Definición de Derivada: Concepto, Interpretación y Cálculo

Question 1

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la definición formal de la derivada de una función f(x) en un punto x?

Accepted Answer

lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]

Answer

f'(x) * h

Answer

f(x+h) - f(x)

Answer

h(f(x+h) - f(x))

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la derivada de una función constante?

Accepted Answer

Es cero para todo x.

Answer

No existe.

Answer

Es igual a la constante.

Answer

Depende del valor de la constante.

Question 3

Considerando una función f(x) derivable en un punto a, ¿qué condición garantiza la existencia de la derivada en a?

Accepted Answer

Continuidad en a

Answer

Diferenciabilidad en a

Answer

Monotonicidad en a

Answer

Concavidad en a

Question 4

Para la función f(x) = 1/x, utiliza la regla de la potencia para calcular su derivada.

Accepted Answer

-1/x^2

Answer

1/x

Answer

-x

Answer

x^2

Question 5

Considera la función f(x) = |x|. ¿En qué punto(s) no existe su derivada?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Question 6

Para derivar la función f(x) = (x^3 + 2x) / (x^2 - 1), ¿qué regla de derivación es la más adecuada?

Accepted Answer

Regla del cociente

Answer

Regla de la cadena

Answer

Regla del producto

Answer

Regla de la suma

Question 7

Determina la derivada de f(x) = e^(x^2 + 1).

Accepted Answer

2x * e^(x^2 + 1)

Answer

x * e^(x^2 + 1)

Answer

e^(x^2 + 1)

Answer

e^x * (x^2 + 1)

Question 8

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la derivada de una función continua es incorrecta?

Accepted Answer

Siempre es continua.

Answer

Puede ser positiva o negativa.

Answer

Determina los puntos máximos y mínimos de la función.

Answer

Puede tener puntos de inflexión.

Question 9

¿Cuál de las siguientes expresiones representa formalmente la definición de la derivada de una función f(x)?

Accepted Answer

lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

Answer

f(x+h) - f(x)

Answer

lim(x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a)

Answer

f'(x) = x

Question 10

¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto?

Accepted Answer

Pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

Answer

Área bajo la curva de la función.

Answer

Velocidad de cambio instantánea de la función.

Question 11

Calcula la derivada de la función f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x

Answer

x * e^x

Answer

e^-x

Question 12

Calcula la derivada de la función f(x) = log(x).

Accepted Answer

1/x

Answer

-1/x

Answer

x

Answer

log(x)

Question 13

¿Cuál de las siguientes funciones NO es derivable en todos los puntos de su dominio?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 14

Geométricamente, la derivada de una función en un punto representa:

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la gráfica de la función en ese punto

Answer

El área bajo la curva de la función en ese punto

Question 15

La regla de derivación para la suma de dos funciones establece que la derivada de f(x) + g(x) es:

Accepted Answer

f'(x) + g'(x)

Answer

f'(x) * g'(x)

Answer

f'(x) - g'(x)

Question 16

La derivada de la función f(x) = e^x es:

Accepted Answer

e^x

Answer

1 / e^x

Answer

-e^x

Answer

x * e^x

Question 17

La derivada de la función f(x) = ln(x) es:

Accepted Answer

1 / x

Answer

-1 / x

Answer

ln(x^2)

Answer

x

Question 18

La derivada de la función f(x) = cos(x) es:

Accepted Answer

-sen(x)

Answer

cos(x)

Answer

sen(x)

Question 19

La derivada de la función f(x) = tg(x) es:

Accepted Answer

Sec^2(x) = 1 / cos^2(x)

Answer

-tg(x)

Answer

-cotg(x)

Answer

1 / sen^2(x)

Question 20

¿Qué interpretación geométrica tiene la derivada en un punto?

Accepted Answer

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto

Answer

Área bajo la curva de la función en un intervalo centrado en el punto

Answer

Velocidad instantánea de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en dicho punto

Question 21

¿Cuál es la derivada de la función compuesta f(x)=sen(x^2+1)?

Accepted Answer

2x*cos(x^2+1)

Answer

cos(x^2+1)

Answer

sen(2x+1)

Answer

-2x*sen(x^2+1)

Question 22

La derivada de la función f(x)=ln(x+1) es:

Accepted Answer

1/(x+1)

Answer

1/x

Answer

x/(x+1)

Answer

ln(x)

Question 23

La derivada de la función f(x)=e^(x^2) es:

Accepted Answer

2xe^(x^2)

Answer

e^(x^2)

Answer

x*e^(x^2)

Answer

x^2e^(x^2)

Question 24

La derivada de la función f(x)=arctg(x) es:

Accepted Answer

1/(1+x^2)

Answer

arctg(x)

Answer

1/x

Answer

x/(1+x^2)

Question 25

¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función _f(x)_ en un punto _a_?

Accepted Answer

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de _f(x)_ en _a_

Answer

Área bajo la curva de _f(x)_ en el intervalo [a, a+h]

Answer

Valor de la función _f(x)_ en _a_

Question 26

¿Cuál de las siguientes funciones NO es derivable en todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = |sen(x)|

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Question 27

La derivada de una función f(x) en un punto x = a representa la:

Accepted Answer

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)).

Answer

Tasa de cambio instantánea de la función en x = a.

Answer

Velocidad instantánea de la función en x = a.

Answer

Curvatura de la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)).

Question 28

La definición formal de la derivada de f(x) en x = a es:

Accepted Answer

lim_(h->0) (f(a + h) - f(a)) / h

Answer

lim_(x->a) (f(x) - f(a)) / (x - a)

Answer

lim_(h->0) (f(a) - f(a - h)) / h

Answer

lim_(h->0) (f(a + h) + f(a)) / h

Question 29

Si la derivada de f(x) en x = a es 0, entonces:

Accepted Answer

La recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a es horizontal.

Answer

La función f(x) tiene un mínimo local en x = a.

Answer

La función f(x) tiene un máximo local en x = a.

Answer

La función f(x) tiene un punto crítico en x = a.

Question 30

Calcula la derivada de la función f(x) = x^2 + 2x en x = 1:

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

2

Answer

3

Question 31

La derivada de la función f(x) = sin(x) es:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Question 32

La derivada de la función f(x) = ln(x) es:

Accepted Answer

1/x

Answer

ln(x)

Answer

x

Answer

1/ln(x)

Question 33

La derivada de la función f(x) = (x^2 + 1)^3 es:

Accepted Answer

6x(x^2 + 1)^2

Answer

3x(x^2 + 1)^2

Answer

3(x^2 + 1)^2

Answer

6x^2(x^2 + 1)^2

Question 34

El cociente incremental de una función f(x) en un punto x = a es:

Accepted Answer

(f(a+h)-f(a))/h

Answer

f(a+h)/h

Answer

f(a)/h

Answer

(f(a)-f(a+h))/h

Question 35

La interpretación geométrica de la derivada de una función f(x) en un punto x = a es:

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).

Answer

El área bajo la curva de la función entre x = a y x = a + h.

Answer

El valor máximo de la función en el punto x = a.

Question 36

Si la derivada de una función f(x) en un punto x = a es positiva, entonces:

Accepted Answer

La función es creciente en ese punto.

Answer

La función tiene un máximo en ese punto.

Answer

La función es decreciente en ese punto.

Answer

La función tiene un punto de inflexión en ese punto.

Question 37

Si la derivada de una función f(x) en un punto x=a es cero, entonces:

Accepted Answer

La función puede tener un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en ese punto.

Answer

La función tiene un máximo en ese punto.

Answer

La función tiene un mínimo en ese punto.

Question 38

Calcula la derivada de la función f(x) = x² + 2x:

Accepted Answer

2x + 2

Answer

2x

Answer

x² + 2

Answer

x²

Question 39

Determina la derivada de la función f(x) = sin(x):

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-cos(x)

Question 40

Calcula la derivada de la función f(x) = e^x:

Accepted Answer

e^x

Answer

1/e^x

Answer

x*e^(x-1)

Answer

ln(x)

Question 41

Determina la derivada de la función f(x) = ln(x):

Accepted Answer

1/x

Answer

ln(x)

Answer

x

Question 42

¿Para qué tipo de funciones se utiliza la regla de la cadena para calcular su derivada?

Accepted Answer

Funciones compuestas.

Answer

Funciones polinómicas.

Answer

Funciones logarítmicas.

Answer

Funciones trigonométricas.