan para representar figuras geométricas. ¿Cuál es la transformación lineal que representa una rotación?

Accepted Answer

T(x, y) = (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)

Answer

T(x, y) = (x, y + b)

Answer

T(x, y) = (ax, by)

Question 38

En ingeniería industrial, las transformaciones lineales se utilizan para optimizar procesos. ¿Cuál es la transformación lineal que representa el cambio en la producción como función de la inversión?

Accepted Answer

T(x) = ax + b

Answer

T(x) = x²

Answer

T(x) = sin(x)

Answer

T(x) = exp(x)

Question 39

Una transformación lineal T: R² → R² rota vectores 90 grados en sentido antihorario. ¿Cuál es la matriz que representa T?

Accepted Answer

[0 -1]
[1 0]

Answer

[1 0]
[0 -1]

Answer

[0 1]
[-1 0]

Answer

[1 0]
[0 1]

Question 40

Un sistema de ecuaciones lineales se representa como Ax = b, donde A es una matriz, x es un vector de variables y b es un vector de constantes. ¿Qué transformación lineal representa la matriz A en este contexto?

Accepted Answer

La transformación que mapea el vector x al vector b.

Answer

La transformación que mapea el vector b al vector x.

Answer

La transformación que mapea el vector x al vector 0.

Question 41

Un vector propio de una transformación lineal T es un vector que, cuando se aplica T, solo se escala. Si v es un vector propio de T, ¿qué se puede afirmar sobre la transformación T(v)?

Accepted Answer

T(v) es un múltiplo escalar de v.

Answer

T(v) es el vector nulo.

Answer

T(v) es perpendicular a v.

Answer

T(v) es un vector de la misma magnitud que v.

Question 42

Un operador lineal es una transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un operador lineal?

Accepted Answer

La transformación que mapea un vector a su norma.

Answer

La transformación que mapea un vector a su suma con otro vector fijo.

Answer

La transformación que mapea un vector a su proyección en un plano.

Answer

La transformación que mapea un vector a su reflejo en el origen.

Question 43

Sea T: R³ → R³ una transformación lineal definida por T(x, y, z) = (x + y, y - z, 2z). ¿Cuál es el núcleo de T?

Accepted Answer

{(0, -t, t) | t ∈ R}

Answer

{(t, t, t) | t ∈ R}

Answer

{(t, 0, 0) | t ∈ R}

Answer

{(0, t, t) | t ∈ R}

Question 44

En un espacio vectorial, la imagen de una transformación lineal T es el conjunto de todos los vectores que pueden obtenerse aplicando T a un vector del espacio original. ¿Cuál es la imagen de la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (x + y, 2x)?

Accepted Answer

{(t, 2(t - s)) | t, s ∈ R}

Answer

{(t, 2t) | t ∈ R}

Answer

{(t, s) | t, s ∈ R}

Answer

{(t, t) | t ∈ R}

Question 45

Un espacio vectorial se considera invariante bajo una transformación lineal T si T mapea cualquier vector del espacio a otro vector dentro del mismo espacio. ¿Cuál de los siguientes subespacios de R³ es invariante bajo la transformación lineal T(x, y, z) = (x + y, y + z, z)?

Accepted Answer

{(t, t, t) | t ∈ R}

Answer

{(0, t, 0) | t ∈ R}

Answer

{(t, 0, 0) | t ∈ R}

Answer

{(0, 0, t) | t ∈ R}

Question 46

La diagonalización de una matriz A consiste en encontrar una matriz diagonal D y una matriz invertible P tales que A = P⁻¹DP. ¿Cuál es la principal ventaja de diagonalizar una matriz?

Accepted Answer

Simplifica el cálculo de potencias de la matriz.

Answer

Permite encontrar el determinante de la matriz.

Answer

Reduce el número de filas de la matriz.

Answer

Hace que la matriz sea invertible.

Question 47

En el contexto de la mecánica lineal, la matriz de rigidez de un sistema relaciona las fuerzas aplicadas con los desplazamientos. ¿Qué tipo de transformación lineal representa la matriz de rigidez?

Accepted Answer

Una transformación lineal que mapea los desplazamientos a las fuerzas.

Answer

Una transformación lineal que mapea las fuerzas a las aceleraciones.

Answer

Una transformación lineal que mapea las fuerzas a los desplazamientos.

Question 48

La transformación de Fourier es una herramienta fundamental en el análisis de señales, que permite descomponer una señal compleja en sus componentes de frecuencia. ¿Qué tipo de transformación lineal es la transformada de Fourier?

Accepted Answer

Una transformación lineal que mapea una función en el dominio del tiempo a una función en el dominio de la frecuencia.

Answer

Una transformación lineal que mapea una función en el dominio de la frecuencia a una función en el dominio del tiempo.