Producto escalar y ortogonalidad: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático II

Question 1

Sea el producto escalar de dos vectores como sigue: a . b = |a| * |b| * cos(α). ¿Qué representa 'α' en esta expresión?

Accepted Answer

El ángulo entre los vectores 'a' y 'b'

Answer

La longitud del vector 'b'

Answer

La longitud del vector 'a'

Answer

El ángulo entre 'a' y la base coordenada 'x'

Question 2

Dados los vectores a = (1, 2, 3) y b = (2, 3, 4), calcula su producto escalar.

Accepted Answer

20

Answer

10

Answer

30

Answer

40

Question 3

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Question 4

Determina si los vectores a = (1, 0, 1) y b = (2, 1, 0) son ortogonales.

Accepted Answer

No son ortogonales

Answer

Son ortogonales

Answer

Depende del valor de 'y'

Answer

No se puede determinar sin más información

Question 5

¿Cuál de las siguientes matrices es simétrica?

Accepted Answer

A = [[1, 3], [3, 1]]

Answer

C = [[1, 2], [3, 4]]

Answer

D = [[0, 1], [1, 0]]

Answer

B = [[2, 4], [5, 6]]

Question 6

Sea una matriz A de orden 2x2. Si A es simétrica y su traza es 6, ¿cuál es su determinante?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

16

Answer

8

Question 7

¿Cuál es el producto escalar de los vectores unitarios i y j?

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Answer

2

Question 8

Dados los vectores a = (2, 3, 4) y b = (1, 2, 3), calcula el ángulo entre ellos.

Accepted Answer

cos(α) = 0,5

Answer

cos(α) = 0,7

Answer

cos(α) = 0,8

Answer

cos(α) = 0,6

Question 9

Si el producto escalar de dos vectores es negativo, ¿qué puedes concluir?

Accepted Answer

Los vectores forman un ángulo obtuso.

Answer

Los vectores son paralelos.

Answer

Los vectores son perpendiculares.

Answer

Los vectores forman un ángulo agudo.

Question 10

En un sistema de coordenadas tridimensional, ¿cuántos vectores unitarios hay?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

4

Question 11

Dados los vectores u = (2, 1, -3) y v = (1, -2, 1), ¿cuál es el producto escalar u · v?

Accepted Answer

-5

Answer

-1

Answer

1

Answer

3

Question 12

Si el ángulo entre los vectores u y v es de 60 grados y ||u|| = 2, ||v|| = 3, ¿cuál es el valor de u · v?

Accepted Answer

3

Answer

6

Answer

9

Answer

1

Question 13

¿Cuál de los siguientes pares de vectores es ortogonal?

Accepted Answer

u = (1, 2) y v = (-2, 1)

Answer

u = (2, 0) y v = (0, -3)

Answer

u = (3, -1) y v = (1, 3)

Answer

u = (1, 1) y v = (2, 2)

Question 14

Un vector unitario es un vector con norma (magnitud) igual a 1. ¿Cuál de los siguientes vectores es un vector unitario?

Accepted Answer

(1/√2, 1/√2)

Answer

(2, 2)

Answer

(1, 1)

Answer

(1, 0)

Question 15

La proyección ortogonal de un vector u sobre un vector v se obtiene mediante la fórmula:

Accepted Answer

proj_v(u) = ((u · v) / ||v||^2) * v

Answer

proj_v(u) = (u · v) * v

Answer

proj_v(u) = ((u · v) / ||u||^2) * v

Answer

proj_v(u) = (u · v) / ||v||

Question 16

La distancia entre dos puntos A y B en el espacio tridimensional se calcula como:

Accepted Answer

||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Answer

||AB|| = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Answer

||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Question 17

Si dos vectores son ortogonales, su producto escalar es:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

||u|| * ||v||

Answer

-1

Question 18

La norma de un vector u se define como:

Accepted Answer

||u|| = √(u · u)

Answer

||u|| = √(u + u)

Answer

||u|| = u · u

Answer

||u|| = u / ||u||

Question 19

El ángulo entre dos vectores se puede calcular mediante la fórmula:

Accepted Answer

θ = arccos((u · v) / (||u|| * ||v||))

Answer

θ = arcsin((u · v) / (||u|| * ||v||))

Answer

θ = (u · v) / (||u|| * ||v||)

Answer

θ = arctan((u · v) / (||u|| * ||v||))

Question 20

El producto escalar es una operación:

Accepted Answer

Conmutativa

Answer

Asociativa

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Distributiva

Question 21

¿Cuál es la definición del producto escalar de dos vectores en el espacio tridimensional?

Accepted Answer

El producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos

Answer

La suma de sus proyecciones ortogonales

Answer

La multiplicación de sus coordenadas

Question 22

Dados los vectores u = (2, 1, 3) y v = (4, -1, 2), calcula su producto escalar.

Accepted Answer

14

Answer

18

Answer

22

Answer

10

Question 23

¿Bajo qué condición dos vectores son ortogonales?

Accepted Answer

Su producto escalar es cero

Answer

Sus magnitudes son iguales

Answer

Están alineados

Answer

Son paralelos

Question 24

Si el vector u es ortogonal al vector v, ¿qué se puede decir del vector -v?

Accepted Answer

También es ortogonal a u

Answer

Es igual a u

Answer

Es paralelo a u

Answer

Es antiparalelo a u

Question 25

En el espacio tridimensional, ¿cuántos vectores unitarios ortogonales pueden existir?

Accepted Answer

Tres

Answer

Uno

Answer

Dos

Answer

Cuatro

Question 26

Sea P(1, 2, 3) y Q(4, 5, 6). Calcula la proyección ortogonal del vector PQ sobre el vector u = (2, 1, 0).

Accepted Answer

(3, 1, 0)

Answer

(4, 2, 0)

Answer

(6, 3, 0)

Answer

(2, 1, 3)

Question 27

Dados los vectores u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) y w = (0, 0, 1), ¿son linealmente independientes?

Accepted Answer

Sí

Answer

No se puede determinar

Answer

No

Question 28

Sea S un subespacio de R^3. Si dim(S) = 2, ¿cuántos vectores linealmente independientes como máximo puede tener S?

Accepted Answer

Dos

Answer

Tres

Answer

Uno

Question 29

¿Cuál de las siguientes matrices es ortogonal?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 30

En el plano xy, ¿cuáles de las siguientes ecuaciones representan rectas perpendiculares entre sí?

Accepted Answer

y = 2x y y = -2x

Answer

y = x y y = 2x

Answer

y = x y y = x + 1

Answer

y = -x y y = -2x

Question 31

¿Cuál de las siguientes expresiones define el producto escalar de dos vectores **a** y **b**?

Accepted Answer

**a** · **b** = |**a**| · |**b**| · cos(θ)

Answer

**a** · **b** = (x_a · x_b) + (y_a · y_b) + (z_a · z_b)

Answer

**a** · **b** = |**a**| + |**b**|

Answer

**a** · **b** = |**a**| · |**b**| · sen(θ)

Question 32

Dados los vectores **a** = (2, 3) y **b** = (4, 5), calcula su producto escalar.

Accepted Answer

23

Answer

35

Answer

13

Answer

7

Question 33

¿Cuándo dos vectores **a** y **b** son ortogonales?

Accepted Answer

Cuando su producto escalar es cero

Answer

Cuando son lineales

Answer

Cuando tienen la misma magnitud

Answer

Cuando son paralelos

Question 34

Determina si los vectores **a** = (1, 2) y **b** = (3, -4) son ortogonales.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Solo cuando |**a**| = |**b**|

Answer

No se puede determinar

Question 35

¿Cuál es la proyección ortogonal del vector **a** = (2, 3) sobre el vector **b** = (4, 5)?

Accepted Answer

(4/13, 5/13)

Answer

(3/13, 4/13)

Answer

(4/13, 3/13)

Answer

(5/13, 4/13)

Question 36

¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta para la distancia d entre dos puntos **P** = (x_1, y_1) y **Q** = (x_2, y_2)?

Accepted Answer

d = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²) / (|**a**| · |**b**|)

Answer

d = √((x_1 - x_2)² + (y_1 - y_2)²) / |**a**|

Answer

d = √((y_2 - y_1)² + (x_2 - x_1)²) / (|**a**| · |**b**|)

Question 37

En un plano cartesiano, el vector **PQ** une los puntos **P** = (0, 2) y **Q** = (8, 6). Si **PQ** es el vector **a**, determina el vector unitario perpendicular a **a**.

Accepted Answer

**n** = (-6/10, 8/10)

Answer

**n** = (8/10, -6/10)

Answer

**n** = (6/10, 8/10)

Question 38

Dados los vectores **a** = (1, 2, 3) y **b** = (4, 5, 6), calcula su producto vectorial **a** × **b**.

Accepted Answer

(-3, 6, -3)

Answer

(6, -3, 3)

Answer

(3, -6, 3)

Answer

(-6, 3, 3)

Question 39

¿Cuál es el área del paralelogramo formado por los vectores **a** = (2, 3) y **b** = (4, 5)?

Accepted Answer

13

Answer

26

Answer

7

Answer

19

Question 40

Un cubo tiene aristas de longitud 2. Calcula el ángulo entre la diagonal de una cara y la diagonal del cubo.

Accepted Answer

arccos(1/3)

Answer

arccos(3/4)

Answer

arccos(2/3)

Answer

arccos(1/2)