Límites y Continuidad: Cuestionarios interactivos para Matemáticas Aplicadas

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el límite de una función es correcta?

Accepted Answer

El límite de una función es el valor al que se acerca la función cuando el argumento se acerca a un valor determinado.

Answer

El límite de una función siempre existe.

Question 2

¿Cuál de los siguientes es un teorema fundamental sobre límites?

Accepted Answer

Teorema del límite

Answer

Teorema de Taylor

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema del valor medio

Question 3

¿Qué tipo de discontinuidad se produce cuando el límite izquierdo y derecho de una función son diferentes?

Accepted Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad infinita

Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad esencial

Question 4

¿Cuál es la definición de una función continua en un punto?

Accepted Answer

El límite de la función en el punto es igual al valor de la función en el punto.

Answer

La función es diferenciable en el punto.

Answer

La derivada de la función en el punto es cero.

Question 5

¿Cuál de los siguientes teoremas establece una condición suficiente para que una función sea continua en un intervalo?

Accepted Answer

Teorema de continuidad

Answer

Teorema de la función inversa

Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema del valor extremo

Question 6

¿Cuál de las siguientes es una limitación del uso de límites y continuidad en la práctica de la ingeniería?

Accepted Answer

Pueden no capturar completamente el comportamiento no lineal o discontinuo de los sistemas físicos.

Answer

Requieren un conocimiento avanzado de matemáticas

Answer

Son demasiado teóricos para ser útiles en aplicaciones prácticas.

Question 7

Calcular el límite de la función f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3) cuando x tiende a 3.

Accepted Answer

6

Answer

3

Answer

0

Question 8

¿Cuál es la definición de límite de una función f(x) en a?

Accepted Answer

Límite de f(x) en a es el valor L al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a a.

Answer

Límite de f(x) en a es el valor de f(a).

Answer

Límite de f(x) en a es el valor más pequeño de f(x) cuando x está cerca de a.

Question 9

¿Cuál de los siguientes teoremas permite hallar el límite de un producto de funciones?

Accepted Answer

Teorema del Producto de Límites

Answer

Teorema del Cociente de Límites

Answer

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Answer

Teorema del Valor Intermedio

Question 10

¿Qué significa que una función f(x) sea continua en a?

Accepted Answer

Los límites por la derecha y por la izquierda de f(x) en a son iguales y coinciden con f(a).

Answer

La función es diferenciable en a.

Answer

La función tiene una derivada en a.

Question 11

¿Cuál es la definición de derivada de una función f(x) en a?

Accepted Answer

El límite del cociente incremental cuando el incremento h tiende a 0.

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en a.

Answer

La velocidad instantánea de cambio de f(x) en a.

Question 12

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x³ + 2x² - 1?

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

x³ + 2x

Answer

3x + 4

Answer

x² + 4x

Question 13

¿Cuál es el significado geométrico de la derivada de una función f(x) en a?

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en a.

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la gráfica de f(x) alrededor del eje x de a a b.

Answer

El área bajo la curva de f(x) de a a b.

Question 14

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una derivada discontinua en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = x²

Question 15

Determinar si la función **f(x) = |x|** es continua en **x = 0**. Considera las condiciones de continuidad en un punto.

Accepted Answer

Falso

Answer

No se puede determinar

Answer

Verdadero

Answer

Depende del valor de x

Question 16

Entre los siguientes teoremas, ¿cuál permite evaluar el límite de una función cuando tanto el numerador como el denominador tienden a cero?

Accepted Answer

L'Hôpital

Answer

Relación de Cauchy

Answer

Factorización

Answer

Conjugación

Question 17

Determinar si la función **f(x) = x²** si **x** es racional y **f(x) = x + 1** si **x** es irracional es continua en **x = 0**. Identifica las discontinuidades removibles.

Accepted Answer

Falso

Answer

Verdadero

Answer

Depende del valor de x

Answer

No se puede determinar

Question 18

Para qué valor de *c* la función *f(x)* definida por partes:

*f(x) = x² - 3x + c* si *x < 1*
 *f(x) = 2x* si *x ≥ 1*

es continua en *x = 1*?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

3

Question 19

Calcula el límite de la función *f(x) = sen(x) / x* cuando *x* tiende a 0.

Accepted Answer

1

Answer

Infinito

Answer

0

Answer

No existe

Question 20

La función *f(x)* definida por partes:

*f(x) = 1* si *x* es racional
 *f(x) = 0* si *x* es irracional

¿es continua en *x = π*?

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua por la izquierda pero no por la derecha

Answer

Es continua

Question 21

La función *f(x) = 1 / √x*  ¿es continua en *x = 0*?

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua

Answer

Es continua por la derecha pero no por la izquierda

Answer

Es continua por la izquierda pero no por la derecha

Question 22

¿Cuál es la definición de límite de una función *f(x)* en un punto *a*?

Accepted Answer

El valor al que se aproxima *f(x)* cuando *x* se acerca a *a* desde ambos lados, si este valor existe.

Answer

El valor máximo de *f(x)* en el punto *a*.

Answer

El valor mínimo de *f(x)* en el punto *a*.

Question 23

Si el límite de una función *f(x)* cuando *x* tiende a infinito es infinito, ¿qué podemos concluir sobre la gráfica de la función?

Accepted Answer

La gráfica de la función tiene asíntotas verticales.

Answer

La gráfica de la función es una parábola.

Answer

La gráfica de la función es una recta horizontal.

Question 24

¿Cuál de los siguientes teoremas asegura que si *f(x)* y *g(x)* son continuas en un intervalo *I* y *a* y *b* son constantes, entonces *af(x) + bg(x)* es continua en el intervalo *I*?

Accepted Answer

Teorema de la suma y la diferencia de funciones continuas

Answer

Teorema del producto

Answer

Teorema del cociente

Answer

Teorema del límite

Question 25

Si *lim_(x->a) f(x) = L* y *lim_(x->a) g(x) = M*, ¿qué podemos decir sobre *lim_(x->a) [f(x) - g(x)]*?

Accepted Answer

L - M

Answer

El límite no existe

Answer

L + M

Answer

LM

Question 26

Determina el valor de la constante *c* para que la función *f(x)* definida por partes:

*f(x) = x² + 1* si *x ≤ 1*
 *f(x) = cx - 1* si *x > 1*

sea continua en *x = 1*.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 27

Calcula el límite de la función *f(x) = (x² - 4) / (x - 2)* cuando *x* tiende a 2.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

No existe

Question 28

¿Cuál es el límite de la función g(x) = (sin(x)) / x cuando x tiende a 0?

Accepted Answer

1

Answer

Infinito

Answer

0

Answer

No existe

Question 29

La función f(x) = 1 / (x - 1) es discontinua en x = 1. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta?

Accepted Answer

Discontinuidad esencial

Answer

Discontinuidad evitable

Answer

No es discontinua en x = 1

Answer

Discontinuidad de salto

Question 30

En la función k(x) = (x^2 - 1) / (x - 1), ¿en qué punto se presenta una discontinuidad?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

La función es continua en todos los puntos

Question 31

Según el teorema del valor intermedio, ¿por qué la función f(x) = x^3 - x - 1 tiene al menos una raíz en el intervalo [1, 2]?

Accepted Answer

f(1) = -1 y f(2) = 5, por lo que existe un punto c en (1, 2) tal que f(c) = 0.

Answer

La función es continua en el intervalo [1, 2], por lo que existe una raíz en ese intervalo.

Answer

f(1) = 1 y f(2) = 2, por lo que existe un punto c en (1, 2) tal que f(c) = 0.

Answer

f(1) = 0 y f(2) = 1, por lo que existe un punto c en (1, 2) tal que f(c) = 0.

Question 32

Para que la función p(x) = { x^2 - 1, x < 2; ax + 1, x >= 2 } sea continua en x = 2, ¿qué valor debe tener a?

Accepted Answer

a = 3

Answer

a = 1

Answer

a = -1

Answer

No existe ningún valor de a que haga que la función sea continua.

Question 33

Si el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y el límite de g(x) cuando x tiende a a es M, ¿cuál es el límite de f(x) + g(x) cuando x tiende a a?

Accepted Answer

L + M

Answer

L / M

Answer

L * M

Answer

L - M

Question 34

La función q(x) = 1 / (x^2 - 1) ¿es continua en x = 1?

Accepted Answer

No, porque la función no está definida en x = 1.

Answer

Sí, porque la función está definida en x = 1.

Answer

No se puede determinar.

Answer

Sí, porque el límite por la izquierda y el límite por la derecha coinciden.

Question 35

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza que una función sea continua en un punto?

Accepted Answer

El límite de la función cuando x tiende al punto es igual al valor de la función en el punto.

Answer

La función es creciente en el punto.

Answer

La función es derivable en el punto.

Answer

La función es acotada en el punto.

Question 36

Calcula el límite cuando x tiende a 0 de (sin(x) - x) / x^3.

Accepted Answer

1/6

Answer

0

Answer

Infinito

Answer

1/2

Question 37

Si f(x) = x^2 + 1, ¿en qué intervalo(s) f(x) es creciente?

Accepted Answer

Todo el dominio real

Answer

Sólo en x >= 0

Answer

Sólo en x != 0

Answer

Sólo en x <= 0

Question 38

Calcula el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x² - 1.

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Answer

1

Question 39

¿Cuál es la definición de límite de una función?

Accepted Answer

El valor al que tiende la función cuando la variable independiente se acerca a un valor dado

Answer

El valor máximo que puede tomar la función

Answer

El valor mínimo que puede tomar la función

Question 40

Evalúa el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = (x - 2)²

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

No existe

Answer

4

Question 41

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todo el conjunto de los números reales?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 2x

Answer

f(x) = x^(1/2)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 42

Encuentra el valor de c que hace que la función f(x) = (x² - 4)/(x - 2) sea continua en x = 2.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 43

Dada la función f(x) = { x² si x ≤ 1, 2x - 1 si x > 1 }, ¿es continua en x = 1?

Accepted Answer

No

Answer

Depende del valor de x

Answer

No se puede determinar

Answer

Sí

Question 44

¿Cuál es el límite cuando x tiende a infinito de la función f(x) = (sen(x))²?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Infinito

Question 45

Evalúa la derivada de la función f(x) = √(x³ + 2) en x = 1.

Accepted Answer

3/2

Answer

2

Answer

1/2

Answer

No existe

Question 46

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una asíntota horizontal en y = 2?

Accepted Answer

f(x) = (2x + 1)/(x - 1)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x² + 2

Answer

f(x) = sen(x)

Question 47

Encuentra el valor de x para el cual la función f(x) = (x - 1)/(x² - 1) tiene una asíntota vertical.

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = -1

Question 48

Dada la función f(x) = { x si x es racional, 0 si x es irracional }, ¿es continua en algún punto?

Accepted Answer

No

Answer

Sí, en el punto x = 0

Answer

Sí, en todos los puntos irracionales

Answer

Sí, en todos los puntos racionales