Definición de Integrales: Conceptos Básicos y Propiedades

Question 1

La propiedad que permite intercambiar el orden de integración en integrales dobles se conoce como:

Accepted Answer

Teorema de Fubini

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema de Stokes

Question 2

¿Cuál es la integral indefinida de sen(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sen(x) + C

Answer

sen(x) + C

Question 3

La integral ∫[0,π] cos(x) dx es:

Accepted Answer

Convergente

Answer

Divergente

Answer

Convergente a 0

Answer

Divergente a ∞

Question 4

¿Cuál es la integral de ∫(x^3 + 2x) dx?

Accepted Answer

x^4/4 + x^2 + C

Answer

x^4/4 - x^2 + C

Answer

4x^3/4 + 2x^2 + C

Answer

4x^3/4 - 2x^2 + C

Question 5

La integral de ∫sen(x)cos(x) dx es:

Accepted Answer

1/2 sen^2(x) + C

Answer

-1/2 sen^2(x) + C

Answer

1/2 cos^2(x) + C

Answer

-1/2 cos^2(x) + C

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la integral definida es FALSA?

Accepted Answer

La integral definida de una función puede ser infinita.

Answer

La integral definida representa el área bajo la curva de la función.

Answer

La integral definida puede ser positiva, cero o negativa.

Question 7

El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que:

Accepted Answer

La integral definida de una función es igual al valor de su primitiva evaluado en los límites de integración.

Answer

La integral de una derivada es igual a la función original.

Answer

La integral definida y la integral indefinida son siempre iguales.

Question 8

El método de integración por sustitución es útil para integrar funciones de la forma:

Accepted Answer

f(g(x)) g'(x)

Answer

f'(x) g(x)

Answer

g(f(x)) f'(x)

Question 9

La integral de cos(x) con respecto a x es:

Accepted Answer

sen(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sen(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 10

El área bajo la curva de la función y = sin(x) entre los puntos x = 0 y x = π/2 es:

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

π/2

Answer

0

Question 11

La integral impropia de ∫[1,∞] 1/x^2 dx es:

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

Divergente

Answer

0

Question 12

La integral de ∫[0,1] e^(-x^2) dx es:

Accepted Answer

√(π)/2

Answer

1

Answer

0

Answer

π/2

Question 13

Calcula el valor de la integral indefinida de x^2:

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

2x + C

Answer

x^2/2 + C

Answer

3x^2 + C

Question 14

La integral que representa el área bajo la curva y=x de x=0 a x=2 es:

Accepted Answer

∫[0, 2] x dx

Answer

∫[0, 2] y dx

Answer

∫[2, 0] x dx

Answer

∫[2, 0] y dx

Question 15

Explica la propiedad de las integrales que establece que ∫[a, b] cf(x) dx = c∫[a, b] f(x) dx, donde c es una constante:

Accepted Answer

La integral de un múltiplo constante de una función es igual al múltiplo constante de la integral de la función.

Answer

La integral de una función de a a b es igual al valor de la función en b menos su valor en a.

Answer

La integral de la derivada de una función es igual a la función menos su valor en un punto.

Answer

La integral del producto de dos funciones es igual a la suma de las integrales de cada función.

Question 16

¿Cuál de las siguientes integrales es adecuada para resolver mediante integración por partes?

Accepted Answer

∫x sin(x) dx

Answer

∫cos(x) dx

Answer

∫x^2 dx

Answer

∫e^x dx

Question 17

Expresa la fórmula general para la suma de una serie geométrica:

Accepted Answer

S = a/(1-r), donde a es el primer término, r es la razón común y |r| < 1

Answer

S = a(1 + r + r^2 + ...)

Answer

S = a + ar + ar^2 + ...

Question 18

Identifica la serie geométrica entre las siguientes opciones:

Accepted Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 + 4 + 9 + 16 + ...

Answer

1 + 3 + 5 + 7 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Question 19

Enuncia el Criterio de Convergencia de la Razón para series:

Accepted Answer

Si lim_(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = L, entonces la serie converge si L < 1 y diverge si L ≥ 1

Answer

Si lim_(n→∞) a_n = 0, entonces la serie converge

Answer

Si lim_(n→∞) a_n = ∞, entonces la serie diverge

Question 20

La integral de una función f(x) con respecto a x entre los límites a y b representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre a y b

Answer

El volumen del sólido generado al girar la curva de f(x) alrededor del eje x

Answer

La pendiente de la recta tangente a la curva de f(x) en a

Question 21

¿Cuál de las siguientes expresiones representa una integral indefinida?

Accepted Answer

∫ f(x) dx

Answer

d/dx f(x)

Answer

∑ f(x) Δx

Answer

f(x) / dx

Question 22

La derivada de la función ∫ f(x) dx con respecto a x es:

Accepted Answer

f(x)

Answer

0

Answer

d/dx f(x)

Answer

∫ f''(x) dx

Question 23

Calcular la integral ∫ (x^2 + 2x - 1) dx:

Accepted Answer

(x^3/3 + x^2 - x + C)

Answer

(3x^2 + 2x - 1 + C)

Answer

(x^2/2 + 2x^2 - x + C)

Answer

(x^3 + 2x - 1 + C)

Question 24

¿Cuál es la integral de la función f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

ln(e^x) + C

Answer

1 / e^x + C

Answer

x * e^x + C

Question 25

La integral ∫ (x * ln(x)) dx es:

Accepted Answer

(x^2 * ln(x)) / 2 - (x^2) / 4 + C

Answer

(x^2 * ln(x)) / 4 + C

Answer

ln(x) / 2 + C

Answer

(x * ln(x)) / 2 + C

Question 26

La integral indefinida de una función f(x) representa:

Accepted Answer

La familia de todas las funciones cuyas derivadas son f(x).

Answer

El área bajo la curva de f(x) en un intervalo dado.

Answer

El valor de la función f(x) en un punto específico.

Question 27

La integral definida de una función f(x) entre los límites a y b representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre los límites a y b.

Answer

El valor de la función f(x) en el punto b menos el valor en el punto a.

Answer

La derivada de f(x) en el punto b.

Question 28

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], ¿qué se puede decir sobre la integral definida de f(x) en ese intervalo?

Accepted Answer

La integral definida de f(x) existe y tiene un valor único.

Answer

La integral definida de f(x) no existe.

Answer

La integral definida de f(x) puede tener varios valores.

Question 29

Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la regla del trapecio es correcta?

Accepted Answer

La regla del trapecio aproxima el área bajo la curva mediante una serie de trapecios.

Answer

La regla del trapecio calcula el área exacta bajo la curva.

Answer

La regla del trapecio solo se puede aplicar a funciones lineales.

Question 30

¿Cuál de las siguientes expresiones representa una integral definida que calcula el área bajo la curva de la función f(x) entre los puntos x=a y x=b?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫ f(x) dx

Answer

d/dx ∫f(x) dx

Answer

f(x) dx

Question 31

¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación y la integración?

Accepted Answer

Si f(x) es continua en [a,b], entonces ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a), donde F(x) es una antiderivada de f(x)

Answer

Si f(x) es derivable en [a,b], entonces ∫[a,b] f(x) dx = f(b) - f(a)

Question 32

¿Cuál de las siguientes expresiones es una antiderivada de f(x) = x^2?

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

3x^2 + C

Answer

2x + C

Answer

x^2 + C

Question 33

¿Cuál es la integral indefinida de f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^(x+1) + C

Answer

xe^x + C

Question 34

¿Qué método de integración se utiliza para integrar funciones de la forma f(x)g(x)?

Accepted Answer

Integración por partes: u dv - v du

Answer

u v - du dv

Answer

du dv + v du

Answer

∫ u dv = u v - ∫ v du

Question 35

¿Cuál es la integral de la función f(x) = sen(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

-sen(x) + C

Answer

sen(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 36

¿Qué teorema permite intercambiar el orden de integración en una integral doble?

Accepted Answer

Teorema de Fubini

Answer

Teorema de la integral de Cauchy

Answer

Teorema del valor medio

Question 37

¿Cuál es la aplicación de las integrales en el cálculo de áreas?

Accepted Answer

El área bajo la curva de una función f(x) entre x=a y x=b es ∫[a,b] f(x) dx

Answer

El área bajo la curva de una función f(x) entre x=a y x=b es ∫[a,b] f'(x) dx

Answer

El área bajo la curva de una función f(x) entre x=a y x=b es f(x) dx

Question 38

¿Cuál es la integral de la función f(x) = x^2 + 3x - 2?

Accepted Answer

x^3/3 + 3x^2/2 - 2x + C

Answer

3x^2/2 + x - 2 + C

Answer

x^2/3 + 3x/2 - 2 + C

Answer

x^3/2 + 3x^2/3 - 2x + C

Question 39

¿Qué tipo de discontinuidad tiene la función f(x) = 1/x en x=0?

Accepted Answer

Discontinuidad esencial

Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad infinita

Answer

Discontinuidad evitable