Aplicaciones del Álgebra Lineal en Ingeniería: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

Resolver el sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer: 
2x + 3y = 7 
4x - 5y = 11

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

x = 1, y = 2

Answer

x = 3, y = 2

Answer

El sistema es incompatible

Question 2

Identifica la ecuación que representa un sistema homogéneo de ecuaciones lineales:

Accepted Answer

3x + 2y = 0 y 4x - y = 0

Answer

3x + 2y = 1 y 4x - y = 3

Answer

2x + 3y = 5 y x - 2y = 1

Question 3

Identifica la transformación lineal que representa una rotación en el plano:

Accepted Answer

T(x, y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)

Answer

T(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

T(x, y) = (2x, 3y)

Question 4

Identifica la base para el espacio vectorial R³:

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)}

Answer

{(2, 1, 0), (3, 2, 1), (4, 3, 2)}

Question 5

Calcula la dimensión del núcleo de la transformación lineal T(x, y, z) = (2x + y, x - z):

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Question 6

¿Cuál de las siguientes es una aplicación del Álgebra Lineal en Ingeniería Industrial?

Accepted Answer

Análisis de circuitos eléctricos y sistemas de control

Answer

Diseño de experimentos psicológicos

Answer

Estudio de la física nuclear

Answer

Investigación de mercados

Question 7

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = b, donde A es una matriz nxn, puede resolverse mediante:

Accepted Answer

Eliminación gaussiana o métodos numéricos como factorización LU o QR

Answer

Solo eliminación gaussiana

Answer

Factorización prima

Answer

Solo métodos numéricos

Question 8

¿En qué área de la Ingeniería Industrial se utilizan las transformaciones lineales para analizar problemas de dinámica?

Accepted Answer

Mecánica de sólidos deformables y fluidos

Answer

Control de calidad

Answer

Procesos de manufactura

Answer

Ingeniería eléctrica

Question 9

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple con:

Accepted Answer

Suma y multiplicación escalar

Answer

Producto escalar y producto vectorial

Answer

Solo resta de vectores

Answer

Adición y sustracción

Question 10

La descomposición QR de una matriz A es una factorización de la forma:

Accepted Answer

A = QR, donde Q es ortogonal y R es triangular superior

Answer

A = QR, donde Q es triangular inferior y R es ortogonal

Answer

A = QR, donde Q es triangular superior y R es ortogonal

Answer

A = QR, donde Q es ortogonal y R es triangular inferior

Question 11

¿Qué método se utiliza para encontrar el máximo o mínimo de una función cuadrática expresada en forma matricial?

Accepted Answer

Programación lineal cuadrática

Answer

Programación dinámica

Answer

Búsqueda local

Answer

Algoritmos genéticos

Question 12

Un polinomio característico es:

Accepted Answer

El determinante de una matriz menos lambda multiplicada por la matriz identidad.

Answer

El producto de los autovalores de una matriz.

Answer

La inversa de una matriz menos lambda.

Answer

El determinante de una matriz más lambda multiplicada por la matriz identidad.

Question 13

Los valores propios de una matriz simétrica son:

Accepted Answer

Siempre reales

Answer

Siempre distintos

Answer

Siempre complejos

Answer

Siempre positivos

Question 14

El método de **Gauss-Jordan** se puede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales cuando:

Accepted Answer

La matriz de coeficientes es cuadrada y no singular

Answer

La matriz de coeficientes es singular

Answer

La matriz de coeficientes no es cuadrada

Question 15

Dada la norma euclidiana, la norma del vector v = [1, 2, 3] en el espacio R^{3} es:

Accepted Answer

√14

Answer

√3

Answer

14

Answer

3

Question 16

El producto interno de los vectores u = [2, 1] y v = [3, 4] en el espacio R^{2} es:

Accepted Answer

11

Answer

-5

Answer

1

Answer

5

Question 17

Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. ¿Cuántas ecuaciones como mínimo se necesitan para garantizar que el sistema tenga una única solución?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

4

Answer

2

Question 18

Dada la transformación lineal T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x + y, x - y), ¿cuál es la matriz de transformación asociada?

Accepted Answer

[[2, 1], [1, -1]]

Answer

[[2, -1], [1, 1]]

Answer

[[1, 1], [2, -1]]

Answer

[[1, 2], [-1, 1]]

Question 19

Un ingeniero modela un puente como una viga con una carga distribuida uniformemente. ¿Qué método del Álgebra Lineal es útil para analizar la distribución de fuerzas en la viga?

Accepted Answer

El método de los elementos finitos

Answer

La diagonalización de matrices

Answer

La regla de Cramer

Answer

El método de Gauss-Jordan

Question 20

En un circuito eléctrico con tres resistencias conectadas en serie, la corriente en cada resistencia se representa por un vector. ¿Qué operación del Álgebra Lineal se utiliza para determinar la corriente total en el circuito?

Accepted Answer

Suma de vectores

Answer

Producto escalar

Answer

Producto vectorial

Answer

Determinante de la matriz

Question 21

Se tiene una matriz A de tamaño 3x3. ¿Qué se puede afirmar sobre los autovalores de A?

Accepted Answer

Los autovalores de A pueden ser reales o complejos.

Answer

Los autovalores de A siempre son reales.

Answer

Los autovalores de A siempre son negativos.

Answer

Los autovalores de A siempre son positivos.

Question 22

Una empresa produce dos productos, A y B. La producción diaria se ve limitada por tres recursos: materia prima, mano de obra y tiempo de máquina.  Se conoce la cantidad de cada recurso que necesita cada producto.  La empresa quiere maximizar sus beneficios. ¿Qué método del Álgebra Lineal se puede usar para determinar la cantidad óptima de cada producto a producir?

Accepted Answer

Programación lineal

Answer

Diagonalización de matrices

Answer

Regla de Cramer

Answer

Método de Gauss-Jordan

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre la inversa de una matriz?

Accepted Answer

La inversa de una matriz, si existe, es única.

Answer

La inversa de una matriz es siempre otra matriz del mismo tamaño.

Answer

Toda matriz tiene inversa.

Answer

La inversa de una matriz se calcula multiplicando cada elemento por -1.

Question 24

Un sistema de ecuaciones lineales describe el equilibrio de fuerzas en una estructura. ¿Qué indica la existencia de una solución única?

Accepted Answer

La estructura es estáticamente determinada.

Answer

La estructura es inestable.

Answer

La estructura es estáticamente indeterminada.

Answer

No se puede determinar la estabilidad de la estructura.

Question 25

Se aplica una transformación lineal a un vector en R², resultando en un vector con la misma dirección pero el doble de magnitud. ¿Qué tipo de transformación lineal se aplicó?

Accepted Answer

Dilatación

Answer

Rotación

Answer

Proyección

Answer

Reflexión

Question 26

Una matriz de transformación representa una rotación de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj en R². ¿Cuál es el determinante de esta matriz?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Question 27

Un sistema de ecuaciones lineales tiene la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. ¿Qué condición garantiza que el sistema tenga una solución única?

Accepted Answer

El determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero.

Answer

El determinante de la matriz de coeficientes es cero.

Answer

La matriz de coeficientes es simétrica.

Question 28

Se aplica el método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales. ¿Cuál es el objetivo final de este proceso?

Accepted Answer

Transformar la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida por filas.

Answer

Encontrar el determinante de la matriz de coeficientes.

Answer

Calcular la inversa de la matriz de coeficientes.

Question 29

En el análisis de circuitos eléctricos, se utiliza un sistema de ecuaciones lineales para determinar las corrientes en cada rama del circuito. ¿Qué ley física se utiliza para establecer estas ecuaciones?

Accepted Answer

Leyes de Kirchhoff

Answer

Ley de Coulomb

Answer

Ley de Faraday

Answer

Ley de Ohm

Question 30

Una transformación lineal se representa mediante una matriz A. ¿Cómo se puede determinar si la transformación es invertible?

Accepted Answer

Calculando el determinante de A. Si es diferente de cero, la transformación es invertible.

Answer

Verificando si A es una matriz simétrica.

Answer

Calculando el determinante de A. Si es igual a cero, la transformación es invertible.

Question 31

En el procesamiento de imágenes digitales, se utilizan matrices para representar las imágenes. ¿Qué tipo de transformación lineal se utiliza para rotar una imagen alrededor de un punto?

Accepted Answer

Combinación de traslación, rotación y traslación.

Answer

Solo rotación.

Answer

Combinación de escalado y traslación.

Answer

Solo traslación.

Question 32

Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. ¿Cómo se denomina este tipo de sistema?

Accepted Answer

Incompatible

Answer

Compatible indeterminado

Answer

Compatible determinado

Answer

Homogéneo

Question 33

Se quiere encontrar una base para el espacio vectorial generado por un conjunto de vectores. ¿Qué técnica del álgebra lineal se utiliza para este propósito?

Accepted Answer

Eliminación Gaussiana

Answer

Regla de Cramer

Answer

Producto escalar

Answer

Producto vectorial