Aplicaciones de las Integrales: Cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes de Curvas

Question 1

Calcular el área bajo la curva y = x^2 entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

16/3

Answer

2

Answer

4

Question 2

Hallar el momento de inercia de un disco uniforme de radio R y masa M alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.

Accepted Answer

MR^2/2

Answer

MR^2/4

Answer

2MR^2

Answer

MR^2

Question 3

Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad f(x) = e^(-x) para x ≥ 0 tome un valor menor o igual a 1.

Accepted Answer

1 - e^(-1)

Answer

e^(-1)

Answer

1 + e^(-1)

Question 4

Hallar el valor esperado de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) = 1/2 para x ∈ [0, 1].

Accepted Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

0

Answer

1

Question 5

Determinar la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado x unidades más allá de su longitud de reposo natural, donde la constante del resorte es k.

Accepted Answer

kx

Answer

kx²

Answer

k/x²

Answer

k/x

Question 6

Calcular el flujo de un líquido con densidad ρ a través de una superficie plana de área A perpendicular a la velocidad del flujo v.

Accepted Answer

ρAv

Answer

ρA/v

Answer

v/ρA

Answer

A/ρv

Question 7

Determinar la cantidad de trabajo realizado por una bomba que eleva agua desde un depósito a una altura h a un ritmo de r litros por segundo.

Accepted Answer

rgh

Answer

rh/g

Answer

g/rh

Answer

h/rg

Question 8

Hallar el momento de inercia de una barra delgada de longitud L y densidad ρ alrededor de un eje perpendicular a la barra y pasando por su centro.

Accepted Answer

(1/12)ρL³

Answer

(1/4)ρL³

Answer

ρL³

Answer

(1/24)ρL³

Question 9

Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad f(x) tome un valor entre a y b.

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫∞[a,b] f(x) dx

Answer

∫[b,a] f(x) dx

Answer

∫∞[b,a] f(x) dx

Question 10

Se desea calcular la longitud de la curva y = x³ entre x = 0 y x = 1. ¿Qué integral representa correctamente la longitud de la curva?

Accepted Answer

∫₀¹ √(1 + 9x⁴) dx

Answer

∫₀¹ (1 + 3x²) dx

Answer

∫₀¹ (1 + 9x⁴) dx

Answer

∫₀¹ √(1 + 3x²) dx

Question 11

El área entre las curvas y = x² y y = x se puede calcular mediante la integral:

Accepted Answer

∫₀¹ (x - x²) dx

Answer

∫₀¹ (x + x²) dx

Answer

∫₀¹ (x² + x) dx

Answer

∫₀¹ (x² - x) dx

Question 12

El trabajo realizado por una fuerza F(x) al mover un objeto desde x = a hasta x = b se puede calcular mediante la integral:

Accepted Answer

∫ₐᵇ F(x) dx

Answer

∫ₐᵇ F'(x) dx

Answer

∫ₐᵇ F(x) * x dx

Answer

∫ₐᵇ F(x) / x dx

Question 13

La integral ∫₀¹ e⁻ˣ dx representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva y = e⁻ˣ entre x = 0 y x = 1

Answer

La derivada de e⁻ˣ

Answer

La antiderivada de e⁻ˣ

Question 14

Calcula el área bajo la curva de la función  y = x²  entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

∫[0,2] x² dx

Answer

∫[2,0] (x² + 1) dx

Answer

∫[2,0] x² dx

Answer

∫[0,2] (x + 1)² dx

Question 15

Un depósito cilíndrico circular tiene un radio de 2 metros y una altura de 5 metros. ¿Cuál es su volumen?

Accepted Answer

π * 2² * 5

Answer

π * 2 * 5²

Answer

2π * 5²

Answer

(2π)² * 5

Question 16

Una partícula se mueve a lo largo del eje x con una velocidad v(t) = t² + 1.  ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula entre t = 0 y t = 3?

Accepted Answer

∫[0,3] (t² + 1) dt

Answer

∫[3,0] (t² + 1) dt

Answer

∫[0,3] t² dt

Answer

∫[3,0] t² dt

Question 17

Una placa rectangular tiene una densidad dada por la función ρ(x, y) = xy. Si la placa tiene una longitud de 2 unidades y una anchura de 3 unidades, ¿cuál es su masa?

Accepted Answer

∫[0,2] ∫[0,3] xy dx dy

Answer

∫[0,3] ∫[0,2] xy dx dy

Answer

∫[0,2] ∫[0,3] x² y dx dy

Answer

∫[0,3] ∫[0,2] x² y dx dy

Question 18

Una función f(x) es positiva y decreciente en el intervalo [0, 1]. ¿Cuál es el valor máximo de f(x) en este intervalo?

Accepted Answer

f(0)

Answer

La función no tiene un máximo en este intervalo.

Answer

El valor del máximo depende de la función.

Answer

f(1)

Question 19

Una función f(x) es continua en el intervalo [0, 1] y tiene una integral indefinida dada por F(x) = x³ + 2x² + 1. ¿Cuál es el valor de la integral definida ∫[0,1] f(x) dx?

Accepted Answer

F(1) - F(0)

Answer

∫[1,0] f(x) dx

Answer

F(0) - F(1)

Answer

F'(1) - F'(0)

Question 20

Una función f(x) es derivable en el intervalo [0, 1] y su derivada f'(x) es positiva en todo el intervalo. ¿Qué podemos afirmar sobre f(x) en este intervalo?

Accepted Answer

f(x) es estrictamente creciente en [0, 1].

Answer

f(x) tiene un máximo en algún punto del intervalo [0, 1].

Answer

f(x) es estrictamente decreciente en [0, 1].

Question 21

Una empresa fabrica piezas metálicas con forma de disco circular. El radio de los discos varía entre 1 cm y 3 cm. Si la densidad del material es constante, ¿cuál es la integral que representa la masa total de los discos?

Accepted Answer

∫[1, 3] πρr² dr

Answer

∫[1, 3] πr² dr

Answer

∫[1, 3] πρr dr

Answer

∫[1, 3] 2πρr dr

Question 22

Se quiere calcular el área de la superficie de una esfera de radio r. ¿Cuál es la integral que representa el área de la superficie?

Accepted Answer

∫[0, π] 2πr²sin(θ) dθ

Answer

∫[0, π] 4πr²sin(θ) dθ

Answer

∫[0, π] 2πr²cos(θ) dθ

Answer

∫[0, π] πr²sin(θ) dθ

Question 23

Se desea calcular la longitud del arco de la parábola y = x² desde x = 0 hasta x = 2. ¿Cuál es la integral que representa la longitud del arco?

Accepted Answer

∫[0, 2] √(1 + 4x²) dx

Answer

∫[0, 2] √(1 + 2x²) dx

Answer

∫[0, 2] √(1 + x²) dx

Answer

∫[0, 2] √(1 + 8x²) dx

Question 24

Una tubería de 5 metros de longitud tiene un diámetro que varía linealmente desde 2 cm en un extremo hasta 4 cm en el otro extremo. ¿Cuál es el volumen de la tubería?

Accepted Answer

500π cm³

Answer

250π cm³

Answer

750π cm³

Answer

1000π cm³

Question 25

Un sistema de amortiguación para un vehículo se modela mediante la ecuación diferencial dy/dt + 2y = 0, donde y representa la posición del amortiguador. ¿Cuál es la integral que representa la solución general de esta ecuación?

Accepted Answer

y = Ce^(-2t)

Answer

y = Ce^(-t)

Answer

y = Ce^(t)

Answer

y = Ce^(2t)

Question 26

Se desea calcular el trabajo realizado para mover un objeto desde x = 1 hasta x = 4, si la fuerza aplicada es F(x) = x² + 1. ¿Cuál es la integral que representa el trabajo realizado?

Accepted Answer

∫[1, 4] (x² + 1) dx

Answer

∫[1, 4] (x² + 2) dx

Answer

∫[1, 4] (x + 1) dx

Answer

∫[1, 4] (x² - 1) dx

Question 27

¿Cuál de las siguientes integrales calcula el área bajo la curva y=x^2 en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0, 1] x^2 dx

Answer

∫[0, 1] (x^2 + 1) dx

Answer

∫[1, 0] x^2 dx

Answer

∫[1, 0] (x^2 - 1) dx

Question 28

¿Cuál es el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las curvas y=x y y=x^2 alrededor del eje x en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

π∫[0, 1] (x^2 - x^4) dx

Answer

π∫[0, 1] (x - x^3) dx

Answer

2π∫[0, 1] (x^2 - x^4) dx

Question 29

¿Cuál es la longitud del arco de la curva y=sen(x) en el intervalo [0, π/2]?

Accepted Answer

∫[0, π/2] √(1 + cos^2(x)) dx

Answer

∫[0, π/2] cos(x) dx

Answer

∫[0, π/2] sen(x) dx

Answer

∫[0, π/2] √(1 - cos^2(x)) dx

Question 30

¿Cuál es la aplicación de las integrales en el cálculo de la energía potencial gravitatoria?

Accepted Answer

Para calcular el trabajo realizado contra la fuerza gravitatoria al mover un objeto de una altura h a otra altura mayor.

Answer

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo.

Question 31

Para intercambiar el orden de integración en una integral doble, ¿qué teorema se utiliza?

Accepted Answer

Teorema de Fubini

Answer

Teorema de Green

Answer

Teorema Fundamental del Cálculo

Answer

Teorema del Valor Medio

Question 32

La integral doble que calcula el volumen del sólido delimitado por las superficies  z = x² + y² y z = 4 es:

Accepted Answer

∫∫[R] (4 - x² - y²) dA

Answer

∫∫[R] (x² - y² - 4) dA

Answer

∫∫[R] (x² + y² - 4) dA

Answer

∫∫[R] (4 - x² + y²) dA

Question 33

La integral triple que determina el volumen del sólido encerrado por las superficies x = 0, y = 0, z = 0 y x² + y² + z² = 1 es:

Accepted Answer

∫∫∫[E] 1 dV

Answer

∫∫∫[E] (x² + y² - z²) dV

Answer

∫∫∫[E] (1 - x² - y² - z²) dV

Answer

∫∫∫[E] (x² + y² + z²) dV

Question 34

Al rotar la región limitada por las curvas y = x² e y = 4 alrededor del eje x, se genera un sólido. ¿Cuál es su volumen?

Accepted Answer

16π/5

Answer

8π/3

Answer

2π/3

Answer

4π/3

Question 35

En el intervalo [0, π/4], las curvas y = sen(x) e y = cos(x) delimitan una región. ¿Cuál es su área?

Accepted Answer

√2 - 1

Answer

π/4 - 1

Answer

√2 + 1

Answer

π/4 + 1

Question 36

La longitud de la curva y = x³/3 + 1 en el intervalo [0, 1] es:

Accepted Answer

√(10/3)

Answer

√(2)

Answer

√(5/3)

Answer

√(13/3)

Question 37

La región limitada por las curvas y = x² e y = 2x tiene como centroide el punto:

Accepted Answer

(2/5, 4/5)

Answer

(1/2, 1/2)

Answer

(1/3, 1/3)

Answer

(1/4, 1/4)

Question 38

El momento de inercia respecto al eje y de la región limitada por las curvas y = x³ e y = x es:

Accepted Answer

8/15

Answer

16/15

Answer

1/15

Answer

4/15

Question 39

Una fuerza F(x) = 2x + 1 actúa sobre un objeto que se mueve a lo largo de la curva y = x² desde x = 0 hasta x = 1. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza?

Accepted Answer

5/3

Answer

7/3

Answer

2/3

Answer

4/3

Question 40

Una placa rectangular sumergida verticalmente en un fluido de densidad ρ tiene una profundidad h y un ancho b. La presión hidrostática sobre la placa es:

Accepted Answer

ρgh²/2

Answer

ρgh

Answer

ρgb

Answer

ρgb/2

Question 41

Hallar el flujo de un fluido a través de una tubería circular con radio r y longitud L, donde la velocidad del fluido es v(r)=cr^2.

Accepted Answer

πcLr^4/8

Answer

πcLr^2/4

Answer

πcLr^4/4

Answer

2πcLr^4/8

Question 42

Calcular la energía potencial almacenada en un resorte cuya constante elástica es k y que se estira una distancia x.

Accepted Answer

kx^2/2

Answer

kx/2

Answer

k^2x^2/2

Answer

k^2x/2

Question 43

Hallar la masa de una barra delgada de longitud L cuya densidad varía según la función ρ(x)=ax^2.

Accepted Answer

aL^4/4

Answer

aL^3/4

Answer

aL^4/8

Answer

aL^3/8