Máximos y Mínimos: Aprende a Encontrar Extremos de Funciones

Question 1

Para la función f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1, de acuerdo con el Teorema de Fermat, el valor crítico es:

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 2

Calcula la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x³ - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = x² + 4x

Question 3

Usando el teorema de Rolle, demuestra que hay al menos un punto c en el intervalo [0, 1] tal que f'(c) = 0 para la función f(x) = x³ - 3x² + 2x.

Accepted Answer

f'(0) = -2 y f'(1) = 0, por lo que existe un punto c en (0, 1).

Answer

f'(0) = -2 y f'(1) = 2, por lo que no existe un punto c en (0, 1).

Answer

f'(0) = 0 y f'(1) = 2, por lo que no hay ningún punto c.

Question 4

Determina si la función f(x) = |x - 2| es derivable en x = 2.

Accepted Answer

No es derivable.

Answer

Derivable con f'(2) = 0

Answer

Derivable con f'(2) = 1

Answer

Derivable con f'(2) = -1

Question 5

Demuestra que la función f(x) = sen(x) no tiene máximos ni mínimos absolutos en el intervalo [-π, π].

Accepted Answer

f(-π) = f(π) = 0, y f(x) oscila entre -1 y 1 en el intervalo.

Answer

f(-π) = 0 y f(0) = 1, por lo que hay un máximo absoluto en 0.

Answer

f(-π) = -1 y f(π) = 1, por lo que existen máximos y mínimos absolutos en -π y π.

Question 6

Utilizando el teorema del valor medio, demuestra que existe un punto c en el intervalo [0, 1] tal que f'(c) = f(1) - f(0) para la función f(x) = x².

Accepted Answer

f(1) - f(0) = 1 y f'(x) = 2x, por lo que hay un punto c en (0, 1).

Answer

f(1) - f(0) = 1 y f'(x) = x, por lo que no hay un punto c en (0, 1).

Answer

f(1) - f(0) = 0 y f'(x) = 2x, por lo que no hay ningún punto c.

Question 7

Determinar la concavidad de la función f(x) = -x³ + 3x² - 2x + 1 en el intervalo (-∞, 1).

Accepted Answer

Cóncava hacia abajo

Answer

Cóncava hacia abajo en (-∞, 0) y cóncava hacia arriba en (0, 1)

Answer

Cóncava hacia arriba

Question 8

Calcula el máximo de la función g(x) = -x² + 4x - 3.

Accepted Answer

x = 2, g(2) = 3

Answer

x = -2, g(-2) = 3

Answer

x = 0, g(0) = -3

Answer

x = 4, g(4) = -3

Question 9

Calcula el mínimo absoluto de la función h(x) = sen(x) - cos(x) en el intervalo [0, 2π].

Accepted Answer

x = 3π/4, h(3π/4) = -√2

Answer

x = π/2, h(π/2) = 1

Answer

x = 0, h(0) = 0

Answer

x = π, h(π) = 0

Question 10

Calcula el máximo absoluto de la función p(x) = 2x³ - 3x² + 1 en el intervalo [-1, 2].

Accepted Answer

Máximo absoluto: x = 2/3, p(2/3) = 13/9

Answer

Mínimo absoluto: x = 2/3, p(2/3) = 13/9

Answer

Máximo absoluto: x = -1, p(-1) = 0

Answer

Mínimo absoluto: x = -1, p(-1) = 0

Question 11

Sea q(x) = e^x - e^(-x). ¿En qué punto tiene un mínimo?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

No tiene mínimo

Answer

x = -1

Question 12

Calcula la derivada de la función **f(x) = x³ - 2x² + 1**

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

-4x + 1

Answer

x³ - 2x

Answer

2x³ - 4x

Question 13

Determina el tipo de extremo de la función **f(x) = x² - 4x + 3** en el punto **x = 2**

Accepted Answer

Mínimo

Answer

No hay extremo

Answer

Máximo

Answer

Punto de inflexión

Question 14

Determina el valor máximo de la función **f(x) = -x² + 4x - 3** en el intervalo **[0, 3]**

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

1

Answer

7

Question 15

Determina el máximo absoluto de la función **f(x) = 2x³ - 3x² + 1** en el intervalo **[-2, 2]**

Accepted Answer

9

Answer

No tiene máximo absoluto

Answer

1

Answer

-9

Question 16

Determina el valor de la derivada de la función f(x) = log₂(x) en el punto x = 2.

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Question 17

Determina si la función f(x) = sen(x) tiene un mínimo en x = π/2. Justifica tu respuesta utilizando el Teorema de Fermat.

Accepted Answer

No, tiene un máximo

Answer

Sí, tiene un punto de inflexión

Answer

No, no tiene extremos

Answer

Sí, tiene un mínimo

Question 18

¿Cuál de las siguientes funciones NO tiene un mínimo? Justifica tu respuesta.

Accepted Answer

f(x) = x⁴ + 2x²

Answer

f(x) = (x - 1)²

Answer

f(x) = -x³ + 3x

Answer

f(x) = sen(x) + cos(x)

Question 19

Sea f(x) una función continua y diferenciable. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? Justifica tu respuesta.

Accepted Answer

Si f'(x) cambia de signo en x = a, entonces f(a) es un extremo

Answer

Si f'(x) es cero en x = a, entonces f(a) es un extremo

Answer

Si f''(x) es positiva en x = a, entonces f(a) es un máximo

Question 20

Calcula el mínimo absoluto de la función f(x) = |x - 2| en el intervalo [0, 4]. Justifica tu respuesta.

Accepted Answer

0

Answer

6

Answer

2

Answer

4

Question 21

¿Cuál de las siguientes funciones es creciente en todo su dominio? Justifica tu respuesta.

Accepted Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = -x² + 2x

Answer

f(x) = sen(x)

Question 22

Sea f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1. ¿En qué punto la función alcanza su mínimo local?

Accepted Answer

x = 2/3

Answer

x = -1

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Question 23

Halla el punto crítico de la función f(x) = x^4 - 2x^2.

Accepted Answer

x = 0

Answer

La función no tiene puntos críticos

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Question 24

Sea f(x) = sen(x) - cos(x). ¿Para qué valor de x la función alcanza su máximo global en el intervalo [0, π/2]?

Accepted Answer

x = π/4

Answer

x = 0

Answer

La función no alcanza ningún máximo en este intervalo

Answer

x = π/2

Question 25

Considera la función f(x) = (x - 1)^2. ¿Es esta función creciente o decreciente en el intervalo (-∞, 1)?

Accepted Answer

Creciente

Answer

Decreciente

Answer

No se puede determinar

Answer

Constante

Question 26

Sea f(x) = ln(x^2 + 1). ¿Cuál es el máximo valor de la función en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

ln(2)

Answer

La función no alcanza ningún máximo en este intervalo

Answer

0

Answer

ln(1)

Question 27

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa sobre los puntos críticos de una función?

Accepted Answer

Un punto crítico es siempre un máximo o mínimo local.

Answer

Un punto crítico puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.

Answer

Un punto crítico es un punto donde la derivada es cero o no definida.

Question 28

Sea f(x) = e^(-x^2). ¿En qué intervalo la función es estrictamente creciente?

Accepted Answer

(-∞, 0)

Answer

(-1, 1)

Answer

La función no es estrictamente creciente en ningún intervalo

Answer

(0, ∞)

Question 29

¿Cuál es el mínimo valor de la función f(x) = x^2 - 4x + 5 en el intervalo [1, 3]?

Accepted Answer

0

Answer

5

Answer

La función no alcanza ningún mínimo en este intervalo

Answer

-4

Question 30

Sea f(x) = |x - 2|. ¿Cuál es el máximo valor de la función en el intervalo [-1, 3]?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

-1

Answer

La función no alcanza ningún máximo en este intervalo

Question 31

¿Cuál de las siguientes funciones no tiene extremos?

Accepted Answer

f(x) = x^3 + 2x + 1

Answer

f(x) = x^2 - 4x + 3

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = e^(-x^2)

Question 32

Sea f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. ¿Cuáles son los puntos críticos de f(x)?

Accepted Answer

x = 0 y x = 2

Answer

x = 1 y x = 2

Answer

x = 0 y x = 1

Answer

x = -1 y x = 1

Question 33

Si f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2, ¿en qué intervalo(s) es f(x) creciente?

Accepted Answer

(0, 2)

Answer

(2, ∞)

Answer

(-∞, 0)

Answer

(-∞, 0) ∪ (2, ∞)

Question 34

Sea f(x) = x^3 - 3x. ¿En qué punto(s) tiene f(x) un punto de inflexión?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

No tiene puntos de inflexión

Answer

x = 1

Question 35

Aplicando el teorema de Fermat, ¿en qué punto(s) la función f(x) = x^2 - 4x + 3 alcanza un mínimo local?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 3

Question 36

La función f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x tiene un máximo local en x = 1. ¿Cuál es el valor del máximo local?

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

3

Answer

0

Question 37

Una función f(x) tiene un punto crítico en x = a. Si f'(a) = 0 y f''(a) < 0, ¿qué tipo de punto crítico tiene f(x) en x = a?

Accepted Answer

Máximo local

Answer

No se puede determinar

Answer

Punto de inflexión

Answer

Mínimo local

Question 38

Sea f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2. ¿Cuál es el valor mínimo absoluto de f(x) en el intervalo [0, 3]?

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

6

Question 39

La función f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 tiene un máximo absoluto en x = 0. ¿Cuál es el valor del máximo absoluto?

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

3

Answer

1

Question 40

Una empresa produce x unidades de un producto y su función de costo total es C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x. ¿Cuántas unidades deben producirse para minimizar el costo total?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Question 41

Una función f(x) satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [a, b]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

Accepted Answer

Existe al menos un punto c en (a, b) donde f'(c) = 0.

Answer

f(x) es una función constante en [a, b].

Answer

f(a) = f(b) = 0.