Aplicaciones en Ingeniería y Ciencias: Cálculo Numérico para Estudiantes de Informática

Question 1

En el método de Gauss-Jordan, ¿cuál es el objetivo del proceso de eliminación?

Accepted Answer

Convertir la matriz del sistema en una matriz identidad

Answer

Encontrar los determinantes de todas las submatrices de la matriz del sistema

Answer

Convertir la matriz del sistema en una matriz diagonal

Question 2

En el método iterativo de Jacobi, ¿cuál es el criterio de convergencia?

Accepted Answer

La diferencia entre soluciones aproximadas sucesivas es menor que una tolerancia especificada.

Answer

La suma de errores relativos es menor que una tolerancia especificada.

Answer

El residuo del sistema es menor que una tolerancia especificada.

Question 3

En la resolución de sistemas lineales, ¿qué indica un número de condición grande?

Accepted Answer

El sistema es inestable y sensible a pequeñas alteraciones.

Answer

El sistema tiene múltiples soluciones.

Answer

El sistema no tiene solución.

Question 4

Un sistema lineal tiene un número de condición de 100. ¿Qué se puede concluir?

Accepted Answer

La solución del sistema es muy sensible a pequeñas variaciones.

Answer

La solución del sistema es única y estable.

Answer

El sistema no tiene solución.

Question 5

Para resolver un sistema lineal con matriz simétrica y definida positiva, ¿qué método numérico conviene usar?

Accepted Answer

Factorización de Cholesky

Answer

Descomposición QR

Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Factorización LU

Question 6

En el método de diferencias finitas, ¿cómo se aproximan las derivadas parciales?

Accepted Answer

Sustituyéndolas por diferencias finitas

Answer

Resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales

Answer

Integrando la función en un intervalo

Answer

Usando el método de los elementos finitos

Question 7

Calcula la derivada parcial de la siguiente función con respecto a x:

f(x, y) = e^(xy) + sen(x)

Accepted Answer

∂f/∂x = ye^(xy) + cos(x)

Answer

∂f/∂x = xye^(xy) + sin(x)

Answer

∂f/∂x = cos(x)

Answer

∂f/∂x = e^(xy)

Question 8

Determina la integral indefinida de la siguiente función:

∫(2x + 3) / (x^2 + 3x + 2) dx

Accepted Answer

ln|x^2 + 3x + 2| + C

Answer

La integral no existe

Answer

x^2 + 3x + 2 + C

Answer

1 / (x^2 + 3x + 2) + C

Question 9

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si:

Accepted Answer

El rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada

Answer

El rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz aumentada

Answer

El rango de la matriz de coeficientes es mayor que el rango de la matriz aumentada

Question 10

El número de condición de una matriz indica:

Accepted Answer

La sensibilidad de la solución del sistema lineal a pequeñas perturbaciones en los datos

Answer

La inversa de la matriz

Answer

El rango de la matriz

Question 11

Un ejemplo de método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales es:

Accepted Answer

El método de Jacobi

Answer

Factorización QR

Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Descomposición LU

Question 12

¿Qué tipo de matrices se utiliza en el método de diferencias finitas?

Accepted Answer

Matrices tridiagonales

Answer

Matrices simétricas

Answer

Matrices invertibles

Answer

Matrices ortogonales

Question 13

Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales, se puede emplear:

Accepted Answer

El método de Newton-Raphson

Answer

Descomposición LU

Answer

Factorización QR

Answer

Eliminación gaussiana

Question 14

¿Cuál es el propósito del método de mínimos cuadrados?

Accepted Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales sobredeterminados

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales inconsistentes

Question 15

¿Cuál de estos métodos de resolución de sistemas lineales iterativos se utiliza para resolver sistemas con matrices diagonalmente dominantes?

Accepted Answer

Método de Jacobi

Answer

Factorización LU

Answer

Eliminación de Gauss

Question 16

Una matriz se considera diagonalmente dominante cuando:

Accepted Answer

Todos sus elementos diagonales son mayores que la suma de los valores absolutos de los elementos no diagonales en sus respectivas filas.

Answer

Todos sus elementos diagonales son iguales.

Question 17

El resultado de aplicar el método de Gauss-Jordan a una matriz es una matriz en:

Accepted Answer

Forma escalonada reducida

Answer

Forma triangular

Answer

Forma escalonada

Question 18

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza la existencia de una solución única para un sistema de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

La matriz de coeficientes es invertible.

Answer

El sistema es consistente.

Answer

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

Question 19

Un vector propio de una matriz es un vector que:

Accepted Answer

Cuando se multiplica por la matriz, se escala por un valor conocido como valor propio.

Answer

Tiene todos sus componentes iguales.

Answer

Es ortogonal a sí mismo.

Question 20

¿Cuál es la causa principal del error de truncamiento en los métodos numéricos para resolver sistemas lineales?

Accepted Answer

Representación finita de números en las computadoras.

Answer

El tamaño del sistema.

Answer

El método de resolución utilizado.

Question 21

¿Cuál de las siguientes es una aplicación práctica de los sistemas de ecuaciones lineales en ingeniería?

Accepted Answer

Análisis de circuitos eléctricos.

Answer

Predicción del clima.

Answer

Interpretación de sueños.

Answer

Resolución de crucigramas.

Question 22

¿Qué método numérico se utiliza para calcular el valor propio dominante y el vector propio correspondiente de una matriz?

Accepted Answer

Método de las potencias

Answer

Factorización LU

Answer

Eliminación de Gauss

Question 23

¿Cuál de los siguientes métodos NO es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Eliminación de Gauss

Answer

SOR

Answer

Gauss-Seidel

Answer

Jacobi

Question 24

En la iteración del método de Jacobi para encontrar x_k en el paso n, ¿cuál es la fórmula correcta?

Accepted Answer

x_k^n = (b_k - Σ_{j≠k} a_{kj}x_j^n) / a_{kk}

Answer

x_k^n = (b_k - Σ_{j≠k} a_{jk}x_j^{n-1}) / a_{kk}

Answer

x_k^n = (b_k - Σ_{j≠k} a_{kj}x_j^n) / a_{jk}

Question 25

El criterio de convergencia del método de Gauss-Seidel para un sistema de ecuaciones lineales Ax = b se define como:

Accepted Answer

La suma de los valores absolutos de las diferencias entre las soluciones aproximadas en dos iteraciones consecutivas es menor que una tolerancia ε: Σ_{k=1}^n |x_k^n - x_k^{n-1}| < ε

Answer

La suma de los valores absolutos de las diferencias entre las soluciones aproximadas y los términos independientes es menor que una tolerancia ε: Σ_{k=1}^n |x_k^n - b_k| < ε

Answer

La suma de los valores absolutos de las diferencias entre el producto de la matriz A por el vector solución aproximado y el vector de términos independientes es menor que una tolerancia ε: Σ_{k=1}^n |A_k^Tx^n - b_k| < ε

Answer

La suma de los valores absolutos de las diferencias entre el producto del elemento diagonal de A por la solución aproximada y el término independiente es menor que una tolerancia ε: Σ_{k=1}^n |a_kkx_k^n - b_k| < ε

Question 26

En el análisis de circuitos eléctricos, los métodos numéricos se utilizan principalmente para:

Accepted Answer

Calcular las corrientes y voltajes en circuitos complejos

Answer

Reparar circuitos defectuosos

Answer

Diseñar nuevos circuitos

Question 27

Los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales son especialmente útiles cuando:

Accepted Answer

La matriz A del sistema es grande y dispersa (con muchos elementos cero)

Answer

La matriz A está bien condicionada (su condición es cercana a 1)

Answer

Se requieren soluciones precisas rápidamente

Answer

El sistema es no lineal

Question 28

Un ingeniero civil está modelando un puente como un sistema de ecuaciones lineales para determinar las fuerzas que actúan sobre él. ¿Cuál de los siguientes métodos numéricos sería el más adecuado para resolver este sistema y obtener resultados precisos?

Accepted Answer

Método de eliminación de Gauss-Jordan

Answer

Método de bisección

Answer

Método de la secante

Answer

Método de Newton-Raphson

Question 29

Un circuito eléctrico se representa mediante un sistema de ecuaciones lineales que describe las corrientes y voltajes. ¿Qué condición debe cumplir el sistema de ecuaciones para garantizar que el circuito tiene una solución única?

Accepted Answer

La matriz de coeficientes del sistema debe ser invertible.

Answer

El sistema debe tener menos ecuaciones que incógnitas.

Answer

El sistema debe tener más ecuaciones que incógnitas.

Question 30

Se desea simular la propagación de calor en un material utilizando un método numérico. El modelo matemático se representa como un sistema de ecuaciones lineales. ¿Qué método numérico sería el más adecuado para este tipo de problema?

Accepted Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de Jacobi

Answer

Método de la secante

Answer

Método de eliminación de Gauss-Jordan

Question 31

Se tiene un sistema de ecuaciones lineales con un gran número de incógnitas para modelar un problema de gestión de recursos en una empresa. ¿Qué método numérico sería más eficiente para resolver este sistema, considerando el tamaño del sistema?

Accepted Answer

Método iterativo (como Jacobi, Gauss-Seidel o SOR)

Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de eliminación de Gauss-Jordan

Question 32

¿Cuál de los siguientes métodos numéricos se utiliza para resolver sistemas lineales con matrices simétricas positivas definidas?

Accepted Answer

Factorización de Cholesky

Answer

Iteración de Gauss-Seidel

Answer

Iteración de Jacobi

Answer

Eliminación Gaussiana

Question 33

En la factorización de LU de una matriz A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

La matriz L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales iguales a 1.

Answer

La matriz U es una matriz triangular superior con entradas diagonales iguales a 0.

Answer

La matriz L es una matriz triangular superior con entradas diagonales iguales a 1.

Question 34

En el método de gradiente conjugado para resolver sistemas lineales, ¿cuál es la dirección de búsqueda en cada iteración?

Accepted Answer

La dirección del gradiente conjugado más reciente

Answer

Una dirección de gradiente aleatoria

Answer

La dirección del gradiente más antiguo

Answer

La dirección del gradiente negativo