Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Grado: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Determinar el tipo de ecuación diferencial parcial de segundo orden representada por la expresión: $u_{xx} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0$

Accepted Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación de Advección-Difusión

Answer

Ecuación de Onda

Answer

Ecuación de Poisson

Question 2

En la ecuación de Onda unidimensional $rac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 rac{partial^2 u}{partial x^2}$, ¿qué representa la constante $c$? La velocidad de la onda

Accepted Answer

La velocidad de la onda

Answer

La amplitud de la onda

Answer

La longitud de onda

Answer

La frecuencia de la onda

Question 3

En la ecuación de difusión $rac{partial u}{partial t} = D
abla^2 u$, ¿qué representa el coeficiente $D$? El coeficiente de difusión

Accepted Answer

El coeficiente de difusión

Answer

El coeficiente de advección

Answer

El coeficiente de dispersión

Answer

El coeficiente de reacción

Question 4

Determinar la condición de contorno de Dirichlet para la ecuación diferencial parcial $rac{partial u}{partial t} = 
abla^2 u$.

Accepted Answer

$u(x,y,z,t) = f(x,y,z,t)$ en la frontera del dominio

Answer

$rac{partial u}{partial t} = 0$ en la frontera del dominio

Answer

$u(x,y,z,t) = 0$ en la frontera del dominio

Answer

$rac{partial u}{partial n} = f(x,y,z,t)$ en la frontera del dominio

Question 5

¿Cuál de los siguientes métodos numéricos es adecuado para resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden?

Accepted Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de agrupamiento K-means

Answer

Método del vecino más cercano

Answer

Método de Monte Carlo

Question 6

En la ecuación de Advección-Difusión $rac{partial u}{partial t} + vrac{partial u}{partial x} = Drac{partial^2 u}{partial x^2}$, ¿qué representa el término $vrac{partial u}{partial x}$?

Accepted Answer

Término de advección

Answer

Término de reacción

Answer

Término de dispersión

Answer

Término de difusión

Question 7

En una condición de contorno de Dirichlet, ¿qué valor se especifica?

Accepted Answer

El valor de la función en el límite

Answer

La integral de la función en el límite

Answer

La derivada de la función en el límite

Answer

El valor de la función en el interior del dominio

Question 8

¿Qué método numérico se utiliza ampliamente para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas?

Accepted Answer

Método de elementos finitos

Answer

Método de volúmenes finitos

Answer

Método de Monte Carlo

Answer

Método de diferencias finitas

Question 9

¿Qué propiedad garantiza que la solución de una ecuación diferencial parcial hiperbólica tenga un máximo en un punto (x₀, y₀)?

Accepted Answer

Principio del máximo

Answer

Teorema de Picard-Lindelöf

Answer

Teorema de existencia y unicidad

Answer

Principio de superposición

Question 10

¿Cuál es la ecuación característica de la ecuación diferencial parcial (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² - u = 0)?

Accepted Answer

r² - 1 = 0

Answer

r - 1 = 0

Answer

r² + 1 = 0

Answer

r + 1 = 0

Question 11

Identifique la ecuación diferencial parcial de Poisson:

Accepted Answer

∇²u = f

Answer

∇²u + ku = 0

Answer

∇·(∇u) = f

Answer

Δ²u = 0

Question 12

¿Cuál es el operador laplaciano?

Accepted Answer

∇²

Answer

∇·

Answer

∇

Answer

Δ

Question 13

¿En qué parte del dominio se especifican las ecuaciones diferenciales en los problemas de contorno para ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden?

Accepted Answer

El contorno del dominio

Answer

El interior del dominio

Answer

El centro del dominio

Question 14

¿Qué tipo de ecuación diferencial parcial describe el fenómeno de difusión del calor?

Accepted Answer

Ecuación de difusión

Answer

Ecuación de advección-difusión

Answer

Ecuación de Schrödinger

Answer

Ecuación de ondas

Question 15

Escribe la ecuación diferencial parcial de ondas:

Accepted Answer

∂²u/∂t² = c² ∇²u

Answer

∂²u/∂t = c² ∇²u

Answer

∇²u/∂t² = c² u

Answer

Δ²u = c² ∂²u/∂t²

Question 16

¿Qué tipo de condición de contorno prescribe el valor de la función en el contorno?

Accepted Answer

Condición de Dirichlet

Answer

Condición periódica

Answer

Condición de Cauchy

Answer

Condición de Neumann

Question 17

La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que se define como:

Accepted Answer

∇²u = f, donde ∇² es el operador laplaciano y f es una función conocida.

Answer

∇⁴u = f

Answer

∇u = f

Answer

∇³u = f

Question 18

La ecuación de Helmholtz es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que se representa como:

Accepted Answer

∇²u + k²u = 0, donde k es una constante.

Answer

∇²u - k²u = 0

Answer

∇³u + k²u = 0

Answer

∇u + k²u = 0

Question 19

La ecuación de Schrödinger, una ecuación diferencial parcial de segundo orden fundamental en mecánica cuántica, tiene la siguiente forma:

Accepted Answer

iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ, donde ψ es la función de onda, ħ es la constante de Planck reducida, m es la masa y t es el tiempo.

Answer

iħ∂²ψ/∂t² = -ħ²/2m∇²ψ

Answer

iħ∂ψ/∂t = ħ²/2m∇²ψ

Answer

iħ∂³ψ/∂t³ = -ħ²/2m∇²ψ

Question 20

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial parcial de segundo orden se caracteriza por:

Accepted Answer

La especificación del valor de la función desconocida y sus derivadas parciales en un instante de tiempo inicial.

Answer

El valor de la función desconocida en todo el dominio.

Answer

El valor de la función desconocida y sus derivadas en un punto del espacio.

Question 21

Un problema de contorno para una ecuación diferencial parcial de segundo orden se define por:

Accepted Answer

La especificación del valor de la función desconocida o sus derivadas parciales en los límites del dominio.

Answer

El valor de la función desconocida en todo el dominio.

Answer

El valor de la función desconocida y sus derivadas en un punto del espacio.

Question 22

La transformación de Fourier es una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden porque:

Accepted Answer

Transforma la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria en el dominio de la frecuencia.

Answer

Aproxima la solución mediante métodos numéricos.

Answer

Transforma la ecuación en una ecuación algebraica.

Question 23

El método de diferencias finitas es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que funciona mediante:

Accepted Answer

La aproximación de las derivadas parciales mediante diferencias finitas.

Answer

Transforma la ecuación en una ecuación diferencial ordinaria.

Answer

Convierte la ecuación en una ecuación algebraica.

Question 24

El método de elementos finitos, un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, se basa en:

Accepted Answer

La división del dominio en elementos finitos y la aproximación de la solución en cada elemento usando funciones de forma.

Answer

Utiliza la transformación de Fourier para simplificar la ecuación.

Question 25

Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden son esenciales en diversas aplicaciones, como:

Accepted Answer

Ingeniería, física, modelado de fenómenos naturales, entre otros.

Answer

Solo en ingeniería.

Answer

Solo en matemáticas puras.

Question 26

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es la ecuación de Poisson?

Accepted Answer

∇²u = f

Answer

∇²u + f = 0

Answer

∇²u - u² = 0

Answer

∇²u + u = 0

Question 27

La ecuación de Helmholtz es una ecuación diferencial parcial que se emplea en:

Accepted Answer

Ondas electromagnéticas

Answer

Propagación del calor

Answer

Mecánica cuántica

Answer

Flujo de fluidos

Question 28

¿Cuál es la forma general de un problema de valor inicial para una ecuación diferencial parcial de segundo orden?

Accepted Answer

u(x, 0) = f(x) y u'(x, 0) = g(x)

Answer

u(x, y) = f(x, y) en el interior del dominio

Answer

u(0, y) = f(y) y u(0, y) = g(y)

Answer

u(x, y) = f(x, y) en el contorno

Question 29

El método de separación de variables es efectivo para resolver ecuaciones diferenciales parciales que:

Accepted Answer

Tienen coeficientes constantes y son homogéneas

Answer

Tienen condiciones de contorno no homogéneas

Answer

Tienen coeficientes variables y son no homogéneas

Answer

Son no lineales

Question 30

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Accepted Answer

-ħ²/2m ∇²ψ + Vψ = Eψ

Answer

ħ² ∇²ψ + 2m Vψ = Eψ

Answer

ħ² ∂ψ/∂t² - 2m Vψ = Eψ

Answer

-ħ²/2m ∂ψ/∂t + Vψ = Eψ

Question 31

La función eigen correspondiente al valor eigen más bajo de un operador hermitiano se conoce como:

Accepted Answer

Función eigen fundamental

Answer

Función eigen no normalizada

Answer

Función eigen degenerada

Answer

Función eigen excitada

Question 32

¿Cuál es la condición de contorno de Dirichlet?

Accepted Answer

El valor de la función en el contorno es especificado

Answer

La función y su derivada normal son cero en el contorno

Answer

El valor de la derivada normal de la función en el contorno es especificado

Question 33

El teorema de unicidad para soluciones de la ecuación de Poisson garantiza que:

Accepted Answer

Solo existe una solución para un problema de valor de contorno bien planteado

Answer

Siempre existen múltiples soluciones para un problema de valor de contorno

Answer

La solución es única solo si el contorno es convexo

Question 34

La transformada de Fourier se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales:

Accepted Answer

Transformándolas en ecuaciones diferenciales ordinarias

Answer

Transformándolas en ecuaciones en derivadas parciales

Answer

Transformándolas en ecuaciones integrales

Question 35

¿Cuál de los siguientes es un método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales?

Accepted Answer

Método de Euler hacia adelante

Answer

Método de bisección

Answer

Método de mínimos cuadrados

Answer

Método de Newton-Raphson

Question 36

La ecuación de Laplace, ∇²u = 0, es un caso especial de:

Accepted Answer

La ecuación de Poisson

Answer

La ecuación de Schrödinger

Answer

La ecuación de onda

Answer

La ecuación de Helmholtz

Question 37

En el método de separación de variables para resolver la ecuación de calor, ¿qué tipo de funciones se usan para representar la solución?

Accepted Answer

Funciones propias

Answer

Funciones de Bessel

Answer

Funciones de Hermite

Answer

Polinomios de Legendre

Question 38

La condición de contorno de Dirichlet para una ecuación diferencial parcial de segundo orden especifica:

Accepted Answer

El valor de la solución en la frontera del dominio

Answer

El flujo de la solución en la frontera

Answer

La derivada normal de la solución en la frontera

Question 39

La ecuación de onda unidimensional, ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x², describe:

Accepted Answer

La propagación de ondas en un medio unidimensional

Answer

La concentración de una sustancia en un punto

Answer

El potencial eléctrico en un punto

Answer

El flujo de calor en una varilla

Question 40

¿Qué método se utiliza para encontrar soluciones aproximadas a la ecuación de Poisson?

Accepted Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de elementos finitos

Answer

Método de características

Answer

Método de separación de variables

Question 41

La ecuación de Schrödinger describe:

Accepted Answer

La evolución temporal de un sistema cuántico

Answer

El flujo de calor en un cuerpo

Answer

La propagación de ondas electromagnéticas

Answer

El comportamiento de un fluido viscoso

Question 42

La condición de contorno de Neumann para una ecuación diferencial parcial de segundo orden especifica:

Accepted Answer

La derivada normal de la solución en la frontera

Answer

El valor de la solución en la frontera

Answer

El flujo de la solución en la frontera

Answer

La derivada segunda de la solución en la frontera

Question 43

La ecuación de Helmholtz, ∇²u + k²u = 0, se utiliza para modelar:

Accepted Answer

Fenómenos de onda estacionaria

Answer

El comportamiento de un fluido viscoso

Answer

La difusión de una sustancia

Answer

El flujo de calor en un cuerpo

Question 44

Si la ecuación de Laplace se aplica a un dominio tridimensional, ¿cuántas condiciones de contorno se necesitan para garantizar una solución única?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

4

Answer

2

Question 45

En el contexto de la ecuación de calor, ¿qué representa el término 'difusividad térmica'?

Accepted Answer

La velocidad a la que el calor se difunde en un material

Answer

La cantidad de calor en el material

Answer

La temperatura del material