Espacios vectoriales: definición y propiedades para Análisis Matemático II

Question 1

¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad de los espacios vectoriales?

Accepted Answer

Es un conjunto vacío

Answer

Está cerrado bajo la multiplicación por escalares

Answer

Contiene un elemento neutro para la suma

Answer

Está cerrado bajo la suma

Question 2

Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es un subespacio vectorial si y sólo si:

Accepted Answer

{0} ∈ S y S está cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares

Answer

{0} ∈ S y S está cerrado bajo la multiplicación por escalares

Answer

S está cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares

Question 3

¿Cuál de las siguientes es una base de R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Question 4

Si V es un espacio vectorial y dim(V) = n, entonces el número máximo de vectores linealmente independientes en V es:

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n - 1

Question 5

Si A y B son matrices invertibles de orden n, entonces:

Accepted Answer

AB es invertible

Answer

A²B es invertible

Answer

AB no es invertible

Answer

BA no es invertible

Question 6

El determinante de una matriz triangular superior es:

Accepted Answer

El producto de los elementos de la diagonal principal

Answer

El producto de los elementos de la diagonal secundaria

Answer

La suma de los elementos de la diagonal principal

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un espacio vectorial?

Accepted Answer

Es un conjunto no vacío con dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicación por escalares, que cumplen ciertas propiedades.

Answer

Es un conjunto de puntos que forman una línea recta.

Answer

Es un conjunto de vectores que tienen la misma dirección y sentido.

Question 8

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto de V. ¿Bajo qué condiciones W es un subespacio vectorial de V?

Accepted Answer

W es no vacío, cerrado bajo suma vectorial y multiplicación por escalares, y contiene el vector cero.

Answer

W contiene el vector cero y es cerrado bajo multiplicación por escalares.

Answer

W es no vacío y cerrado bajo suma vectorial.

Question 9

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la dimensión de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Número de vectores linealmente independientes en una base

Answer

Número de vectores que pertenecen al espacio.

Answer

Suma de las dimensiones de sus subespacios.

Question 10

¿Cuál es el núcleo de una transformación lineal?

Accepted Answer

Conjunto de vectores que se mapean al vector cero

Answer

Conjunto de vectores que tienen longitud cero.

Answer

Conjunto de vectores que se mapean a sí mismos.

Answer

Conjunto de vectores que son linealmente dependientes.

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la imagen de una transformación lineal es verdadera?

Accepted Answer

Es un subespacio del codominio.

Answer

Tiene una dimensión mayor que la del dominio.

Answer

Es un conjunto de vectores linealmente dependientes.

Answer

Contiene únicamente al vector cero.

Question 12

En la definición de espacio vectorial sobre un cuerpo K, ¿qué elemento es considerado como el elemento neutro de la suma?

Accepted Answer

El vector cero

Answer

El elemento identidad

Question 13

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. ¿Cuál de las siguientes propiedades es cierta para todo u, v en V y todo k en K?

Accepted Answer

k(u + v) = ku + kv

Answer

u - v = v - u

Answer

(u + v) - u = v

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es equivalente al teorema de nulidad para matrices?

Accepted Answer

El número de vectores linealmente independientes en una base de Nul(A) más el rango de A es igual al número de columnas de A.

Answer

El número de vectores linealmente independientes en una base de Col(A) es igual al rango de A.

Question 15

¿Cuál de las siguientes propiedades es cierta para una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Los vectores de la base son linealmente independientes y su combinación lineal abarca el espacio.

Answer

Los vectores de la base son linealmente dependientes y su combinación lineal abarca el espacio.

Question 16

Sea una transformación lineal T: V → W. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la matriz de transformación de T?

Accepted Answer

Sus columnas son una base del dominio V y sus filas son una base del codominio W.

Answer

Sus filas son una base del dominio V y sus columnas son una base del codominio W.

Question 17

Sea L: V → V un operador lineal en un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes propiedades satisface L?

Accepted Answer

L(u + v) = L(u) + L(v) y L(kv) = kL(v) para todo u, v en V y todo k en K.

Answer

L(u + v) = L(u) + L(v) y L(kv) = kvL(v) para todo u, v en V y todo k en K.

Question 18

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el núcleo de una aplicación lineal?

Accepted Answer

Subespacio vectorial formado por todos los vectores que son mapeados al vector cero.

Answer

Conjunto de todos los vectores que son paralelos al vector cero.

Answer

Conjunto de todos los vectores que no son mapeados al vector cero.

Question 19

En un espacio vectorial, el conjunto de todos los vectores que son múltiplos escalares de un vector dado forma:

Accepted Answer

Una recta que pasa por el origen.

Answer

Un hiperplano que no contiene al vector cero.

Answer

Un plano que contiene al vector cero.

Answer

Un subespacio distinto del espacio trivial.

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio.

Answer

Conjunto de vectores que son ortogonales entre sí.

Answer

Conjunto de vectores que forman un subespacio.

Question 21

En un espacio vectorial real, ¿cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio?

Accepted Answer

Conjunto de todos los vectores cuyas componentes son pares.

Answer

Conjunto de todos los vectores cuya norma es menor que 1.

Answer

Conjunto de todos los vectores cuyas componentes son impares.

Question 22

¿Cuál de las siguientes transformaciones lineales es una isometría?

Accepted Answer

Una rotación.

Answer

Una reflexión.

Answer

Una proyección.

Answer

Una dilatación.

Question 23

¿Cuál es la dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores (1, 2, 3) y (0, 1, 1) en R^3?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

3

Question 24

¿Cuál de los siguientes conjuntos es linealmente independiente?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}

Answer

{(1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0)}

Question 25

¿Cuál es la base de un espacio vectorial si sus vectores son linealmente independientes y su número es igual a la dimensión del espacio?

Accepted Answer

Base

Answer

Generador

Answer

Espacio afín

Answer

Subespacio

Question 26

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio vectorial de R^2?

Accepted Answer

{(x, y) | y = 2x}

Answer

{(x, y) | x + y > 0}

Answer

{(x, y) | x = y^2}

Answer

{(x, y) | x > 0, y > 0}

Question 27

¿Cuál es la definición correcta de un espacio vectorial sobre un cuerpo ??

Accepted Answer

Un conjunto no vacío V de elementos (llamados vectores) dotado de dos operaciones internas: la suma de vectores y el producto por un escalar que cumple ciertas propiedades.

Answer

Todo conjunto de números con dos operaciones.

Question 28

¿Cuál de las siguientes propiedades **no** caracteriza a un espacio vectorial?

Accepted Answer

Existen al menos dos vectores linealmente independientes.

Answer

Existe un vector cero.

Answer

La suma de dos vectores cualesquiera pertenece al espacio.

Question 29

¿Cuál es la dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores (1, 1, 0) y (0, 1, 1) en ℝ³?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Question 30

¿Cuál es el rango de la transformación lineal definida por la matriz A = [1 2; 3 4]?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

3

Question 31

¿Cuál es el núcleo de la transformación lineal definida por la matriz A = [1 2; 3 4]?

Accepted Answer

El conjunto formado por el vector nulo.

Answer

El conjunto de todos los vectores ortogonales a (1, 2).

Answer

El conjunto de todos los vectores paralelos a (3, 4).

Question 32

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto con dos operaciones, suma y escalar por un número, que satisface ciertas propiedades algebraicas.

Answer

Un conjunto de puntos en un plano o espacio.

Question 33

¿Qué operación NO está definida en un espacio vectorial?

Accepted Answer

Producto escalar

Answer

Suma

Answer

Multiplicación por un escalar

Question 34

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe con precisión un subespacio vectorial?

Accepted Answer

Un subconjunto de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial con respecto a las mismas operaciones.

Answer

Un conjunto que contiene el vector cero.

Question 35

¿Qué determina la dimensión de un espacio vectorial?

Accepted Answer

El número mínimo de vectores linealmente independientes que lo generan.

Answer

El número total de vectores en el espacio.

Question 36

¿Qué caracteriza a una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio.

Answer

Un conjunto de vectores cerrado bajo la suma.

Question 37

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente la independencia lineal de un conjunto de vectores?

Accepted Answer

Ningún vector del conjunto puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores.

Answer

Todos los vectores del conjunto son distintos de cero.

Question 38

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe con precisión la dependencia lineal de un conjunto de vectores?

Accepted Answer

Al menos un vector del conjunto puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores.

Answer

Todos los vectores del conjunto son distintos de cero.

Question 39

¿Qué caracteriza a la suma directa de subespacios vectoriales?

Accepted Answer

Un subespacio vectorial que es la unión de los subespacios dados, sin elementos comunes excepto el vector cero.

Answer

Un subespacio vectorial que es la intersección de los subespacios dados.

Question 40

¿Qué son los elementos del producto tensorial de dos espacios vectoriales?

Accepted Answer

Tensores, objetos multidimensionales que generalizan vectores y matrices.

Answer

Subespacios vectoriales.