Eliminación Gaussiana: Aprende a resolver sistemas de ecuaciones lineales

Question 1

Considere o sistema de equações lineares:

2x + 3y = 10
4x + 6y = 20

Após aplicar a eliminação gaussiana, qual é a matriz triangular superior resultante?

Accepted Answer

Matriz triangular superior:
[ 2  3 ]
[ 0  4 ]

Answer

Matriz triangular superior:
[ 1  1.5 ]
[ 0  1 ]

Answer

Matriz triangular superior:
[ 4  6 ]
[ 0  4 ]

Answer

Matriz triangular superior:
[ 2  3 ]
[ 4  6 ]

Question 2

Qual das seguintes afirmações sobre a fatorização de Cholesky é correta?

Accepted Answer

A fatorização de Cholesky é aplicável apenas a matrizes simétricas definidas positivas.

Answer

A fatorização de Cholesky não requer pivotamento.

Answer

A fatorização de Cholesky pode ser usada para resolver sistemas de equações não lineares.

Question 3

Qual dos seguintes critérios deve ser atendido para que a eliminação gaussiana produza uma decomposição LU exclusiva?

Accepted Answer

A matriz deve ser quadrada e não singular.

Answer

A matriz deve ser simétrica.

Answer

A matriz deve ter mais linhas do que colunas.

Answer

A matriz deve conter apenas elementos não negativos.

Question 4

Considere a matriz A:

A = [ 2  1 ][ 1  2 ]

Qual é a fatorização de Cholesky de A?

Accepted Answer

LL^T = [ 2  0 ][ 1  1 ]

Answer

LL^T = [ 2  1 ][ 1  1 ]

Answer

LL^T = [ 1  0 ][ 0  1 ]

Answer

LL^T = [ 2  0 ][ 1  2 ]

Question 5

Qual das seguintes afirmações sobre sistemas de equações lineares é verdadeira?

Accepted Answer

Um sistema de equações lineares pode ter várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução.

Answer

Um sistema de equações lineares com o mesmo número de equações e variáveis sempre tem uma solução única.

Answer

Se um sistema de equações lineares tem pelo menos uma solução, ele tem infinitas soluções.

Question 6

Qual das seguintes vantagens é oferecida pela fatorização LU em relação à eliminação gaussiana?

Accepted Answer

Menor número de operações aritméticas para resolver múltiplos sistemas lineares.

Answer

Facilidade de encontrar a inversa da matriz.

Answer

Maior precisão para matrizes mal condicionadas.

Question 7

What is the purpose of pivoting in Gaussian elimination?

Accepted Answer

To maintain numerical stability and avoid division by zero.

Answer

To find the eigenvalues of the coefficient matrix.

Answer

To reduce the number of variables in the system.

Question 8

Which of the following matrices can be decomposed using LU decomposition?

Accepted Answer

Non-singular matrix

Answer

Singular matrix

Answer

Hermitian matrix

Answer

Symmetric matrix

Question 9

What is a key advantage of using Cholesky factorization over LU factorization when solving positive definite systems of linear equations?

Accepted Answer

Lower computational cost and improved numerical stability.

Answer

Reduced memory usage

Answer

Faster convergence

Question 10

Consider the following matrix:

A = [2 1 0]
    [3 4 1]
    [5 6 2]

Using Gaussian elimination, what is the reduced row echelon form of A?

Accepted Answer

[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]

Answer

[1 0 0]
    [0 0 1]
    [0 1 0]

Answer

[0 0 0]
    [1 0 0]
    [0 1 0]

Answer

[0 1 0]
    [1 0 0]
    [0 0 1]

Question 11

Which of the following is a disadvantage of using direct methods to solve systems of linear equations?

Accepted Answer

Generally slower than iterative methods for large systems.

Answer

Guaranteed to find a solution if one exists.

Answer

Applicable to both sparse and dense matrices.

Question 12

What is the computational complexity of Gaussian elimination for solving an n x n system of linear equations?

Accepted Answer

O(n^3)

Answer

O(n^2)

Answer

O(2^n)

Answer

O(n log n)

Question 13

Consider the following system of linear equations:

2x - 3y + z = 5
-x + 2y - 2z = 1
x + y - 3z = 4

Using LU factorization, what is the value of z in the solution?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

-2

Answer

-1

Question 14

What is a key reason for using iterative methods to solve systems of linear equations?

Accepted Answer

When direct methods are impractical due to computational cost or ill-conditioning.

Answer

When the solution is required to a very high precision.

Answer

When the matrix is sparse.

Question 15

Si A es una matriz invertible y b es un vector no nulo, ¿qué afirmación sobre el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es verdadera?

Accepted Answer

El sistema tiene una solución única.

Answer

El sistema tiene infinitas soluciones.

Answer

El sistema es inconsistente.

Answer

El sistema tiene una solución pero no es única.

Question 16

En la factorización LU de una matriz, ¿cuál es el significado de la matriz U?

Accepted Answer

Matriz triangular superior

Answer

Matriz diagonal

Answer

Matriz identidad

Answer

Matriz triangular inferior

Question 17

¿Cuál de los siguientes métodos es adecuado para resolver sistemas de ecuaciones lineales con matrices simétricas positivas definidas?

Accepted Answer

Factorización de Cholesky

Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Factorización LU

Question 18

En la factorización de Cholesky de una matriz simétrica positiva definida A, ¿cómo se relaciona A con L?

Accepted Answer

A = LL^T

Answer

A = LL + I

Answer

A = L^T L

Answer

A = L^T + L

Question 19

¿Qué ventaja ofrece la factorización de Cholesky sobre otros métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Es particularmente eficiente para matrices simétricas definidas positivas, lo que minimiza los errores de redondeo.

Answer

No requiere transformaciones pivote, lo que reduce la complejidad computacional.

Answer

Proporciona información sobre la estabilidad del sistema.

Answer

Se puede aplicar a matrices de cualquier tamaño o forma.

Question 20

¿Qué tipo de método es el método de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Un método iterativo que actualiza sucesivamente las soluciones aproximadas.

Answer

Un método directo que obtiene la solución exacta en un número finito de pasos.

Answer

Un método estacionario que no requiere iteraciones.

Answer

Un método que solo es aplicable a sistemas con matrices simétricas.

Question 21

El método de Seidel difiere del método de Jacobi en:

Accepted Answer

Utiliza los valores más actualizados de las variables dentro de cada iteración.

Answer

Tiene una tasa de convergencia más lenta.

Answer

No es aplicable a sistemas con matrices no diagonales.

Answer

Requiere una matriz de coeficientes simétrica.

Question 22

¿Cuál es la condición que garantiza la convergencia del método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

La matriz de coeficientes es diagonalmente dominante, es decir, los valores absolutos de los coeficientes diagonales son mayores que la suma de los valores absolutos de los coeficientes no diagonales en cada fila.

Answer

La matriz de coeficientes es simétrica.

Answer

El sistema de ecuaciones lineales es único.

Answer

La matriz de coeficientes es invertible.

Question 23

El método del gradiente conjugado se emplea principalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales que son:

Accepted Answer

Definidas positivas, lo que significa que la matriz de coeficientes es simétrica y todos sus autovalores son positivos.

Answer

No singulares, lo que significa que la matriz de coeficientes tiene un determinante distinto de cero.

Answer

Indefinidas, lo que significa que la matriz de coeficientes tiene autovalores positivos y negativos.

Answer

Hermíticas, lo que significa que la matriz de coeficientes es igual a su adjunta.

Question 24

¿Cuál es una ventaja del método SOR (sobre-relajación sucesiva) sobre el método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

Utiliza un parámetro de sobre-relajación para acelerar la convergencia, lo que potencialmente reduce el número de iteraciones necesarias.

Answer

Es más fácil de implementar que el método de Gauss-Seidel.

Answer

No requiere una matriz de coeficientes diagonalmente dominante.

Answer

Es aplicable a matrices de cualquier tamaño o forma.

Question 25

La eliminación gaussiana es un método directo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. ¿En qué consiste este método?

Accepted Answer

La eliminación gaussiana transforma una matriz en una matriz escalonada reducida mediante operaciones de fila elementales.

Answer

La eliminación gaussiana calcula los valores propios de una matriz.

Answer

La eliminación gaussiana encuentra la inversa de una matriz mediante operaciones de fila elementales.

Question 26

La descomposición LU es un método directo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. ¿Cuál es la condición necesaria para que se pueda aplicar la descomposición LU a una matriz?

Accepted Answer

La matriz debe ser invertible.

Answer

La matriz debe ser diagonalizable.

Answer

La matriz debe ser simétrica.

Answer

La matriz no necesita cumplir ninguna condición especial.

Question 27

La factorización de Cholesky es un método directo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. ¿Qué tipo de matrices se pueden descomponer usando este método?

Accepted Answer

Matrices simétricas definidas positivas.

Answer

Matrices diagonales.

Answer

Matrices no singulares.

Answer

Matrices invertibles.

Question 28

De los siguientes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, ¿cuál es generalmente considerado el más eficiente computacionalmente?

Accepted Answer

Eliminación gaussiana con pivotaje parcial.

Answer

Sustitución directa.

Answer

Iteración de Gauss-Seidel.

Answer

Regla de Cramer.

Question 29

Un sistema de ecuaciones lineales es considerado 'determinado' cuando:

Accepted Answer

Tiene el mismo número de ecuaciones que de variables.

Answer

Tiene más ecuaciones que variables.

Answer

Tiene menos ecuaciones que variables.

Answer

No tiene solución única.

Question 30

El método de Newton-Raphson es un método numérico utilizado para resolver:

Accepted Answer

Ecuaciones no lineales.

Answer

Ecuaciones diferenciales.

Answer

Sistemas de ecuaciones lineales.

Answer

Problemas de optimización.

Question 31

Las matrices simétricas se caracterizan por:

Accepted Answer

Ser iguales a su traspuesta.

Answer

Tener valores propios complejos.

Answer

Tener determinantes negativos.

Answer

Ser siempre invertibles.

Question 32

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto a la eliminación gaussiana?

Accepted Answer

Se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

Answer

Permite encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.

Answer

Puede requerir intercambiar filas para mantener un pivote no nulo.

Answer

Transforma la matriz original en una matriz escalonada.

Question 33

¿Qué operación elemental de fila se utiliza en la eliminación gaussiana para anular los elementos debajo de un pivote?

Accepted Answer

Restar un múltiplo de una fila a otra fila.

Answer

Intercambiar dos filas.

Answer

Sumar dos filas.

Answer

Multiplicar una fila por una constante no nula.

Question 34

¿Para qué tipo de matrices siempre es posible aplicar la factorización de Cholesky?

Accepted Answer

Matrices simétricas definidas positivas.

Answer

Matrices escalonadas.

Answer

Matrices triangulares inferiores.

Answer

Matrices invertibles.

Question 35

Dada la matriz A = [2 1; 4 3], ¿cuál sería el primer paso en la eliminación gaussiana para convertirla en una matriz triangular superior?

Accepted Answer

Restar 2 veces la primera fila a la segunda fila.

Answer

Multiplicar la segunda fila por 2.

Answer

Intercambiar la primera y la segunda fila.

Answer

Sumar la primera fila a la segunda fila.

Question 36

En la descomposición LU de una matriz A = LU, ¿qué características tiene la matriz L?

Accepted Answer

Es una matriz triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Answer

Es una matriz identidad.

Answer

Es una matriz diagonal con valores positivos en la diagonal principal.

Answer

Es una matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 0.

Question 37

¿Cuál de los siguientes métodos NO se considera un método directo para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Método de Jacobi

Answer

Factorización de Cholesky

Answer

Eliminación gaussiana

Answer

Factorización LU

Question 38

¿Cuál es el orden de complejidad temporal en el peor caso para la eliminación gaussiana aplicada a una matriz densa de tamaño n x n?

Accepted Answer

O(n^3)

Answer

O(n log n)

Answer

O(n)

Answer

O(n^2)

Question 39

La factorización de Cholesky es especialmente eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices de coeficientes son:

Accepted Answer

Simétricas y definidas positivas.

Answer

Diagonales.

Answer

Triangulares superiores.

Answer

Cualquier tipo de matriz.

Question 40

Dada la siguiente matriz A = [2 1; 4 3], ¿qué elemento se elige como primer pivote al aplicar la eliminación gaussiana con pivoteo parcial?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 41

¿Cuál es la principal ventaja de factorizar una matriz A mediante LU en lugar de utilizar la eliminación gaussiana si se necesita resolver Ax = b para múltiples vectores b?

Accepted Answer

La factorización LU permite resolver los sistemas adicionales con menor coste computacional ya que L y U se pueden reutilizar.

Answer

La factorización LU siempre se puede aplicar, mientras que la eliminación gaussiana no.

Answer

La factorización LU es más precisa que la eliminación gaussiana.

Answer

La factorización LU no requiere pivoteo, a diferencia de la eliminación gaussiana.

Question 42

Si una matriz no es invertible, ¿qué podemos concluir sobre la solución del sistema de ecuaciones lineales asociado?

Accepted Answer

El sistema puede tener infinitas soluciones o ninguna solución.

Answer

El sistema siempre tiene infinitas soluciones.

Answer

El sistema tiene una única solución.

Question 43

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la factorización de Cholesky es FALSA?

Accepted Answer

Se puede aplicar a cualquier matriz cuadrada.

Answer

Es más eficiente que la factorización LU para matrices simétricas definidas positivas.

Answer

Produce una factorización en la forma A = LL^T, donde L es una matriz triangular inferior.

Question 44

¿Cuál es el objetivo principal del pivoteo en la eliminación gaussiana?

Accepted Answer

Reducir los errores de redondeo y mejorar la estabilidad numérica.

Answer

Acelerar el algoritmo.

Answer

Simplificar los cálculos.

Question 45

Se utiliza la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones lineales Ax = b. Si L y U son las matrices triangulares inferior y superior, respectivamente, ¿cómo se calcula el vector solución x?

Accepted Answer

Resolviendo primero Ly = b para y, y luego Ux = y para x.

Answer

Calculando x = (LU)^(-1)b.

Answer

Resolviendo primero Ux = b para x, y luego Ly = x para y.

Question 46

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO se beneficia directamente del uso de métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Simulación de eventos discretos

Answer

Modelado de elementos finitos

Answer

Análisis de circuitos eléctricos

Answer

Procesamiento de imágenes