Matriz asociada a una transformación lineal: cuestionarios interactivos

Question 1

Si A es la matriz asociada a una transformación lineal T, ¿qué matriz representa la transformación T^(-1)?

Accepted Answer

A^(-1)

Answer

A^T

Question 2

Dada la matriz A = [3 1; 2 5], ¿cuál es el rango de la transformación lineal asociada?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

5

Answer

3

Question 3

Dada la matriz A = [2 3; 1 4], ¿qué tipo de cambio de base lleva la transformación lineal asociada a A a una matriz diagonal?

Accepted Answer

Cambio a base propia

Answer

Cambio a base ortonormal

Answer

Cambio a base triangular

Question 4

¿Cuál es la matriz asociada a la transformación lineal que proyecta un vector sobre el eje y?

Accepted Answer

[0 1; 0 0]

Answer

[1 0; 0 0]

Answer

[0 1; 0 1]

Question 5

Sea T: R² → R² una transformación lineal definida por T(x, y) = (x + 2y, 3x - y). La matriz asociada a T en la base canónica es:

Accepted Answer

[1 2; 3 -1]

Answer

[1 2; -3 1]

Answer

[-1 2; 3 -1]

Answer

[2 1; 3 -4]

Question 6

Sea A = [1 2; 3 4]. La transformación lineal asociada a A es:

Accepted Answer

T(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y)

Answer

T(x, y) = (x + 4y, 2x + 3y)

Answer

T(x, y) = (x - 2y, 3x - 4y)

Answer

T(x, y) = (2x + y, 4x + 3y)

Question 7

Sea T: R² → R una transformación lineal dada por T(x, y) = 3x - 2y. La matriz asociada a T en la base {(1, 0), (0, 1)} es:

Accepted Answer

[3 -2]

Answer

[-3 2]

Answer

[2 -3]

Question 8

Considerando una matriz A de 3x3, establecer cuál es el rango de A si la imagen de T: R³ → R³ definida por T(x) = Ax tiene dimensión 2.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

3

Question 9

Para la transformación lineal T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y, z), si la matriz asociada a T respecto a la base B = {(1, 0), (0, 1)} de R² es A, calcular A.

Accepted Answer

[1 1 0]
[2 -1 0]

Answer

[1 0 0]
[0 1 0]

Answer

[0 1 0]
[1 0 0]

Answer

[-1 1 0]
[2 -1 0]

Question 10

Si T es una transformación lineal de R^n a R^m y A es su matriz asociada, establecer la dimensión del núcleo de T.

Accepted Answer

n - rango(A)

Answer

n + rango(A)

Answer

rango(A)

Answer

rango(A) - n

Question 11

Si A es una matriz cuadrada de orden n y T es la transformación lineal asociada a A, definir el polinomio característico de T.

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

tr(A)

Answer

det(A)

Answer

adj(A)

Question 12

Sea f: R^2 → R^2 una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base {(1, 0), (0, 1)} es A = ((2, 1), (3, 4)). Si v = (5, -2), entonces f(v) es:

Accepted Answer

(17, 6)

Answer

(17, -6)

Answer

(-6, 17)

Answer

(6, 17)

Question 13

Si f: V → W es una aplicación lineal y v_1, v_2,..., v_n base de V, entonces el rango de f es igual a:

Accepted Answer

El número de columnas linealmente independientes de la matriz asociada a f respecto a las bases dadas.

Answer

El número de filas linealmente independientes de la matriz asociada a f respecto a las bases dadas.

Question 14

Considera la transformación lineal T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + 2y - z, 3x - y + z). ¿Cuál es la matriz asociada a T con respecto a la base estándar {{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}}?

Accepted Answer

(1 2 -1)
(3 -1 1)

Answer

(1 2 -1)
(3 1 1)

Answer

(2 1 1)
(3 -1 1)

Answer

(2 1 -1)
(3 -1 1)

Question 15

Sea T la transformación lineal definida por T(x) = Ax, donde A es una matriz de 2x2. Si se sabe que el núcleo de T es la recta y = x y su imagen es el plano x - y = 0, ¿cuál es la matriz A?

Accepted Answer

(1 -1)
(0 1)

Answer

(1 0)
(0 1)

Answer

(-1 0)
(0 1)

Answer

(0 1)
(1 0)

Question 16

¿Cuál de las siguientes matrices **NO** es la matriz asociada a una transformación lineal?

Accepted Answer

(1 2 3)
(4 5 6)

Answer

(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)

Answer

(1 2 3)
(4 5 6)
(7 8 9)

Answer

(2 1)
(-1 2)

Question 17

Sea T una transformación lineal representada por la matriz A. Si se conoce que A es invertible, ¿qué se puede afirmar sobre T?

Accepted Answer

T es invertible.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Answer

T es lineal.

Answer

T es biyectiva.

Question 18

Sea T una transformación lineal representada por la matriz A. Si se conoce que det(A) = 0, ¿qué se puede afirmar sobre T?

Accepted Answer

T no es inyectiva.

Answer

T es sobreyectiva.

Answer

T es inyectiva.

Question 19

**Sea la transformación lineal T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + 2y, x - y, 3x + 5y). ¿Cuál es la matriz asociada a T en la base canónica de R² y R³?**

Accepted Answer

[1 2 3; 1 -1 5; 3 5 1]

Answer

[2 1 3; 1 1 5; 3 5 1]

Answer

[1 2 3; 1 -1 4; 3 5 2]

Answer

[1 1 3; 2 -1 5; 3 4 1]

Question 20

**Sea T: R² → R² una transformación lineal con matriz asociada A = [cosθ sinθ; -sinθ cosθ]. Si θ = π/4, ¿cuál es el tipo de transformación lineal?**

Accepted Answer

Rotación de 45°

Answer

Reflexión sobre el eje y

Answer

Translación horizontal

Answer

Proyección sobre el eje y

Question 21

**Dado un cambio de base P = [1 2; 3 4] para R², ¿cuál es la matriz asociada a la transformación T: R² → R² en la nueva base si su matriz asociada en la base canónica es A = [5 2; 3 1]?**

Accepted Answer

[11 14; 19 26]

Answer

[10 13; 19 26]

Answer

[11 14; 18 25]

Answer

[12 15; 18 24]

Question 22

**Si T: R³ → R³ es una transformación lineal y det(T) = -2, ¿cuál es el determinante de la matriz asociada a T?**

Accepted Answer

-2

Answer

2

Answer

-1

Answer

1

Question 23

**Si T: R³ → R³ es una transformación lineal y su matriz asociada en la base canónica es A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], ¿cuál es el núcleo de T?**

Accepted Answer

{(0, 0, 0)}

Answer

{(0, 1, 0)}

Answer

{(1, 0, 0)}

Answer

{(0, 0, 1)}

Question 24

**Sea T: R² → R³ una transformación lineal y A = [1 2 3; 4 5 6] su matriz asociada en la base canónica. Si la imagen de T tiene dimensión 2, ¿cuál es el rango de T?**

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

3

Answer

1

Question 25

**Si T: R³ → R³ es una transformación lineal y su matriz asociada en la base canónica es invertible, entonces T es:**

Accepted Answer

Biyectiva

Answer

No es ni inyectiva ni sobreyectiva

Answer

Sobreyectiva

Answer

Inyectiva

Question 26

Dada la transformación lineal  T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y, 3y),  ¿cuál es la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas de R² y R³?

Accepted Answer

[1 1; 2 -1; 0 3]

Answer

[1 2 0; 1 -1 3]

Answer

[1 2; 1 -1; 0 3]

Answer

[1 1; 2 -1; 3 0]

Question 27

Si la matriz asociada a una transformación lineal T: R² → R² respecto a la base canónica es [2 1; 1 3], ¿cuál es la imagen del vector (1, 2) bajo T?

Accepted Answer

(4, 7)

Answer

(2, 3)

Answer

(1, 2)

Answer

(3, 5)

Question 28

Sean B = {(1, 0), (0, 1)} y B' = {(1, 1), (1, -1)} bases de R². Si la matriz asociada a una transformación lineal T: R² → R² respecto a la base B es [2 1; 1 3], ¿cuál es la matriz asociada a T respecto a la base B'?

Accepted Answer

[3/2 1/2; 1/2 5/2]

Answer

[3 1; 1 5]

Answer

[1 2; 3 1]

Answer

[2 1; 1 3]

Question 29

Dada la transformación lineal T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + 2y, 3z), ¿cuál es la dimensión del espacio nulo de T?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

2

Answer

0

Question 30

Dada la matriz A = [1 2; 3 4], ¿cuál es la transformación lineal T: R² → R² asociada a A respecto a la base canónica?

Accepted Answer

T(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y)

Answer

T(x, y) = (2x + y, 3x + 4y)

Answer

T(x, y) = (x + 2y, 4x + 3y)

Answer

T(x, y) = (x + 3y, 2x + 4y)

Question 31

Dada la transformación lineal  T: R³ → R³ definida por T(x, y, z) = (x + y, 2y - z, x + z),  ¿cuál es la matriz asociada a T respecto a la base canónica de R³?

Accepted Answer

[1 1 0; 0 2 -1; 1 0 1]

Answer

[1 2 1; 1 -1 0; 0 1 1]

Answer

[1 0 1; 1 2 0; 0 -1 1]

Answer

[1 0 0; 2 -1 0; 1 1 1]

Question 32

Si la matriz asociada a una transformación lineal T: R³ → R³ respecto a la base canónica es [1 2 0; 0 1 1; 2 0 1], ¿cuál es la imagen del vector (1, 1, 1) bajo T?

Accepted Answer

(3, 2, 3)

Answer

(1, 1, 2)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(1, 2, 1)

Question 33

Sean B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B' = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} bases de R³. Si la matriz asociada a una transformación lineal T: R³ → R³ respecto a la base B es [2 1 0; 0 1 1; 1 0 2], ¿cuál es la matriz asociada a T respecto a la base B'?

Accepted Answer

[3 1 -1; 1 2 0; 1 1 1]

Answer

[2 1 0; 0 1 1; 1 0 2]

Answer

[2 0 1; 1 1 0; 0 1 2]

Answer

[1 2 0; 0 1 1; 2 0 1]

Question 34

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA sobre la matriz asociada a una transformación lineal?

Accepted Answer

La matriz asociada a una transformación lineal es única con respecto a una base dada.

Answer

La matriz asociada a una transformación lineal es siempre una matriz cuadrada.

Answer

La matriz asociada a una transformación lineal no depende de la base.

Question 35

Dada la transformación lineal  T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y, 3y),  ¿cuál es la imagen del vector (2, 1) bajo T?

Accepted Answer

(3, 3, 3)

Answer

(3, 2, 3)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(1, 2, 1)