Aplicaciones de las Series: Cálculo de Funciones y Ecuaciones Diferenciales

Question 1

Demostrar que la serie ∑(n=2 a infinito) 1/n(ln(n))² es divergente usando la prueba de comparación con la serie armónica

Accepted Answer

Usar la prueba de comparación con la serie armónica

Answer

Usar la prueba de la raíz

Answer

Usar la prueba del cociente

Answer

Usar la prueba de comparación con la serie geométrica

Question 2

¿Cuál de los siguientes NO es un uso válido de las series?

Accepted Answer

Resolver ecuaciones trigonométricas

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Aproximar funciones

Answer

Evaluar integrales

Question 3

¿Cuál es el término general de la siguiente serie geométrica: 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ...?

Accepted Answer

1/2^n

Answer

1/4^n

Answer

1/n^2

Answer

1/n^(1/2)

Question 4

Determina si la siguiente serie es convergente o divergente: ∑(n=1 a ∞) (-1)^n/(n^3 + 1)

Accepted Answer

Convergente

Answer

Armónica

Answer

Alternada

Answer

Divergente

Question 5

¿Cuál es la suma de la siguiente serie telescópica: ∑(n=1 a ∞) (1/n - 1/(n+1))?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Question 6

Determina si la siguiente serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente: ∑(n=1 a ∞) (-1)^n / n

Accepted Answer

Condicionalmente convergente

Answer

Alternada

Answer

Divergente

Answer

Absolutamente convergente

Question 7

¿Cuál de las siguientes es la serie de Fourier de la función f(x) = x^2 en el intervalo [-π, π]?

Accepted Answer

∑(((((-1)^(n+1)) * (4 / n^3)) * sin(nx)))

Answer

∑(((x^n))) / n

Answer

∑(((sin(nx)) / n))

Answer

∑(((cos(nx)) / n))

Question 8

Determina cuál es la serie para calcular el seno de un ángulo:

Accepted Answer

seno(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ...

Answer

seno(x) = x + x³/3! + x⁵/5! - ...

Answer

seno(x) = x² - x⁴/4! + x⁶/6! - ...

Answer

seno(x) = 2x - x³/3! + x⁵/5! - ...

Question 9

Identifica la serie correcta para calcular la exponencial:

Accepted Answer

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

Answer

e^x = 1 + 2x + x³/3! + x⁴/4! + ...

Answer

e^x = 1 - x + x²/2! - x³/3! + ...

Answer

e^x = 2x + x²/2! + x³/3! + ...

Question 10

¿Cuál de las siguientes series NO converge?

Accepted Answer

Σ (n=1 to ∞) 1/n

Answer

Σ (n=1 to ∞) 1/(n+1)

Answer

Σ (n=1 to ∞) 1/n²

Answer

Σ (n=1 to ∞) 1/2^n

Question 11

Calcula el valor de la serie (displaystylesum_{n=1}^infty rac{(-1)^{n}}{n^2}).

Accepted Answer

Converge a (rac{pi^2}{6})

Answer

Diverge

Answer

Converge a 0

Answer

Converge a 1

Question 12

Determina la suma de la serie geométrica (displaystylesum_{n=0}^infty left(rac{1}{2}ight)^n).

Accepted Answer

2

Answer

Diverge

Answer

1

Answer

1/2

Question 13

Consider the series ∑(n=1 a ∞) (-1)^(n+1) / n^2. Which of the following is true about this series?

Accepted Answer

It converges to π²/6

Answer

It converges to π²/12

Answer

It diverges

Answer

It converges to e

Question 14

Find the sum of the series ∑(n=1 a ∞) (2n + 1) / (4n^2 - 1)

Accepted Answer

π/4

Answer

1/4

Answer

Diverge

Answer

π/2

Question 15

Determine the radius of convergence of the power series ∑(n=1 a ∞) (x - 2)^n / n^3.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

∞

Answer

0

Question 16

Find the Taylor series representation of the function f(x) = e^x centered at x = 0.

Accepted Answer

∑(n=0 a ∞) x^n / n!

Answer

∑(n=1 a ∞) x^n / n

Answer

∑(n=1 a ∞) (x + 1)^n / n

Answer

∑(n=0 a ∞) (x - 1)^n / n!

Question 17

Determine the interval of convergence for the series ∑(n=1 a ∞) (x^n) / (n^2 + 1).

Accepted Answer

(-1, 1]

Answer

(-1, 1)

Answer

(-∞, -1) U (1, ∞)

Answer

[-1, 1]

Question 18

Find the Maclaurin series representation of the function f(x) = ln(1 + x).

Accepted Answer

∑(n=1 a ∞) (-1)^(n+1) x^n / n

Answer

∑(n=0 a ∞) x^n / n

Answer

∑(n=1 a ∞) x^n / n^2

Question 19

Use the Maclaurin series representation of cos(x) to find the value of cos(π/3).

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

0

Answer

-1/2

Question 20

Determine the equation of the tangent line to the curve y = e^x at the point (0, 1).

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x

Question 21

Find the area under the curve y = 1 / (1 + x^2) between x = 0 and x = 1.

Accepted Answer

π/4

Answer

1

Answer

π/2

Answer

1/2

Question 22

¿Cuál de las siguientes series es la expansión en serie de la función seno?

Accepted Answer

∑[k=0,∞] (-1)^k * x^(2k+1) / (2k+1)!

Answer

∑[k=0,∞] (-1)^k * x^2k / (2k)!

Answer

∑[k=0,∞] x^(2k+1) / (2k+1)

Answer

∑[k=0,∞] x^k / k!

Question 23

¿Cuál es el valor de la suma de la serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?

Accepted Answer

2

Answer

1/2

Answer

∞

Answer

1

Question 24

¿Cuál de las siguientes series converge absolutamente?

Accepted Answer

∑[k=1,∞] (-1)^k / k^2

Answer

∑[k=1,∞] (-1)^k / k

Answer

∑[k=1,∞] 1 / k

Question 25

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias ∑[k=1,∞] x^k / k?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

e

Question 26

¿Cuál de las siguientes integrales se puede resolver mediante la expansión en serie de la función integrando?

Accepted Answer

∫[0,1] e^(-x^2) dx

Answer

∫[0,1] x ln(x) dx

Answer

∫[0,1] 1 / x dx

Answer

∫[0,1] sin(x) dx

Question 27

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial y'' + y = 0?

Accepted Answer

y = c1 cos(x) + c2 sin(x)

Answer

y = c1 ln(x) + c2

Answer

y = c1 e^x + c2 e^(-x)

Answer

y = c1 x + c2

Question 28

¿Cuál de las siguientes series es la expansión en serie de la función exponencial?

Accepted Answer

∑[k=0,∞] x^k / k!

Answer

∑[k=0,∞] x^2k / (2k)!

Answer

∑[k=0,∞] (-1)^k * x^(2k+1) / (2k+1)!

Answer

∑[k=0,∞] x^(2k+1) / (2k+1)

Question 29

¿Cuál es el valor de la siguiente integral impropia: ∫[0,∞] e^(-x) / (1+x) dx?

Accepted Answer

ln(2)

Answer

e

Answer

1

Question 30

¿Cuál de las siguientes series representa la función gamma?

Accepted Answer

Γ(z) = ∫[0,∞] t^(z-1) * e^(-t) dt

Answer

Γ(z) = ∑[k=1,∞] k^(-z)

Answer

Γ(z) = lim[n→∞] n! * z^n

Answer

Γ(z) = ∏[k=1,∞] (1 + 1/k)^z

Question 31

¿Cuál es el orden de convergencia de la serie de Taylor para la función e^x centrada en x=0?

Accepted Answer

Exponencial

Answer

Cúbico

Answer

Lineal

Answer

Cuadrático

Question 32

¿Cuál de las siguientes series representa la función seno?

Accepted Answer

∑ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑ e^x / n

Answer

∑ x^(2n) / (2n)!

Answer

∑ x^n / n

Question 33

¿Qué serie permite calcular el valor de e?

Accepted Answer

∑ x^n / n!

Answer

∑ sin(x^n)

Answer

∑ x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑ cos(x^n)

Question 34

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial y' - y = x mediante series?

Accepted Answer

c + x - x^2/2! + x^3/3! - ...

Answer

c + x - 2x^2/2! + 3x^3/3! + ...

Answer

c + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Answer

c + x - x^2/2! - x^3/3! + ...

Question 35

¿Qué método se utiliza para encontrar el intervalo de convergencia de una serie?

Accepted Answer

Criterio de la razón

Answer

Criterio de comparación

Answer

Criterio de la derivada

Answer

Criterio de la integral

Question 36

¿Cuál de las siguientes series es absolutamente convergente?

Accepted Answer

∑ (-1)^n / (2n+1)

Answer

∑ 1 / n^2

Answer

∑ (-1)^n / n

Question 37

¿Cómo se puede encontrar la suma de una serie geométrica?

Accepted Answer

a * (1 - r^n) / (1 - r)

Answer

a * (1 + r^n) / (1 - r)

Answer

a * (1 + r^n) / (1 + r)

Answer

a * (1 + r) / (1 - r)

Question 38

Dada la función f(x) = sin(x), ¿cuál de las siguientes series de Taylor representa a la función alrededor de x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n) / (2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n / n!

Question 39

La serie de Maclaurin de la función e^x es ∑_(n=0)^∞ x^n / n!. ¿Cuál es la serie de Maclaurin para la función e^(-x^2)?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n) / n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / n!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n+1) / n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)!

Question 40

Calcula el radio de convergencia de la serie ∑_(n=1)^∞ (x/2)^n.

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1/2

Answer

1

Question 41

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una aplicación de las series en la ingeniería?

Accepted Answer

Cálculo del área de una superficie curva.

Answer

Resolución de ecuaciones diferenciales.

Answer

Modelado de fenómenos físicos.

Answer

Análisis de señales.

Question 42

Considera la ecuación diferencial y' + y = 0. ¿Cuál de las siguientes series de potencias es una solución a esta ecuación?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^n / n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n) / (2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n / n!

Question 43

La serie de Taylor de la función ln(1+x) alrededor de x = 0 es ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) * x^n / n. ¿Cuál es la aproximación de ln(1.1) utilizando los primeros tres términos de la serie?

Accepted Answer

0.095

Answer

0.105

Answer

0.1

Answer

0.085

Question 44

Se utiliza la serie de Fourier para representar una función periódica como una suma infinita de funciones...

Accepted Answer

seno y coseno

Answer

logarítmicas

Answer

polinomios

Answer

exponenciales

Question 45

¿Cuál es el período de la función f(x) = sin(2πx) + cos(πx)?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

π

Answer

4

Question 46

Una serie de potencias ∑_(n=0)^∞ a_n * (x-a)^n converge absolutamente si...

Accepted Answer

la serie ∑_(n=0)^∞ |a_n| * |x-a|^n converge.

Answer

la serie ∑_(n=0)^∞ a_n * (x-a)^n tiene un radio de convergencia infinito.

Answer

la serie ∑_(n=0)^∞ a_n * (x-a)^n es una serie geométrica.

Answer

la serie ∑_(n=0)^∞ a_n * (x-a)^n converge.

Question 47

La serie ∑_(n=1)^∞ 1/n^2 es una serie...

Accepted Answer

convergente

Answer

condicionalmente convergente

Answer

oscilante

Answer

divergente