Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene una solución general de la forma y(x) = c1*e^(-x) + c2*e^(2x). ¿Cuáles son los valores propios de la ecuación?

Accepted Answer

-1 y 2

Answer

1 y 2

Answer

2 y -1

Answer

-2 y 1

Question 2

¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal?

Accepted Answer

y'' + y*y' = 0

Answer

y'' + y = 0

Answer

y'' + y' = 0

Answer

y'' - y' = 0

Question 3

¿Cuál de los siguientes problemas físicos se puede modelar mediante una ecuación diferencial parcial parabólica?

Accepted Answer

Conducción de calor

Answer

Movimiento de un proyectil

Answer

Circuito eléctrico

Answer

Crecimiento poblacional

Question 4

Una ecuación diferencial de orden n tiene una solución general de la forma y(x) = c1*y1(x) + c2*y2(x) + ... + cn*yn(x). ¿Qué tipo de ecuación es?

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal homogénea

Answer

Ecuación diferencial parcial

Answer

Ecuación diferencial no lineal

Answer

Ecuación diferencial lineal no homogénea

Question 5

Un sistema masa-resorte se modela mediante la ecuación diferencial: m(d²x/dt²) + kx = 0, donde x(t) es el desplazamiento del resorte. ¿Cuál es la frecuencia angular natural del sistema?

Accepted Answer

ω = √(k/m)

Answer

ω = k/m

Answer

ω = 2π√(k/m)

Answer

ω = m/k

Question 6

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las ecuaciones diferenciales en física?

Accepted Answer

Modelar el movimiento de un proyectil

Answer

Encontrar la raíz de una función

Answer

Calcular el área de una superficie

Answer

Analizar datos estadísticos

Question 7

Una población de bacterias crece exponencialmente con una tasa de crecimiento constante de 0,5 bacterias por hora. ¿Cuál es la ecuación diferencial que modela este crecimiento?

Accepted Answer

dP/dt = 0,5P

Answer

dP/dt = tP

Answer

dP/dt = 0,5t

Answer

P = 0,5t

Question 8

Un resorte con una constante de resorte de 100 N/m está sujeto a una fuerza externa de 20 cos(2t) N. La masa del objeto unido al resorte es de 2 kg. ¿Cuál es la ecuación diferencial que describe el movimiento del objeto?

Accepted Answer

2 d^2x/dt^2 + 100x = 20cos(2t)

Answer

2 d^2x/dt^2 + 100x = 20sin(2t)

Answer

100 d^2x/dt^2 + 20x = 20sin(2t)

Answer

100 d^2x/dt^2 + 20x = 20cos(2t)

Question 9

¿Cuál de las siguientes es una ventaja de utilizar métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Pueden resolver ecuaciones que no tienen soluciones analíticas cerradas

Answer

Son más fáciles de implementar que los métodos analíticos

Answer

Siempre son más precisos que los métodos analíticos

Question 10

El método de Euler es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales que se basa en:

Accepted Answer

Linealización de la función

Answer

Método de los mínimos cuadrados

Answer

Integración por partes

Answer

Regresión lineal

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el método de Runge-Kutta es cierta?

Accepted Answer

Es un método de orden superior que el método de Euler

Answer

Es menos preciso que el método de Euler

Answer

Requiere más pasos de iteración que el método de Euler

Question 12

Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma y' = f(x,y). ¿Cuál es la condición inicial necesaria para resolver esta ecuación?

Accepted Answer

y(x0) = y0

Answer

y'(x0) = y0

Answer

y(0) = y0

Answer

f(x0,y0) = 0

Question 13

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las ecuaciones diferenciales en ingeniería?

Accepted Answer

Análisis y diseño de sistemas de control

Answer

Análisis de datos de encuestas

Answer

Predicción del clima

Answer

Estimación del tipo de interés futuro

Question 14

Un circuito eléctrico está modelado por la ecuación diferencial y'' + 2y' + 5y = 10. ¿Cuál es la constante de amortiguamiento de este sistema?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

5

Question 15

Una población de bacterias crece a una tasa proporcional a su tamaño. Si la población inicial es de 100 bacterias y se duplica cada hora, ¿cuál es la ecuación diferencial que modela el crecimiento de la población?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = ky^2

Answer

y'' = ky

Answer

y'' = ky^2

Question 16

¿Cuál de los siguientes es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Determinante

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Integración por partes

Question 17

Una placa metálica se calienta a 100°C y se deja enfriar en aire con una temperatura ambiente de 20°C. El tiempo de enfriamiento se modela mediante la ecuación diferencial dT/dt = -k(T - 20). ¿Cuál es la solución general de esta ecuación?

Accepted Answer

T(t) = 20 + Ce^(-kt)

Answer

T(t) = 100 + Ce^(-kt)

Answer

T(t) = 100 - Ce^(-kt)

Answer

T(t) = 20 - Ce^(-kt)

Question 18

El flujo de un fluido a través de un tubo se modela mediante la ecuación de Navier-Stokes, que es una ecuación diferencial parcial no lineal. ¿Cuál es una de las principales dificultades en la resolución de esta ecuación?

Accepted Answer

Su naturaleza no lineal

Answer

Su elevado orden

Answer

La complejidad de los coeficientes

Answer

La falta de condiciones de contorno apropiadas

Question 19

¿Cuál de los siguientes es un uso de las ecuaciones diferenciales en el modelado de fenómenos biológicos?

Accepted Answer

Simulación de la dinámica de las poblaciones

Answer

Predicción de terremotos

Answer

Optimización de procesos de fabricación

Answer

Análisis de datos financieros

Question 20

Un físico quiere modelar el movimiento de una partícula en un campo magnético usando ecuaciones diferenciales. ¿Cuál de los siguientes factores debe considerar al elegir el tipo de ecuación diferencial adecuada?

Accepted Answer

La forma del campo magnético

Answer

El tamaño de la partícula

Answer

La temperatura del entorno

Answer

El color de la partícula

Question 21

Una población de bacterias crece a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si la población inicial es de 1000 bacterias y se duplica en 3 horas, ¿cuál es la ecuación diferencial que modela este crecimiento?

Accepted Answer

dP/dt = k * P

Answer

dP/dt = k * P * t

Answer

dP/dt = k * t

Answer

dP/dt = k

Question 22

Un circuito RL tiene una resistencia de 10 ohmios y una inductancia de 2 henrios. Si se conecta a una fuente de voltaje de 12 voltios, ¿cuál es la corriente en el circuito después de 1 segundo?

Accepted Answer

I(1) = [(12 / 10) * (1 - e^(-10 / 2))] amperios

Answer

I(1) = [(10 / 12) * (1 + e^(-10 / 2))] amperios

Answer

I(1) = [(12 / 10) * (1 + e^(-10 / 2))] amperios

Answer

I(1) = [(10 / 12) * (1 - e^(-10 / 2))] amperios

Question 23

La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo disminuye exponencialmente con una constante de decaimiento de 0,02 minutos^(-1). Si la dosis inicial es de 100 mg, ¿cuánto fármaco quedará en la sangre después de 30 minutos?

Accepted Answer

[100 * e^(-0,02 * 30)] mg

Answer

[100 * e^(0,02 * 30)] mg

Answer

[100 - 0,02 * 30] mg

Answer

[100 + 0,02 * 30] mg

Question 24

¿Cuál de las siguientes opciones es un método numérico adecuado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Regla de la cadena

Answer

Integración por partes

Question 25

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s desde una altura de 100 metros. Si la aceleración debida a la gravedad es de 9,8 m/s², ¿cuál es la ecuación diferencial que determina su altura h(t)?

Accepted Answer

h''(t) = -g

Answer

h'(t) = gt

Answer

h''(t) = g

Answer

h'(t) = -gt

Question 26

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales modela el crecimiento exponencial de una población?

Accepted Answer

dy/dt = ky

Answer

dy/dt = y + k

Answer

dy/dt = yk

Question 27

El circuito RLC tiene una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C. La ecuación diferencial que describe la corriente i(t) en el circuito es:

Accepted Answer

Ldi/dt + Ri + (1/C)∫i dt = E(t)

Answer

Ldi/dt - Ri + (1/C)∫i dt = E(t)

Answer

Rdi/dt - Li + (1/C)∫i dt = E(t)

Answer

Rdi/dt + Li + (1/C)∫i dt = E(t)

Question 28

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta bajo la influencia de una fuerza F(x). La ecuación diferencial que describe el movimiento de la partícula es:

Accepted Answer

m(d²x/dt²) = F(x)

Answer

m(dv/dx) = F(x)

Answer

m(dx/dt²) = F(x)

Answer

m(dv/dt) = F(x)

Question 29

El flujo de calor en una barra delgada de longitud L con extremos mantenidos a temperaturas T1 y T2 está modelado por la ecuación diferencial:

Accepted Answer

∂²u/∂x² = 0

Answer

∂⁴u/∂t⁴ = 0

Answer

∂⁴u/∂x⁴ = 0

Answer

∂²u/∂t² = 0

Question 30

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la transformada de Laplace es correcta?

Accepted Answer

Es una transformada integral que convierte una función del tiempo en una función de la variable compleja.

Answer

Es una transformada finita que convierte una serie de tiempo en una función de la variable compleja.

Question 31

Una ecuación diferencial que modela el enfriamiento de un objeto caliente es:

Accepted Answer

dT/dt = -k(T - Ta), donde T es la temperatura del objeto, Ta es la temperatura ambiente y k es una constante positiva.

Answer

d²T/dt² + kT = 0

Answer

dT/dt = kT

Question 32

Una ecuación diferencial de primer orden que modela el crecimiento de una población es:

Accepted Answer

dP/dt = kP, donde P es el tamaño de la población y k es una constante positiva.

Answer

dP/dt = -kP

Answer

d²P/dt² = kP

Question 33

¿Qué tipo de ecuación diferencial es la siguiente: y' + y = e^x?

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal de primer orden.

Answer

Ecuación diferencial no lineal de primer orden.

Answer

Ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Question 34

Una ecuación diferencial que modela la difusión de calor en una barra es:

Accepted Answer

∂u/∂t = α∂²u/∂x², donde u es la temperatura en la barra, t es el tiempo, x es la posición y α es la difusividad térmica.

Answer

∂u/∂x = α∂u/∂t

Answer

∂²u/∂x² = α∂u/∂t

Answer

∂²u/∂t² = α∂u/∂x

Question 35

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las ecuaciones diferenciales en el ámbito de las ciencias naturales?

Accepted Answer

Predecir la propagación de enfermedades infecciosas.

Answer

Análisis de estructuras de edificios.

Answer

Control de sistemas de tráfico.

Answer

Diseño de motores de combustión interna.

Question 36

Una ecuación diferencial que modela el movimiento de un péndulo simple es:

Accepted Answer

d²θ/dt² + (g/L)sin(θ) = 0, donde θ es el ángulo de desplazamiento, g es la aceleración de la gravedad y L es la longitud del péndulo.

Answer

dθ/dt = sin(θ)

Answer

dθ/dt = -sin(θ)

Answer

d²θ/dt² - (g/L)sin(θ) = 0

Question 37

Una masa de 10 kg se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza  *F(t) = 20sin(3t)* Newtons. Si la velocidad inicial de la masa es 5 m/s, ¿qué distancia recorre la masa en los primeros 2 segundos?

Accepted Answer

$$10 m$$

Answer

$$20 m$$

Answer

$$15 m$$

Answer

$$5 m$$

Question 38

La población de una colonia de bacterias se duplica cada hora. Si la población inicial es de 1000 bacterias, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la tasa de crecimiento de la población en función del tiempo?

Accepted Answer

dP/dt = kP, donde k es una constante positiva.

Answer

dP/dt = kP^2

Answer

dP/dt = -kP^2

Answer

dP/dt = -kP

Question 39

Un circuito en serie contiene una resistencia R, una inductancia L y una fuente de voltaje constante V. Aplicando la Ley de Kirchhoff de Voltaje, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la corriente I en el circuito?

Accepted Answer

L dI/dt + RI = V

Answer

R dI/dt + LI = V

Answer

R dI/dt - LI = V

Answer

L dI/dt - RI = V

Question 40

Un modelo matemático para la propagación de un rumor en una población establece que la tasa de cambio del número de personas que conocen el rumor es proporcional al producto del número de personas que lo conocen (R) y el número de personas que no lo conocen (N-R). ¿Cuál es la ecuación diferencial que describe este modelo?

Accepted Answer

dR/dt = kR(N-R), donde k es una constante positiva.

Answer

dR/dt = k(N-R)

Answer

dR/dt = kR(N+R)

Answer

dR/dt = k(N+R)

Question 41

Dada la ecuación diferencial y' = y^2, ¿cuál de las siguientes funciones es una solución?

Accepted Answer

y = 1/(1-x)

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x^2

Answer

y = e^x

Question 42

¿Cuál de los siguientes métodos numéricos se utiliza para aproximar la solución de una ecuación diferencial?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de la secante

Answer

Método de la bisección

Question 43

La ecuación diferencial y'' + 4y = 0 describe el movimiento de un sistema masa-resorte sin amortiguación. ¿Cuál es la frecuencia natural de este sistema?

Accepted Answer

2

Answer

π

Answer

1

Answer

4

Question 44

Un modelo de crecimiento logístico para una población se describe por la ecuación diferencial dP/dt = rP(1 - P/K), donde r es la tasa de crecimiento intrínseca y K es la capacidad de carga. ¿Cuál es la solución de equilibrio estable de esta ecuación?

Accepted Answer

P = K

Answer

P = 0

Answer

P = K/r

Answer

P = r