Interpolación polinomial: cuestionarios interactivos para Cálculo Numérico

Question 1

Dados los puntos (1, 2), (2, 3), (3, 1), el polinomio de interpolación de Lagrange es:

Accepted Answer

L(x) = x^2 - x + 2

Answer

L(x) = x^2 + x - 2

Answer

L(x) = 2x - 1

Answer

L(x) = x^3 - x^2 + 2x

Question 2

El error de interpolación para la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π] utilizando el polinomio interpolador de Newton de grado 3 es:

Accepted Answer

O(h⁴)

Answer

O(h²)

Answer

O(h³)

Question 3

En la interpolación polinomial, ¿cuál es la condición necesaria y suficiente para garantizar la unicidad del polinomio interpolador?

Accepted Answer

Que los puntos de interpolación sean distintos

Answer

Que el orden del polinomio sea mayor que el número de puntos de interpolación

Answer

Que los puntos de interpolación estén ordenados en el eje x

Answer

Que el polinomio interpolador sea monótono

Question 4

Según el método de Lagrange, ¿cuál es la característica del polinomio interpolador?

Accepted Answer

Es único para un conjunto dado de puntos de interpolación

Answer

Requiere derivadas de la función interpolada

Answer

Su grado es siempre inferior al número de puntos de interpolación

Question 5

En el método de Newton, ¿qué tipo de diferencias divididas se emplean para construir el polinomio interpolador?

Accepted Answer

Diferencias divididas finitas hacia adelante

Answer

Diferencias divididas no finitas

Answer

Diferencias divididas finitas hacia atrás

Answer

Diferencias divididas centrales

Question 6

Dado el polinomio interpolador P(x) = 1 + 2x + 2x^2, que interpola la función f(x) en los puntos (0, 1), (1, 3) y (2, 7), ¿cuál es el valor de f(1)?

Accepted Answer

3

Answer

7

Answer

1

Answer

5

Question 7

En un problema de interpolación, se dispone de los datos: f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4. ¿Cuál de los siguientes polinomios es el polinomio interpolador de Lagrange?

Accepted Answer

P(x) = 1 + x + x^2

Answer

P(x) = 1 - x + x^2

Answer

P(x) = 1 + x - x^2

Answer

P(x) = 1 + x

Question 8

En relación con la interpolación polinomial, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

Accepted Answer

La interpolación polinomial siempre proporciona una aproximación exacta de la función

Answer

La interpolación polinomial puede aplicarse para aproximar integrales

Answer

La interpolación polinomial es un procedimiento numérico

Question 9

Para aproximar una función f(x) en el intervalo [0, 1], se utilizan 4 puntos de interpolación equidistantes. ¿Cuál es el orden del polinomio interpolador de Newton?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

5

Question 10

Para el polinomio de interpolación de Lagrange de grado n para una función f(x) continua en el intervalo [a, b], ¿cuál es la fórmula del error de interpolación?

Accepted Answer

|f^(n+1)(ξ)| * (b - a)^(n+1) / (n+1)!, donde ξ ∈ [a, b]

Answer

|f^(n+1)(b)| * (b - a)^(n+1) / (n+1)!, donde ξ ∈ [a, b]

Answer

|f^(n+1)(a)| * (b - a)^(n+1) / (n+1)!, donde ξ ∈ [a, b]

Question 11

El polinomio p(x) = 2x² - 3x + 1 interpola a f(x) en los puntos (1, 2) y (2, 3). ¿Cuál es el valor de f(1.5)?

Accepted Answer

2.25

Answer

0.25

Answer

3.25

Answer

1.25

Question 12

Cuando los puntos de datos se distribuyen uniformemente en el intervalo de interpolación, ¿qué método de interpolación es más apropiado?

Accepted Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación de Spline

Answer

Interpolación de Hermite

Question 13

La fórmula del error de interpolación para el polinomio interpolador de Lagrange es:

Accepted Answer

f(x) - L_n(x) = f^(n+1)(ξ) * (x - x_0)(x - x_1)...(x - x_n) / (n+1)!, donde ξ es un punto en [x_0, x_n].

Answer

f(x) - L_n(x) = f^(n+1)(ξ) * (x - x_0)^n / (n+1)!

Answer

f(x) - L_n(x) = f^(n)(ξ) * (x - x_0)(x - x_1)...(x - x_n) / n!

Question 14

Para estimar el error de interpolación usando la fórmula del error, ¿qué información se requiere?

Accepted Answer

El valor de la derivada (n+1)-ésima de la función en algún punto ξ en el intervalo [x_0, x_n].

Answer

El valor de la integral de la función en el intervalo [x_0, x_n].

Answer

Los valores de las derivadas primera y segunda de la función en los puntos de interpolación.

Question 15

La interpolación polinómica es útil en:

Accepted Answer

Todas las opciones anteriores.

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales.

Answer

Aproximar funciones continuas.

Answer

Generar datos faltantes.

Question 16

Dados los puntos (1, 2), (3, 5), ¿cuál es el polinomio interpolador de Lagrange que aproxima a f(x) en el intervalo [1, 3]?

Accepted Answer

L(x) = 2 + 3(x - 1)

Answer

L(x) = 2 - 3(x - 1)

Answer

L(x) = 2 + 3(x + 1)

Answer

L(x) = 2 - 3(x + 1)

Question 17

El polinomio interpolador de Newton de grado n para los puntos (x_0, y_0), (x_1, y_1),..., (x_n, y_n) es:

Accepted Answer

P_n(x) = y_0 + (x - x_0) * [y_1 - y_0] / (x_1 - x_0) + ... + (x - x_0)(x - x_1)...(x - x_n-1) * [y_n - y_n-1] / (x_n - x_n-1)

Answer

P_n(x) = y_0 + (x + x_0) * [y_1 - y_0] / (x_1 + x_0) + ... + (x + x_0)(x + x_1)...(x + x_n-1) * [y_n - y_n-1] / (x_n + x_n-1)

Question 18

El polinomio de interpolación de Lagrange de orden n para los puntos {(x_0, y_0), ..., (x_n, y_n)} está dado por:

Accepted Answer

Σ(k=0 a n) L_k(x) * y_k, donde L_k(x) es el polinomio base de Lagrange de grado n asociado con el punto (x_k, y_k).

Answer

max(y_0, ..., y_n)

Answer

Σ(k=0 a n) x_k * y_k

Answer

∫(a a b) f(x) dx

Question 19

El error de interpolación para el polinomio de Lagrange de grado n se define como:

Accepted Answer

f(x) - P_n(x)

Answer

x - P_n(x)

Answer

f(x) * P_n(x)

Answer

P_n(x) - f(x)

Question 20

Dados los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 4), el polinomio de interpolación de Newton de orden 2 es:

Accepted Answer

1 + 2x + x^2

Answer

2 + 2x + x^2

Answer

2 + x + x^2

Answer

1 + x + 2x^2

Question 21

¿Qué tipo de función no se puede interpolar con precisión mediante polinomios?

Accepted Answer

Función discontinua

Answer

Función exponencial

Answer

Función continua

Answer

Función periódica

Question 22

La fórmula para estimar el error de interpolación para el polinomio de Lagrange de grado n es:

Accepted Answer

|f^(n+1)(x)| * |x-x_0|*...*|x-x_n| / (n+1)!

Answer

|f''(x)| * |x-x_0|*...*|x-x_n| / (n-2)!

Answer

|f(x)| * |x-x_0|*...*|x-x_n| / n!

Answer

|f'(x)| * |x-x_0|*...*|x-x_n| / (n-1)!

Question 23

Dada la función f(x) = x^2, el polinomio de interpolación de Newton de orden 1 para los puntos (0,0) y (1,1) es:

Accepted Answer

x

Answer

x - 1

Answer

x + 1

Answer

x^2

Question 24

¿Qué tipo de error se introduce al aproximar una función mediante un polinomio de interpolación?

Accepted Answer

Error de truncadura

Answer

Error aleatorio

Answer

Error sistemático

Answer

Error de redondeo

Question 25

Considera la función f(x) definida a trozos:
f(x) = e^x 	 si x es racional
f(x) = -e^x 	 si x es irracional¿Qué afirmación sobre la aproximación de f(x) mediante polinomios en el intervalo [-1,1] es cierta?

Accepted Answer

No es posible aproximar f(x) mediante un polinomio

Answer

Es posible aproximar f(x) mediante un polinomio de grado muy alto

Answer

Es posible aproximar f(x) mediante un polinomio continuo en [-1,1]

Answer

Es posible aproximar f(x) mediante un polinomio derivable en [-1,1]

Question 26

Dada la función f(x) = sin(x), ¿cuál es la forma más adecuada del polinomio de interpolación de Lagrange para aproximar f(x) en el intervalo [0,π]?

Accepted Answer

Un polinomio impar de grado 2n-1

Answer

Un polinomio par de grado 2n

Answer

Un polinomio par de grado 2n-1

Answer

Un polinomio impar de grado 2n

Question 27

Para aproximar la función f(x) = 1/(1+25x^2) en el intervalo [-1,1], ¿qué método de interpolación sería más adecuado?

Accepted Answer

Interpolación racional.

Answer

Interpolación polinómica de Newton.

Answer

Interpolación polinómica de Lagrange.

Answer

Interpolación por diferencias divididas.

Question 28

Aplicando el método de Newton para aproximar la función f(x) = sin(x) con un polinomio de grado 3 y los puntos (0, 0), (π/4, 1) y (π/2, 0), ¿cuál es el coeficiente del término x³?

Accepted Answer

-1/6

Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

1/6

Question 29

De los métodos de interpolación mencionados, ¿cuál garantiza que el polinomio interpolador pase por todos los puntos de datos?

Accepted Answer

Interpolación de Lagrange.

Answer

Interpolación de mínimos cuadrados.

Answer

Interpolación de Newton.

Question 30

Dado un conjunto de n + 1 puntos equidistantes en el intervalo [a, b], el polinomio interpolador de grado n que aproxima a f(x) en dichos puntos es:

Accepted Answer

P(x) = Σ[i=0..n] f(xi) * L(i)(x)

Answer

P(x) = Σ[i=0..n] f(xi+1) * L(i)(x)

Answer

P(x) = Σ[i=1..n] f(xi-1) * L(i-1)(x)

Answer

P(x) = Σ[i=1..n] f(xi) * L(i-1)(x)

Question 31

En la interpolación polinómica de diferencias divididas, el coeficiente de la diferencia dividida f[x0, x1, ..., xn] es igual a:

Accepted Answer

f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1] / (xn - x0)

Answer

f[x1, x2, ..., xn] + f[x0, x1, ..., xn-1] / (xn - x0)

Answer

f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1] / (xn - xn-1)

Question 32

Si se utiliza un polinomio de grado 3 para interpolar una función en los puntos (0, 1), (1, 2), (2, 5) y (3, 10), ¿cuál es el coeficiente del término x³ en el polinomio interpolador?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Question 33

El objetivo del método de interpolación de mínimos cuadrados es:

Accepted Answer

Encontrar el polinomio que minimice la suma de los cuadrados de los errores residuales en los puntos dados.

Answer

Encontrar el polinomio que minimice la suma de los valores absolutos de los errores residuales en los puntos dados.

Answer

Encontrar el polinomio que maximice la suma de los cuadrados de los errores residuales en los puntos dados.

Question 34

En la interpolación polinómica de Lagrange, el polinomio interpolante para n + 1 puntos dados es de grado:

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n - 1

Answer

2n

Question 35

El polinomio interpolante de Newton para n + 1 puntos dados es único.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Answer

Depende del orden de los puntos

Question 36

La fórmula para estimar el error de interpolación en la interpolación polinómica es:

Accepted Answer

|R(x)| ≤ C ⋅ |x - x0|^(n+1)

Answer

|R(x)| ≤ C ⋅ |x - x0|^n

Answer

|R(x)| ≤ C ⋅ |x0 - x|^(n+1)

Answer

|R(x)| ≤ C ⋅ |x0 - x|^n

Question 37

La interpolación polinómica es un método numérico que se utiliza principalmente para:

Accepted Answer

Aproximar funciones mediante polinomios

Answer

Integrar funciones

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Encontrar raíces de funciones

Question 38

En la interpolación polinómica, el error de interpolación:

Accepted Answer

Generalmente disminuye a medida que aumenta el grado del polinomio interpolante.

Answer

Siempre es cero

Answer

Es máximo en los puntos de interpolación

Question 39

En la interpolación polinómica uniforme, los puntos de interpolación son:

Accepted Answer

Equiespaciados

Answer

Aleatorios

Answer

Elegidos arbitrariamente

Answer

Los puntos donde la función es cero

Question 40

¿Cuál de los siguientes métodos de interpolación polinómica es más eficiente computacionalmente?

Accepted Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación polinómica uniforme

Answer

Todos los métodos son igualmente eficientes

Answer

Interpolación de Lagrange

Question 41

La interpolación polinómica puede producir el fenómeno de Runge, que es:

Accepted Answer

Oscilaciones espurias en el polinomio interpolante

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Una subestimación del error de interpolación

Answer

Un aumento en el grado del polinomio interpolante