Ecuaciones no lineales: métodos de resolución para Análisis Numérico

Question 1

¿Qué criterio de parada se utiliza normalmente en el método de Newton-Raphson?

Accepted Answer

Cuando la diferencia entre dos iteraciones consecutivas es menor que una tolerancia especificada.

Answer

Cuando la función es menor que un valor determinado.

Answer

Cuando el número de iteraciones alcanza un máximo.

Answer

Cuando la derivada es menor que un valor determinado.

Question 2

En el método de la secante, ¿cómo se calcula la estimación inicial del siguiente paso?

Accepted Answer

Utilizando los dos últimos valores de la iteración.

Answer

Utilizando el valor actual y un valor aleatorio.

Answer

Utilizando el valor actual y el siguiente valor de la iteración.

Answer

Utilizando el valor actual y el valor anterior de la iteración.

Question 3

Indica la principal ventaja del método de Newton-Raphson sobre el método de bisección:

Accepted Answer

Convergencia más rápida.

Answer

Mayor precisión.

Answer

Menor número de iteraciones.

Answer

Mayor facilidad de implementación.

Question 4

El método de bisección es aplicable para resolver:

Accepted Answer

Ecuaciones no lineales continuas.

Answer

Ecuaciones lineales.

Answer

Ecuaciones no lineales discontinuas.

Question 5

¿De qué factor depende principalmente el error en el método de bisección?

Accepted Answer

La longitud del intervalo inicial.

Answer

El valor de la función en el punto inicial.

Answer

El número de iteraciones.

Answer

La pendiente de la función.

Question 6

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza la convergencia del método de bisección?

Accepted Answer

La función es continua en el intervalo que contiene la raíz y cambia de signo en sus extremos

Answer

La función es creciente en el intervalo que contiene la raíz

Answer

La función es derivable en el intervalo que contiene la raíz

Question 7

El orden de convergencia del método de Newton-Raphson es:

Accepted Answer

Cuadrático

Answer

Exponencial

Answer

Cúbico

Answer

Lineal

Question 8

En una ecuación trascendente, la incógnita aparece en:

Accepted Answer

El argumento de una función trascendente

Answer

El coeficiente de una función

Answer

La derivada de una función

Answer

El exponente de una función

Question 9

El método de la secante es una variación del método de:

Accepted Answer

Newton-Raphson

Answer

Bisección

Answer

Jacobi

Answer

Punto fijo

Question 10

¿Cuál de los siguientes criterios de parada se utiliza para terminar el proceso iterativo?

Accepted Answer

El error relativo es menor que una tolerancia especificada

Answer

El número de iteraciones es mayor que un límite especificado

Answer

La derivada de la función es cero

Question 11

En el método de punto fijo, ¿qué se garantiza si la función g(x) es una contracción?

Accepted Answer

Convergencia a un punto fijo único

Answer

Oscilación alrededor de un punto fijo

Answer

Divergencia

Answer

Convergencia a un ciclo límite

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos es un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales? Elige la respuesta que incluye un método iterativo.

Accepted Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Regla de Cramer

Answer

Método de los mínimos cuadrados

Question 13

En el método de bisección, si el intervalo inicial es [a, b] y el punto medio es c, ¿cuál es el nuevo intervalo si f(c) es positivo?

Accepted Answer

[c, b]

Answer

[c/2, b]

Answer

[a, c]

Answer

[a, b/2]

Question 14

Indica cuál de las siguientes opciones describe correctamente el orden de convergencia del método de Newton-Raphson.

Accepted Answer

Cuadrático

Answer

Cúbico

Answer

Lineal

Answer

Exponencial

Question 15

¿Puede el método de Newton-Raphson fallar si la función f(x) tiene una derivada discontinua en un punto? Responde eligiendo la opción correcta.

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo si la derivada es infinita

Answer

Solo si la derivada es cero

Answer

No

Question 16

Sobre la convergencia del método de Newton-Raphson, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? Elige la opción que describa correctamente las condiciones de convergencia.

Accepted Answer

Puede divergir si la derivada es demasiado pequeña o si la estimación inicial está demasiado lejos de la raíz.

Answer

Siempre converge a la raíz

Question 17

En el método de punto fijo, ¿cuál es la condición necesaria para que el método converja? Selecciona la opción que indique correctamente el criterio de convergencia.

Accepted Answer

|g'(x)| < 1

Answer

|g'(x)| > 1

Answer

|g'(x)| = 1

Answer

|g(x)| < 1

Question 18

¿Qué criterio se utiliza para determinar si el método de Newton-Raphson ha convergido?

Accepted Answer

El error absoluto entre iteraciones sucesivas es menor que un umbral especificado

Answer

La derivada de la función es cero

Answer

El número de iteraciones alcanza un máximo

Question 19

En el método de Newton-Raphson, ¿para qué se utiliza la derivada de la función f(x)?

Accepted Answer

Para obtener la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en la aproximación actual

Answer

Para determinar la concavidad de la gráfica de f(x)

Answer

Para encontrar el mínimo de f(x)

Question 20

Selecciona la afirmación correcta sobre el método de bisección:

Accepted Answer

Converge a la solución, independientemente de la aproximación inicial, siempre que f(x) sea continua y cambie de signo en el intervalo [a, b].

Answer

Proporciona soluciones exactas a las ecuaciones no lineales.

Answer

Requiere la derivada de la función f(x).

Question 21

Para garantizar la convergencia del método de Newton-Raphson, ¿qué condición debe cumplir la derivada de la función f(x) en el intervalo que contiene la raíz?

Accepted Answer

Debe ser continua y no nula.

Answer

Debe ser negativa.

Answer

Debe ser positiva.

Answer

Debe ser discontinua.

Question 22

En el contexto de la resolución de ecuaciones no lineales utilizando métodos matriciales, ¿qué representa un valor propio de una matriz?

Accepted Answer

Un valor escalar que, al multiplicarse por el vector propio correspondiente, produce el mismo vector propio.

Answer

Un valor máximo de la matriz.

Answer

Un valor mínimo de la matriz.

Question 23

Al resolver ecuaciones no lineales gráficamente, ¿qué representa la intersección de dos gráficas?

Accepted Answer

Una solución potencial a la ecuación.

Answer

Un máximo de la función.

Answer

Un mínimo de la función.

Question 24

El método de punto fijo para resolver ecuaciones no lineales implica:

Accepted Answer

Encontrar un valor fijo x* tal que f(x*) = x*.

Answer

Resolver la ecuación mediante integración.

Answer

Derivar la ecuación y resolver para la variable.

Question 25

¿Qué técnica se puede utilizar para acelerar la convergencia del método de Newton-Raphson?

Accepted Answer

Amortiguamiento

Answer

Aumentar el tamaño del paso.

Answer

Reducir la tolerancia de error.

Question 26

En el contexto de la resolución de ecuaciones no lineales, ¿qué término se utiliza para describir la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas?

Accepted Answer

Error iterativo

Answer

Tolerancia de error

Answer

Número de iteraciones

Answer

Tasa de convergencia

Question 27

¿Cuál es el enunciado del método de bisección para resolver ecuaciones no lineales?

Accepted Answer

Dividir repetidamente por la mitad un intervalo [a, b] donde la función tome valores de distinto signo, hasta que se alcance la precisión deseada.

Answer

Utilizar la derivada de la función para encontrar el óptimo.

Question 28

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el método de Newton-Raphson es correcta?

Accepted Answer

Es un método iterativo que utiliza la derivada de la función para converger rápidamente a la solución, pero requiere una derivada continua y no nula.

Answer

Es un método eficiente para resolver ecuaciones lineales.

Question 29

¿Qué criterio se utiliza para determinar la convergencia del método de Newton-Raphson?

Accepted Answer

|x_n - x_n-1| < ε

Answer

|f'(x_n)| < ε

Question 30

Al resolver una ecuación no lineal con el método de bisección, ¿qué ocurre si los valores de la función en los extremos del intervalo son del mismo signo?

Accepted Answer

El método no convergerá, ya que no es posible reducir a la mitad un intervalo donde la función tome el mismo signo en sus extremos.

Answer

El método convergerá a una de las soluciones.

Question 31

¿Cuál es una ventaja del método de Newton-Raphson sobre el método de bisección?

Accepted Answer

Convergencia más rápida bajo ciertas condiciones, como cuando la función es derivable y tiene una derivada continua y no nula.

Answer

Facilidad de implementación

Question 32

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la expansión en serie de Taylor es correcta?

Accepted Answer

Es una aproximación de una función cerca de un punto dado, representándola como un polinomio.

Answer

Solo es aplicable a funciones polinómicas.

Question 33

Al utilizar la expansión en serie de Taylor para resolver una ecuación no lineal, ¿qué término se utiliza para estimar el error de la aproximación?

Accepted Answer

Resto de Taylor

Answer

Error relativo

Question 34

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones no lineales cuando la función tiene un comportamiento oscilatorio?

Accepted Answer

Método de la secante

Answer

Expansión en serie de Taylor

Question 35

El método de bisección para encontrar la raíz de una ecuación no lineal se basa en:

Accepted Answer

El teorema del valor intermedio, que establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces tiene al menos una raíz en ese intervalo.

Answer

El teorema de Rolle, que establece que si una función continua tiene la misma  valor en dos puntos, entonces tiene al menos un punto crítico en ese intervalo.

Answer

El teorema fundamental del cálculo, que relaciona la derivada de una función con su integral.

Answer

El teorema de Taylor, que proporciona una aproximación polinómica de una función.

Question 36

Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre el método de Newton-Raphson?

Accepted Answer

Es un método iterativo que requiere la derivada de la función para encontrar la raíz de una ecuación no lineal. Se basa en aproximar la función por su línea tangente.

Answer

Es un método que no requiere un valor inicial. Se necesita un valor inicial para comenzar el proceso iterativo.

Answer

Es un método que siempre converge a la raíz.  La convergencia depende de la función y del valor inicial.

Question 37

Para encontrar la raíz de la ecuación f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0 en el intervalo [2, 3] usando el método de bisección, ¿cuál es el valor aproximado de la raíz después de la primera iteración?

Accepted Answer

2.5

Answer

3

Answer

2.75

Answer

2.25

Question 38

La siguiente fórmula representa la iteración del método de Newton-Raphson: x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n). Si la función es f(x) = x^2 - 4, ¿cuál es la fórmula para la iteración en este caso?

Accepted Answer

x_(n+1) = x_n - (x_n^2 - 4) / (2x_n)

Answer

x_(n+1) = x_n - (x_n^2 - 4)

Answer

x_(n+1) = x_n - (x_n^2 - 4) / (x_n)

Answer

x_(n+1) = x_n + (x_n^2 - 4) / (2x_n)

Question 39

El orden de convergencia del método de Newton-Raphson es:

Accepted Answer

Cuadrático, lo que significa que el error se reduce aproximadamente al cuadrado en cada iteración.

Answer

No definido, ya que la convergencia depende de la función y el valor inicial.

Answer

Lineal, lo que significa que el error se reduce aproximadamente a la mitad en cada iteración.

Answer

Cúbico, lo que significa que el error se reduce aproximadamente al cubo en cada iteración.

Question 40

El método de la secante es similar al método de Newton-Raphson, pero no requiere:

Accepted Answer

La derivada de la función. En su lugar, utiliza una aproximación de la derivada basada en dos puntos anteriores.

Answer

Un valor inicial. Se necesitan dos valores iniciales para comenzar el proceso iterativo.

Answer

Una ecuación no lineal.  El método de la secante se aplica a ecuaciones no lineales.

Answer

Un intervalo. El método de la secante no está restringido a un intervalo específico.

Question 41

En el método de la regla falsa, el punto medio del intervalo se reemplaza por un punto que:

Accepted Answer

Está en la línea que conecta los dos puntos del intervalo y cruza el eje x. Este punto se calcula utilizando la interpolación lineal.

Answer

Está en la línea tangente a la función en el punto medio del intervalo. Esta descripción corresponde al método de Newton-Raphson.

Answer

Es el punto medio del intervalo. El método de la regla falsa no utiliza el punto medio.

Question 42

En el contexto de la resolución de ecuaciones no lineales, el término 'tolerancia' se refiere a:

Accepted Answer

La precisión deseada para la solución aproximada. Es el margen de error aceptable en la solución.

Answer

El valor inicial del método. El valor inicial afecta la convergencia, pero no define la tolerancia.

Answer

El número máximo de iteraciones permitidas. El número máximo de iteraciones define el límite del proceso, pero no la tolerancia.

Answer

La derivada de la función. La derivada se utiliza en algunos métodos, pero no se relaciona directamente con la tolerancia.