Errores de Integración: Conceptos y Estrategias para la Estimación del Error

Question 1

Para funciones con derivadas de orden superior, ¿qué método de integración numérica ofrece mayor precisión?

Accepted Answer

Regla de Gauss-Legendre

Answer

Regla de Newton-Cotes

Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla del trapecio

Question 2

¿Qué técnica empleamos para estimar el error en la integración numérica?

Accepted Answer

Extrapolación de Richardson

Answer

Regla del trapecio compuesta

Answer

Regla de Simpson 3/8

Answer

Regla del punto medio

Question 3

Para funciones con singularidades, ¿qué método de integración numérica es adecuado?

Accepted Answer

Regla de Gauss-Lobatto

Answer

Regla de Simpson

Answer

Regla del trapecio

Question 4

¿Qué concepto matemático es esencial para calcular el error de truncamiento?

Accepted Answer

Serie de Taylor

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Transformada de Fourier

Answer

Ecuaciones diferenciales

Question 5

En relación con la convergencia de los métodos de integración numérica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Accepted Answer

El error disminuye a medida que el tamaño del paso de integración se acerca a cero.

Answer

El error aumenta cuando el número de puntos de integración se incrementa.

Answer

El error es independiente del método de integración empleado.

Question 6

¿Cuál de los métodos de integración numérica expuestos a continuación presenta el orden de convergencia más bajo?

Accepted Answer

Rectángulo

Answer

Trapecio

Answer

Simpson 3/8

Answer

Simpson 1/3

Question 7

¿Qué afirmación describe mejor el error de truncamiento del método de Simpson 1/3?

Accepted Answer

Es proporcional a h^4

Answer

Es independiente de h

Answer

Es proporcional a h^2

Answer

Es proporcional a h

Question 8

El método de integración de Gauss-Legendre se caracteriza por utilizar:

Accepted Answer

Nodos y pesos óptimos

Answer

Diferenciación numérica

Answer

Fórmulas cerradas

Answer

Interpolación polinómica

Question 9

El método de Richardson Extrapolation se utiliza para:

Accepted Answer

Mejorar la precisión de las aproximaciones de integración

Answer

Encontrar raíces de funciones

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Question 10

¿Cuál de los siguientes errores es intrínseco a todos los métodos de integración numérica?

Accepted Answer

Error de truncamiento

Answer

Error de redondeo

Answer

Error de discretización

Answer

Error de integración

Question 11

El método de Simpson generalmente proporciona estimaciones más precisas que el método de los trapecios principalmente porque:

Accepted Answer

Utiliza una aproximación parabólica.

Answer

Reduce el tamaño de los subintervalos.

Answer

Evalúa la función en más puntos.

Answer

Es más sencillo de implementar.

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los errores en los métodos de integración numérica es INC CORRECTA?

Accepted Answer

El error siempre es menor que el tamaño de los subintervalos.

Answer

El error puede acumularse a lo largo de la integral.

Answer

El error puede depender del orden del método de integración.

Question 13

Consideremos la integral definida ∫[1, 2] e^x dx. Si utilizamos la cuadratura de Gauss-Legendre con n = 3 puntos, ¿cuántos puntos se utilizan para evaluar la integral?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

5

Answer

2

Question 14

¿Cuál de los siguientes factores NO afecta la precisión de un método de integración numérica?

Accepted Answer

El tamaño del dominio de integración.

Answer

El número de puntos de evaluación.

Answer

El orden del método de integración.

Answer

La continuidad de la función integrando.

Question 15

El método de Monte Carlo para la integración numérica es especialmente adecuado para integrales sobre dominios:

Accepted Answer

Multidimensionales.

Answer

Unidimensionales.

Answer

Limitados.

Answer

Ilimitados.

Question 16

¿Qué aproximación se emplea en el método de los trapecios?

Accepted Answer

Polinomio lineal

Answer

Polinomio cuadrático

Answer

Polinomio cúbico

Question 17

Para garantizar una integración numérica precisa, es crucial considerar:

Accepted Answer

La naturaleza de la función integrando.

Answer

Solo el número de puntos de evaluación.

Answer

Ninguno de los anteriores.

Answer

Solo el tamaño de los subintervalos.

Question 18

En la fórmula de integración de trapezoides, ¿qué factor determina el orden del error?

Accepted Answer

h²

Answer

h

Answer

h⁴

Answer

h³

Question 19

En la regla de Gauss-Legendre, los nodos de integración se eligen para minimizar:

Accepted Answer

El error de truncamiento

Answer

El error de usuario

Answer

El error de propagación

Answer

El error de redondeo

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el método de integración de Monte Carlo es correcta?

Accepted Answer

Es un método estocástico que no requiere el uso de derivadas.

Answer

Solo es aplicable a funciones continuas.

Answer

Es siempre más preciso que los métodos deterministas.

Question 21

Identifica el método de integración numérica que posee un orden de convergencia 3:

Accepted Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla trapezoidal

Answer

Regla rectangular

Question 22

¿Qué tipo de función integrada genera un error de truncamiento más significativo?

Accepted Answer

Función con derivadas de orden superior

Answer

Función continua

Answer

Función con oscilaciones frecuentes

Question 23

Indica el objetivo de emplear la regla de Gauss-Legendre en la integración numérica:

Accepted Answer

Reducir el error de integración para funciones no polinómicas

Answer

Mejorar la estabilidad numérica

Answer

Simplificar el proceso de integración

Question 24

¿Qué tipo de función tiene una derivada de orden superior continua que la función integrada?

Accepted Answer

Función polinómica de grado superior

Answer

Función logarítmica

Answer

Función exponencial

Answer

Función trigonométrica

Question 25

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el error de integración?

Accepted Answer

Puede estimarse utilizando métodos como la Extraplación de Richardson

Answer

Solo ocurre para métodos de integración de bajo orden

Answer

Siempre es positivo

Question 26

Para estimar el error en un método de integración numérica, utilizamos la fórmula:

Accepted Answer

Error = |Valor exacto - Valor aproximado|

Answer

Error = Valor aproximado / Valor exacto

Answer

Error = Valor exacto / Valor aproximado

Answer

Error = Valor aproximado - Valor exacto

Question 27

El método de integración de Monte Carlo se basa en el uso de:

Accepted Answer

Números aleatorios

Answer

Interpolación polinomial

Answer

Transformaciones de integrales

Answer

Integración por partes

Question 28

El orden de error en el método de integración de Simpson es:

Accepted Answer

O(h^4)

Answer

O(h^5)

Answer

O(h^2)

Answer

O(h^3)

Question 29

El cambio de variable t = (x - a) / (b - a) en el método de integración de Gauss:

Accepted Answer

Convierte el intervalo de integración a [0, 1]

Answer

No afecta a la precisión

Answer

Aumenta el orden de convergencia

Answer

Reduce el error por un factor de 2

Question 30

El orden de error en el método de integración de Euler es:

Accepted Answer

O(h)

Answer

O(h^2)

Answer

O(h^4)

Answer

O(h^3)

Question 31

¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para estimar el error de truncamiento para la regla del trapecio con un tamaño de subintervalo h?

Accepted Answer

h^2 * |f''(c)| / 12, donde c es un punto en el subintervalo

Answer

h^3 * |f'''(c)| / 24

Answer

h * |f'(c)| / 2

Question 32

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica tiene mayor orden de convergencia?

Accepted Answer

Regla de Simpson 3/8

Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla del punto medio

Question 33

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el error de redondeo en la integración numérica es correcta?

Accepted Answer

Puede acumularse y afectar significativamente la precisión de los resultados

Answer

Siempre es insignificante

Answer

Puede eliminarse utilizando métodos de doble precisión

Question 34

El método de integración de Monte Carlo para aproximar la integral definida ∫[a,b] f(x) dx utiliza:

Accepted Answer

Puntos aleatorios generados dentro del rectángulo [a,b] x [0,f(x)]

Answer

Puntos de muestreo en la gráfica de f(x)

Answer

Puntos equidistantes en el intervalo [a,b]

Question 35

¿Cuál de los siguientes factores es importante considerar al seleccionar el método de integración numérica más adecuado?

Accepted Answer

Precisión requerida, forma de la función y recursos computacionales disponibles

Answer

Tiempo de cálculo

Answer

Experiencia del usuario

Question 36

La regla de Simpson 3/8 utiliza:

Accepted Answer

3 puntos de evaluación por subintervalo

Answer

2 puntos de evaluación por subintervalo

Answer

1 punto de evaluación por subintervalo

Answer

4 puntos de evaluación por subintervalo

Question 37

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa el error de truncamiento para la fórmula compuesta de integración trapezoidal con un tamaño de subintervalo h?

Accepted Answer

-h^2 * f''(xi) / 12, donde xi es un punto del subintervalo

Answer

h^2 * f''(xi) / 12

Answer

-h * f'(xi) / 2

Answer

-h^3 * f'''(xi) / 24

Question 38

Para aproximar la integral definida ∫[0,1] e^-x dx, ¿cuál de los siguientes métodos de integración numérica sería más preciso?

Accepted Answer

Regla de Simpson 3/8

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla del punto medio

Question 39

Al utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral de una función f(x) en el intervalo [a, b], ¿cuál es el orden del error de truncamiento?

Accepted Answer

O(h^2)

Answer

O(h^3)

Answer

O(h)

Answer

O(h^4)

Question 40

Se desea aproximar la integral de una función f(x) con un error menor que 10^-4. Si se sabe que la segunda derivada de f(x) es acotada, ¿qué método de integración numérica sería más adecuado?

Accepted Answer

Regla de Simpson

Answer

Cuadratura de Gauss

Answer

Regla del trapecio

Answer

Método de Monte Carlo

Question 41

La regla compuesta del trapecio divide el intervalo [a, b] en n subintervalos para aproximar la integral de una función f(x). ¿Cuál es la relación entre el tamaño del paso h y el número de subintervalos n?

Accepted Answer

h = (b-a)/n

Answer

h = n/(b-a)

Answer

h = (b-a)^n

Answer

h = n*(b-a)

Question 42

De los siguientes factores, ¿cuál NO influye directamente en el error de integración numérica?

Accepted Answer

La temperatura ambiente

Answer

La precisión del método numérico utilizado

Answer

El número de subintervalos utilizados

Answer

La suavidad de la función a integrar

Question 43

Al utilizar el método de Monte Carlo para aproximar la integral de una función f(x) en el intervalo [a, b], ¿cuál es la principal fuente de error?

Accepted Answer

Error estadístico

Answer

Error de aproximación

Answer

Error de redondeo

Answer

Error de truncamiento

Question 44

Se utiliza la regla de Simpson para aproximar la integral de una función f(x) con un error de 10^-6. Si se duplica el número de subintervalos, ¿cómo se espera que cambie el error?

Accepted Answer

Se reduce a aproximadamente 1/16 del error original

Answer

Se duplica el error original

Answer

Se reduce a la mitad del error original

Question 45

Para aproximar la integral de una función f(x) con un error menor que un valor dado, ¿qué método generalmente requiere menos evaluaciones de la función para alcanzar la precisión deseada?

Accepted Answer

Cuadratura de Gauss

Answer

Regla del trapecio compuesta

Answer

Regla de Simpson compuesta

Answer

Método de Monte Carlo

Question 46

Una función f(x) tiene una derivada cuarta acotada en el intervalo [a, b]. ¿Cuál es el orden de error de la regla de Simpson compuesta para aproximar la integral de f(x) en este intervalo?

Accepted Answer

O(h^4)

Answer

O(h^2)

Answer

O(h^3)

Answer

O(h^5)

Question 47

En la integración numérica, el error de redondeo se produce principalmente debido a:

Accepted Answer

La representación finita de los números en la computadora

Answer

La suavidad de la función a integrar

Answer

La aproximación de la integral por sumas finitas