Sistemas de Ecuaciones Lineales: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

El método conocido como Eliminación de Gauss consiste en:

Accepted Answer

Transformar un sistema de ecuaciones lineales en uno triangular para facilitar su resolución.

Answer

Obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de su matriz de coeficientes.

Answer

Aproximar la solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante iteraciones sucesivas.

Answer

Calcular el determinante de una matriz para determinar la existencia de soluciones en un sistema de ecuaciones lineales.

Question 2

La matriz que se obtiene al añadir una columna de términos independientes a la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales se denomina:

Accepted Answer

Matriz aumentada

Answer

Matriz identidad

Answer

Matriz escalonada

Answer

Matriz triangular

Question 3

La operación matricial que consiste en intercambiar dos filas se conoce como:

Accepted Answer

Permutación

Answer

División de filas

Answer

Suma de filas

Answer

Multiplicación por un escalar

Question 4

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene infinitas soluciones se clasifica como:

Accepted Answer

Sistema compatible indeterminado

Answer

Sistema incompatible

Answer

Sistema compatible determinado

Question 5

La propiedad que garantiza que un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única siempre que el número de ecuaciones sea igual al número de variables es:

Accepted Answer

Sistema no singular

Answer

Sistema bien condicionado

Answer

Sistema homogéneo

Answer

Sistema compatible

Question 6

El método que utiliza la inversa de la matriz de coeficientes para resolver un sistema de ecuaciones lineales es:

Accepted Answer

Regla de Cramer

Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método de Eliminación de Gauss

Answer

Método de Jacobi

Question 7

Determine la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
4x + 2y = 6, 2x + y = 3

Accepted Answer

Compatible y determinado

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Compatible e indeterminado

Answer

Incompatible

Question 8

¿Cuál es el número de soluciones del sistema de ecuaciones en forma escalonada reducida:
x - 2y + 3z = 0, 2x + y - z = 0?

Accepted Answer

Infinitas

Answer

Única

Answer

Ninguna

Question 9

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con matrices simétricas definidas positivas, ¿cuál de los siguientes métodos iterativos es más apropiado?

Accepted Answer

Conjugado de gradientes

Answer

Gauss-Seidel

Answer

Jacobi

Question 10

El método de Gauss-Seidel converge si la matriz del sistema es:

Accepted Answer

Diagonalmente dominante

Answer

Triangular superior

Answer

Simetriza definida positiva

Answer

Triangular inferior

Question 11

¿Cuál es el criterio de parada para el método del gradiente conjugado?

Accepted Answer

El residuo es menor que una tolerancia dada

Answer

El número máximo de iteraciones se alcanza

Answer

El sistema es incompatible

Answer

La matriz del sistema es diagonalmente dominante

Question 12

¿Qué método se emplea para resolver sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares superiores?

Accepted Answer

Sustitución hacia atrás

Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Iteración de Jacobi

Answer

Factorización LU

Question 13

Considera el sistema:
 x + 2y = 5
 3x - y = 7
 ¿Cuál es la matriz aumentada correspondiente?

Accepted Answer

[ 1 2 5 ]
[ 3 -1 7 ]

Answer

[ 5 2 1 ]
[ 7 -1 3 ]

Answer

[ 5 -1 7 ]
[ 3 2 1 ]

Answer

[ 1 2 7 ]
[ 3 -1 5 ]

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre sistemas de ecuaciones lineales es incorrecta?

Accepted Answer

Un sistema con más incógnitas que ecuaciones siempre posee infinitas soluciones.

Answer

Un sistema con igual número de incógnitas y ecuaciones puede tener una solución única o infinitas soluciones.

Answer

Un sistema con menos incógnitas que ecuaciones puede tener una solución única o ninguna solución.

Question 15

¿Qué método se utiliza para factorizar una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior?

Accepted Answer

Factorización LU

Answer

Factorización Cholesky

Answer

Descomposición QR

Answer

Eliminación gaussiana

Question 16

¿Qué tipo de sistema de ecuaciones lineales se caracteriza por tener un número infinito de soluciones?

Accepted Answer

Sistema compatible indeterminado

Answer

Sistema incompatible

Answer

Sistema singular

Answer

Sistema compatible determinado

Question 17

Un sistema de ecuaciones lineales es aquel que:

Accepted Answer

Todas las variables están elevadas a la primera potencia

Answer

Todas las variables son polinomios

Answer

Tiene al menos una variable no lineal

Question 18

¿Cuál de los siguientes métodos NO es un método directo para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Gauss-Seidel

Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Factorización LU

Answer

Regla de Cramer

Question 19

¿Cuál es el paso inicial en el método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

Convertir el sistema a forma triangular inferior

Answer

Convertir el sistema a forma triangular superior

Answer

Resolver el sistema por sustitución

Answer

Encontrar la matriz inversa

Question 20

¿En qué caso el método de Gauss-Seidel NO converge?

Accepted Answer

Cuando la matriz del sistema no es diagonalmente dominante

Answer

Cuando el sistema tiene más ecuaciones que variables

Answer

Cuando el sistema es inconsistente

Question 21

¿Cuál es el teorema que establece las condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de ecuaciones lineales sea consistente?

Accepted Answer

Teorema de Rouché-Capelli

Answer

Teorema de Cramer

Answer

Teorema de Gauss

Answer

Teorema de Sylvester

Question 22

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales sobredeterminados?

Accepted Answer

Mínimos cuadrados

Answer

Gauss-Seidel

Answer

Gauss-Jordan

Answer

Eliminación gaussiana

Question 23

¿Qué representa el residuo en el método de mínimos cuadrados?

Accepted Answer

La suma de los cuadrados de los errores de las ecuaciones

Answer

El número de ecuaciones que se ajustan perfectamente a los datos

Answer

La diferencia entre la solución estimada y la solución real

Question 24

Un sistema de ecuaciones lineales se considera **inconsistente** cuando:

Accepted Answer

No tiene solución.

Answer

Tiene un número finito de soluciones.

Answer

Tiene una única solución.

Answer

Tiene infinitas soluciones.

Question 25

La **matriz aumentada** de un sistema de ecuaciones lineales se construye:

Accepted Answer

Combinando la matriz de coeficientes con el vector de términos independientes.

Answer

Solo con la matriz de coeficientes.

Answer

Solo con el vector de términos independientes.

Question 26

El **método de Gauss** se basa en:

Accepted Answer

Operaciones elementales sobre filas para transformar la matriz aumentada en forma escalonada.

Answer

Utilizar matrices inversas para resolver el sistema.

Answer

Operaciones elementales sobre columnas para transformar la matriz aumentada en forma escalonada.

Question 27

Un sistema de ecuaciones lineales se considera **mal condicionado** cuando:

Accepted Answer

Pequeños cambios en los coeficientes del sistema producen grandes cambios en la solución.

Answer

Tiene infinitas soluciones.

Answer

No tiene solución.

Question 28

En el **método de Jacobi**, la solución en cada iteración se calcula:

Accepted Answer

Usando los valores de la iteración anterior para las demás incógnitas.

Answer

Calculando directamente la solución sin iteraciones.

Answer

Utilizando valores aleatorios para las incógnitas.

Question 29

El **método de Gauss-Seidel** es una mejora del método de Jacobi porque:

Accepted Answer

Utiliza los valores más actualizados de las incógnitas en cada iteración.

Answer

Tiene una convergencia más lenta.

Answer

Es más complejo de implementar.

Question 30

Para determinar si un sistema de ecuaciones lineales es **convergente** con los métodos iterativos, se puede utilizar:

Accepted Answer

El criterio de convergencia de Sassenfeld.

Answer

El método de eliminación de Gauss-Jordan.

Answer

El método de Gauss.

Answer

La regla de Cramer.

Question 31

La **descomposición LU** de una matriz permite resolver un sistema de ecuaciones lineales:

Accepted Answer

Resolviendo dos sistemas triangulares sucesivos.

Answer

Utilizando el método de Gauss.

Answer

Calculando la inversa de la matriz.

Answer

Aproximando la solución mediante iteraciones.

Question 32

Un sistema de ecuaciones lineales **homogéneo** se caracteriza por:

Accepted Answer

Tener todos los términos independientes iguales a cero.

Answer

Tener infinitas soluciones.

Answer

Tener una única solución.

Question 33

La **norma de una matriz** se utiliza para:

Accepted Answer

Medir el tamaño o la magnitud de una matriz.

Answer

Calcular el determinante de una matriz.

Answer

Transformar una matriz en forma escalonada.

Answer

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Question 34

Un sistema de ecuaciones lineales se considera inconsistente cuando:

Accepted Answer

No tiene solución.

Answer

Tiene infinitas soluciones.

Answer

Tiene más ecuaciones que incógnitas.

Answer

Tiene una única solución.

Question 35

El método de eliminación de Gauss-Jordan se utiliza para:

Accepted Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz aumentada a forma escalonada reducida.

Answer

Encontrar el determinante de una matriz.

Question 36

¿Cuál de los siguientes métodos es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Método de Jacobi

Answer

Método de Cramer

Answer

Método de eliminación de Gauss

Answer

Método de Gauss-Jordan

Question 37

La condición de convergencia para el método de Jacobi es que:

Accepted Answer

La norma de la matriz de iteración sea menor que 1.

Answer

La matriz del sistema sea simétrica.

Answer

El determinante de la matriz del sistema sea distinto de cero.

Question 38

Un sistema de ecuaciones lineales se considera mal condicionado cuando:

Accepted Answer

Pequeños cambios en los coeficientes del sistema producen grandes cambios en la solución.

Answer

El sistema es fácil de resolver.

Answer

El sistema tiene una única solución.

Question 39

El método de factorización LU se utiliza para:

Accepted Answer

Descomponer la matriz del sistema en la forma L * U, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior.

Answer

Calcular el determinante de una matriz.

Question 40

La norma de una matriz se utiliza para:

Accepted Answer

Medir el tamaño o magnitud de una matriz.

Answer

Encontrar los valores propios de una matriz.

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales.

Answer

Calcular el determinante de una matriz.

Question 41

Un sistema de ecuaciones lineales se considera homogéneo cuando:

Accepted Answer

El término independiente de cada ecuación es cero.

Answer

El sistema es fácil de resolver.

Answer

El sistema tiene más ecuaciones que incógnitas.

Answer

El sistema tiene una única solución.

Question 42

El método de Gauss-Seidel es una variante del método de Jacobi que:

Accepted Answer

Utiliza los valores actualizados de las incógnitas en cada iteración para mejorar la convergencia.

Answer

No requiere condiciones de convergencia.

Answer

Es más lento que el método de Jacobi.

Question 43

En el contexto de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el error relativo se refiere a:

Accepted Answer

La diferencia entre la solución aproximada y la solución exacta, expresada como una fracción de la solución exacta.

Answer

La diferencia entre la solución aproximada y la solución exacta.